第1章一元二次方程章末检测卷(含解析)

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第1章一元二次方程章末检测卷-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若是关于的一元二次方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
4．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知方程，则满足该方程的所有根之和为（ ）
A． B． C．0 D．1
7．判断方程的根的情况是（　　）
A．有四个实数根 B．有两个实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
8．如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．方程的根是 ．
10．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ．
11．设a、b是方程的两个实数根，则的值为 ．
12．三角形两边的长是和，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 ．
13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
14．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ．
三、解答题
15．解方程
(1)；
(2)．
16．已知关于x的一元二次方程．
(1)判断该方程实数根的情况；
(2)若实数k及该方程的根均为整数，求k的值．
17．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
18．如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为xm．
(1)的长为 米；
(2)如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
19．已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根．
(1)当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
(2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
20．栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件．
(1)求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率；
(2)从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？
21．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持．
(1)求点的坐标（用含的式子表示）；
(2)求的大小；
(3)若整数使得关于的一元二次方程的两根均为整数，请求出的值及此种情况下面积的最小值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C A A A C D
1．D
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．本题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【详解】解：A、，含有两个未知数，不属于一元二次方程；
B、不是整式方程，不属于一元二次方程；
C、次数为3，不属于一元二次方程；
D、属于一元二次方程；
故选： D
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
∴且，
解得，
故选：．
3．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴且，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．
直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【详解】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，移项后把左边配成完全平方式，右边化为常数即可得出结果．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
6．A
【详解】本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去．
因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去．
解：当时，即，原方程化为：，
∵，
∴，（舍去），
∴，
当，即时，原方程化为：，
∴，
∴，
∴（舍去），，
∴．
则．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．先判断出，再将分式方程化成一元二次方程，利用直接开平方法解方程，然后进行检验即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
解得或（不满足，舍去），
经检验，是原方程的解，
所以方程的根的情况是有一个实数根，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了根据实际问题列一元二次方程．熟练掌握平移性质，矩形性质和面积公式，是解决问题的关键．
设道路的宽为x米，根据平移性质，余下部分草坪的长为米，宽为米，根据矩形的面积公式可列方程．
【详解】解：设道路的宽为x米，
根据题意得．
故选：D．
9．，
【分析】本题考查了解一元二次方程，先将常数项移到等式的右边，再将二次项系数化为1，最后利用直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，．
10．0
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为0，
∴把代入方程中得：，
故答案为：0
11．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
先利用根与系数的关系得到，，再计算，然后利用整体代入的方法计算即可求解．
【详解】解：、b是方程的实数根，
，，
．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为，然后计算此三角形的周长．
【详解】解：，
，
或，
所以，，
而，不能构成三角形；而，能构成三角形，
所以三角形第三边长为，
所以此三角形的周长为．
故答案为：．
13．且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和根的判别式的意义得到，求解公共部分即可；
【详解】解：根据题意得，
解得且．
故答案为且．
14．3或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程（一元二次方程）是解题的关键．分，及三种情况考虑：当时，连接AQ，DQ，连接，，此时，，当当时，，，当时，，，由四边形的面积等于
列出关于t的方程，解之即可得出t值．
【详解】解：（秒），（秒），（秒）．
当时，连接，，此时，，如图1所示．
依题意得：，
即
解得：，（不合题意，舍去）；
当时，，，如图2所示．
依题意得：
，
即，
解得：t（不合题意，舍去）；
当时，，，如图3所示．
依题意得：，
即，
解得：t．
综上，t的值为3或．
故答案为：3或．
15．(1)，；
(2)，．
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
【详解】（1）解：，
，
，
即，；
（2）解：，
，
则或，
解得，．
16．(1)该方程总有两个实数根
(2)或或
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系：
（1）只需要求出判别式的符号即可得到结论；
（2）设方程的两个根为a、b，由根与系数的关系得到，根据题意可得都是整数，据此求解即可．
【详解】（1）解：
，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的两个根为a、b，
∴，
∵a、b、k都是整数，
∴都是整数，
∴或或．
17．(1)
(2)1
【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论即可确定的值．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
当方程有实数根时，实数的取值范围为；
（2）解：方程两实数根分别为，，
，．
，
，
，
整理，得：，
解得：，．
，
实数的值为1．
18．(1)；
(2)养殖园的面积不能达到，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据隔离网的总长为30m，且，得出，进而得出答案；
（2）养殖园的面积不能达到，根据各边之间的关系，可得出，结合矩形养殖园面积为，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无实数根，进而可得出养殖园的面积不能达到．
【详解】（1）解：∵隔离网的总长为30m，且，
∴，
∴米，
故答案为：；
（2）解：养殖园的面积不能达到，理由如下：
∵隔离网的总长为30m，
设，
∴，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴该方程无实数根，
∴养殖园的面积不能达到．
19．(1)
(2)5
【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式以及根据系数的关系，解一元二次方程，综合运用各知识点是解答本题的关键．
（1）根据菱形的性质可知方程有两个相等的实数根，由根的判别式求出m，进而可求出方程的根；
（2）由的长为2，可知2是方程的一个根，代入方程求出m，根据根与系数的关系可求出平行四边形的周长．
【详解】（1）解：∵平行四边形是菱形，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
当时，方程为，
解得，
即菱形的边长为；
（2）解：∵，的长是方程的两个实数根，的长为2，
∴，2是方程的一个根，
∴，
∴解得，
∴，
∴，
∴平行四边形的周长为5．
20．(1)
(2)元
【分析】本题考查一元二次方程的应用，
（1）设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，利用该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为；
（2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，
∴月销售量为：，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该吉祥物摆件售价为元时，月销售利润达元．
21．(1)
(2)
(3)，此种情况下面积的最小值为
【分析】（1）作轴于，先求出，再根据勾股定理求出即可表示出点的坐标；
（2）连接，证明，进一步得出结果；
（3）先根据题意且为整数求出的值，再设，用表示出的面积，再利用配方法和平方式的非负性求出其最小值．
【详解】（1）解：如图，作轴于，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
（2）解：如图，连接，
四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：设方程两个根为，，
，
，
，
当时，，
此时（舍去），
当时，，
此时（舍去），
当时，，
此时，
当时，，
此时，
当时，，
此时（舍去），
当时，
此时（舍去），
综上所述，，
此时，，
，
连接，
由（2）证得，
，
，
，
过作于，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
过作交的延长线于，则，
，
，
，
，
，
设，
，
，
点在线段上且不与、重合，
，
，
，
，，
当时，有最小值，为，
，此时面积的最小值为．
【点睛】本题考查了勾股定理、菱形的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程根与系数的关系、配方法等知识点，灵活运用这些知识点解决问题是解题的关键．
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