第21章一元二次方程章末检测卷(含解析)

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第21章一元二次方程章末检测卷-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．2和3 B．1和 C．2和 D．2和
3．已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为（ ）
A． B．3或 C．3 D．或1
4．下列所给方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如果是关于的方程的一个根，那么关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于的一元二次方程的两根分别为，则与的值分别为（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
9．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．一元二次方程配方可变形为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．把一元二次方程化成一般形式为
12．用因式分解法解方程，将左边分解因式后有一个因式是，则p的值是 ．
13．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则 ．
14．若关于x的方程（、为常数）的解是，，则方程的解是 ．
15．原价为100元的衣服，连续两次降价，现价64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为
16．如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，设道路的宽为x米，则 ．
三、解答题
17．用适合的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
18．已知关于x的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和k的值．
19．已知关于x的一元二次方程
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围．
20．已知关于的方程．
(1)取什么值时，方程有两个实数根．
(2)如果方程有两个实数根，，且，求的值．
21．某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地、其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构成．2024年6月份该科技园的总收入为600亿元，8月份达到了864亿元，求该科技园总收入的月平均增长率．
22．某水果店商家购进了一批哈密瓜和脆桃．商家用1600元购买哈密瓜，800元购买脆桃，每斤哈密瓜比每斤脆桃的进价贵6元，且购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍．
(1)求商家购买每斤哈密瓜和每斤脆桃的进价；
(2)商家在销售过程中发现，当哈密瓜的售价为每斤14元，脆桃的售价为每斤5元时，平均每天可售出20斤哈密瓜，40斤脆桃．调查，哈密瓜的售价每降低0.5元平均每天可多售出5斤，且降价幅度不低于．商家在保证脆桃的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使哈密瓜和胞桃平均每天的总获利为270元，则每斤哈密瓜的售价为多少元？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C D B B D A D A
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是．据此进行判断即可．
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、整理后不含二次项，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故此选项符合题意．
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
根据方程的一般形式和二次项系数以及一次项系数的定义即可直接得出答案．
【详解】解：
整理得，
∴二次项系数和一次项系数分别为2和．
故选：C．
3．C
【分析】首先把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义可得的值．本题考查了一元二次方程的解及定义和解一元二次方程，正确理解定义及熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：把代入得，
，
，
解得：，，
，
，
，
，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：A、，故A有两个不相等的实数根．
B、，故B有两个不相等的实数根．
C、，故C有两个不相等的实数根．
D、，故D没有实数根．
故选：D
5．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及解一元二次方程，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．
根据一元二次方程的根的定义将代入方程解得，再将代入关于的方程并解该一元二次方程即可．
【详解】解：将代入方程，
可得，
解得，
将代入关于的方程，
可得，
解得．
故选：B．
6．B
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系．此题比较简单，注意掌握若二次项系数为1，，是方程的两根时，则，．由关于的一元二次方程的两根分别为，利用一元二次方程根与系数的关系，即可求得与的值．
【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，，
，，
，．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得：且，
即k的取值范围是且．
故选：D
8．A
【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由题意设每个支干长出个小分支，因为主干长出个（同样数目）支干，则又长出个小分支，则共有个分支，即可列方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
【详解】解：设每个支干长出个小分支，
根据题意列方程得：．
故选：A．
9．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可．
【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为，
故选：D．
10．A
【分析】本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．方程两边都加上4，即可将原方程配方．
【详解】解：，
∴，
∴，
故选：A．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式是，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，掌握一元二次方程的基本形式是解题关键．将方程两边展开，然后移项合并同类项，即可．
【详解】解：，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．由题意知，再将展开即可得出答案．
【详解】解：由题意知，
，
，
故答案为：
13．2022
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把代入方程得，
所以，
所以
故答案为：
14．，
【分析】本题考查直接开平方解一元二次方程的解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．将方程变形为相同的形式，再换元求解即可．
【详解】解：方程变形为，看作关于的方程，
∵方程（、为常数）的解是，，
∴，，
解得：，，
故答案为：，．
15．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，能从题目中得到合适的信息列出方程是解题的关键．先根据题意，设每次降价的百分率为x，根据连续两次降价，现价64元列方程求解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为元，
根据题意得：．
即．
解之得（舍去），．
即每次降价的百分率为0.2，即．
故答案为：．
16．1
【分析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积，结合草坪的面积为243平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：依题意，道路的宽为米，
铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积．
草坪的面积为243平方米，
．
∴．
∴（舍去）
故答案为：1
17．(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，；
(5)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用直接开方法解一元二次方程即可；
（3）利用配方法解一元二次方程即可；
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（5）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
或
解得，；
（2）
或
解得，；
（3）
解得，；
（4）
或
解得，；
（5）
或
解得，．
18．，
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解题的关键．
由题意得，，，由代入求出，再求出k．
【详解】解：由题意得，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）解一元二次方程得出，，再结合此方程恰有一个根小于1得出，计算即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得：，，
∵此方程恰有一个根小于1，
∴，
解得：．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系和根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数关系和根的判别式是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数关系和根的判别式，即可求解．
【详解】（1）解：方程有两个实数根，
，
解得：；
（2）解：∵方程有两个实数根，，且，
，，，
，即，
平方得：，
整理得：，
解得：
21．该科技园总收入的月平均增长率为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该科技园总收入的月平均增长率为，根据“2024年6月份该科技园的总收入为600亿元，8月份达到了864亿元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：设该科技园总收入的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴该科技园总收入的月平均增长率为．
22．(1)商家购买每斤哈密瓜的进价是8元，购买每斤脆桃进价是2元
(2)每斤哈密瓜的售价为11元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设商家购买每斤哈密瓜的进价是元，则购买每斤脆桃进价是元，利用数量总价单价，结合购进脆桃的数量是哈密瓜的2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出答案；
（2）设每斤哈密瓜的售价为元，则每斤哈密瓜的销售利润为元，每天可售出斤，利用总利润每斤哈密瓜的销售利润日销售量每斤脆桃的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出值，再结合降价幅度不低于，即可确定结论．
【详解】（1）解：设商家购买每斤哈密瓜的进价是元，则购买每斤脆桃进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：商家购买每斤哈密瓜的进价是8元，购买每斤脆桃进价是2元；
（2）解：设每斤哈密瓜的售价为元，则每斤哈密瓜的销售利润为元，每天可售出斤，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：每斤哈密瓜的售价为11元．
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