(共21张PPT)
第一章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗
1. 判断三角形是直角三角形的方法
（1）若一个内角等于另外两个内角的和可证明这个三
角形是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理：若三角形的三边长为 a ， b ，
c ，且满足 ，则这个三角形一定是直角
三角形.
a2＋ b2＝ c2
2. 勾股定理的逆定理的证明
已知：如图，在△ ABC 中， BC ＝ a ， AC ＝ b ， AB ＝
c ，
且 a2＋ b2＝ c2.
求证：△ ABC 是直角三角形，且∠ ACB ＝90°.
证明：作△A'B'C'，使∠A'C'B'＝90°，
A'C'＝ AC ＝ b ，B'C'＝ BC ＝ a ，
由勾股定理，得A'B'2＝B'C'2＋A'C'2＝ a2＋ b2.
∵ a2＋ b2＝ c2，∴A'B'2＝ c2.
∵ A ' B '＞0，∴ A ' B '＝ c ＝ AB .
∵A'B'＝ AB ，A'C'＝ AC ，B'C'＝ BC ，
∴△ ABC ≌△A'B'C'（SSS），
∴∠ ACB ＝∠A'C'B'＝90°，
∴△ ABC 是直角三角形，且∠ ACB ＝90°.
注意：①勾股定理的逆定理用文字叙述为：在一个三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.但不能说成“在一个三角形中，如果有两直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形”.②勾股定理逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要方法，若三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a2＋ b2＝ c2，则这个三角形是直角三角形；若 a2＋ b2＜ c2，则这个三角形是钝角三角形；若三角形任意两边的平方和都小于第三边的平方，则这个三角形是锐角三角形.（若只知道 a2＋ b2＞ c2，无法立即判断这个三角形的形状）
3. 勾股数
满足 a2＋ b2＝ c2的三个 ，称为勾股数.
常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；
8，15，17；9，40，41；…
注意：这些数的正整数倍仍然是 .
正整数
勾股数
（1）一组数是勾股数必须同时满足两个条件：①满足
a2＋ b2＝ c2；②都是正整数.两者缺一不可.
（2）将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的
数仍满足 a2＋ b2＝ c2，即以它们为边长的三角形是直角
三角形，但该直角三角形的三边不一定是勾股数.比如
以3，4，5的0.1倍（即0.3，0.4，0.5）为边长的三角形
是直角三角形，但0.3，0.4，0.5不是勾股数.
4. 勾股定理与逆定理的区别和联系
勾股定理是直角三角形中的一个性质定理，而逆定理是
判断三角形为直角三角形的定理，这两个定理的条件和
结论可以互换，即：
a2＋ b2＝ c2 直角三角形
题型一 判定直角三角形
（1）给出下列几组数：
①4，5，6； ②1.2，0.5，1.3； ③ ， ， ；
④ a2＋ b2， a2－ b2，2 ab .
其中一定能组成直角三角形的是 .（填序号）
②④
（2）下列几组数中，是勾股数的有（ A ）
①0.7，2.4，2.5；②32，42，52；③6，8，10；
④ ， ， .
A
A. 1组 B. 2组
C. 3组 D. 4组
[方法总结] 已知3个数，要求以这3个数为边长的三角
形是不是直角三角形，只需看这3个数是否满足 a2＋
b2＝ c2，即最大数的平方是否等于另外两个数的平方
和.而判断勾股数，除了满足 a2＋ b2＝ c2，还需要看是
否为正整数.
1. 以下数组中，是勾股数的是（ B ）
A. 2.5，6，6.5 B. 9，40，41
C. 1，2，1 D. 2，3，4
B
2. 如图，正方形网格中小方格的边长为1，则△ ABC 是
（ A ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对
（第2题）
A
3. 在△ ABC 中，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别是 a ，
b ， c ，下列条件中能判定△ ABC 是直角三角形的
是 .（填序号）
① a ∶ b ∶ c ＝5∶12∶13；② a ＝1.5， b ＝2.5， c ＝2；
③（ a － b ）2＋2 ab ＝ c2；④∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝
3∶4∶5；
⑤ a ＝ n2－1， b ＝2 n ， c ＝ n2＋1（ n 为大于1的正整
数）.
①②③⑤
题型二 勾股定理逆定理的应用
如图所示的一块地，∠ ADC ＝90°， AD ＝12 m，
CD ＝9 m， AB ＝39 m， BC ＝36 m，求这块地的面积.
解：连接 AC ，如图.
∵∠ ADC ＝90°，
∴△ ADC 是直角三角形.
由勾股定理，得
AD2＋ CD2＝ AC2，
即122＋92＝ AC2，∴ AC ＝15 m.
∵ AC2＋ CB2＝152＋362＝392＝ AB2，
∴△ ACB 是直角三角形，且∠ ACB ＝90°.
∴ S四边形 ABCD ＝ S△ ACB － S△ ACD
＝ ×15×36－ ×9×12
＝216（m2）.
[思维点拨] 解决此类问题，应先把不规则图形转化成规
则图形，利用勾股定理的逆定理证明直角三角形再进行
计算.
4. 若三角形的三边长为5，12，13，则它最长边上的高
为 .
5. 如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海
域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即分别从相距13海里
的 A ， B 两个基地前去拦截，1小时后同时到达 C 地将其
拦截.已知甲巡逻艇每小时航行12海里，乙巡逻艇每小
时航行5海里且航向为北偏西22.6°，则甲巡逻艇的航向
为北偏东 度.
67.4
（第5题）
6. 如图，在△ ABC 中， AB ＝5， AC ＝13， AD 是边 BC
上的中线，点 E 在 AD 的延长线上， AD ＝ ED ＝6.
（1）试说明：△ ABD ≌△ ECD ；
解：（1）∵ AD 是边 BC 上的中线，
∴ BD ＝ CD .
在△ ABD 和△ ECD 中，
∴△ ABD ≌△ ECD （SAS）.
（第6题）
（2）求△ ABD 的面积.
解：（2）∵△ ABD ≌△ ECD ，∴ AB ＝
EC ＝5.
∵ AE ＝ AD ＋ ED ＝12， AC ＝13， CE
＝5，
∴ AE2＋ CE2＝ AC2，
∴△ ACE 是直角三角形，且∠ E ＝90°，
∴ S△ ABD ＝ S△ ECD ＝ ×5×6＝15.
（第6题）(共39张PPT)
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理（一）
勾股定理
文字语言：直角三角形两直角边的 等于斜边
的 .
符号语言：
在Rt△ ABC 中，∵∠ ACB ＝90°，
∴ BC2＋ AC2＝ AB2.
拓展：因为用“∵”表示，所以用“∴”表示.
平方和
平方
如图，如果用 a ， b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边
和斜边，那么 a2＋ b2＝ 或 c2－ b2＝ ， c2－
a2＝ .
c2
a2
b2
（2）在应用勾股定理时， a2＋ b2＝ c2只是边 c 所对的角
是直角时的情况；当 b2＋ c2＝ a2时，表示边 a 所对的角
是直角时的情况；当 a2＋ c2＝ b2时，表示边 b 所对的角
是直角时的情况.
注意：（1）勾股定理体现了数形结合的思想，即把各
边之间“形”的关系，转化为“数”的关系.
题型一 利用勾股定理求直角三角形的边长
在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对
边分别是 a ， b ， c .
（1）已知 a ＝6， c ＝10，求 b ；
解：（1）由勾股定理，得 b2＝ c2－ a2＝64＝82，∴ b
＝8.
（2）已知 a ＝40， b ＝9，求 c ；
解：（2）由勾股定理，得 c2＝ a2＋ b2＝1 681＝412，
∴ c ＝41.
（3）已知 b ＝15， c ＝25，求斜边 c 上的高 h .
解：（3）由勾股定理，得 a2＝ c2－ b2＝400＝202，∴ a
＝20.
由面积法得 ab ＝ ch ，
∴20×15＝25 h ，∴ h ＝12.
如图，将长方形 ABCD 的一边 AD 沿 AE 折叠，使点
D 落在 BC 边上的点 F 处，已知 AB ＝8 cm， BC ＝10 cm.
解：（1）由折叠可知，
△ AEF ≌△ AED .
∴ EF ＝ ED ， AF ＝ AD .
∵四边形 ABCD 是长方形，
∴ AF ＝ AD ＝ BC ＝10 cm.
在Rt△ ABF 中，由勾股定理，得
BF2＝ AF2－ AB2＝102－82＝36，
∴ BF ＝6 cm，∴ CF ＝ BC － BF ＝4 cm.
（1）求 CF 的长；
（2）求 EC 的长.
解：（2）设 CE ＝x cm，
则 EF ＝ ED ＝ DC － CE ＝（8－ x ）cm.
在Rt△ CEF 中，由勾股定理，得 CF2＋
CE2＝ EF2，
即42＋ x2＝（8－ x ）2，解得 x ＝3，
∴ EC ＝3 cm.
[知识总结]勾股定理的主要作用是求直角三角形的边
长，因此该定理只能在直角三角形中应用.已知直角三
角形的两边，可直接利用勾股定理求第三边，但要弄清
已知的是直角边还是斜边；或已知直角三角形的三边满
足的关系，通过列方程求出边长.
1. 在△ ABC 中，∠ B ＝90°，
（1）若 AB ＝3， BC ＝4，则 AC ＝ ；
（2）若 AC ＝13， AB ＝5，则 BC ＝ .
5
12
2. 如图，在△ ABC 中， AB ＝13， BC ＝14， AC ＝15，
则 BC 边上的高 AD ＝ .
（第2题）
12
3. 一直角三角形的周长为12，斜边长为5，求该直角三
角形的面积.
解：设两直角边长分别为 a ， b ，则 a ＋ b ＝12－5＝7.
由勾股定理，得 a2＋ b2＝52＝25.
由（ a ＋ b ）2＝ a2＋ b2＋2 ab ＝72，得 ab ＝12.
∴ S ＝ ab ＝ ×12＝6.
题型二 探索面积之间的关系
（1）如图1，分别在Rt△ DEF 外部作出3个正方
形，边长各为 DE ， DF ， EF ，设小方格的边长为1.如
果用 SA ， SB ， SC 分别表示正方形 A ， B ， C 的面积，
那么它们之间的关系
是 ，由此可
得 ，
即
；
SA ＋ SB ＝ SC
DE2＋ EF2＝ DF2
直角三角形两直角边的
平方和等于斜边的平方
图1
（2）如图2，直角三角形三边上的等边三角形的面积从
小到大依次为 S1， S2， S3，则 S1， S2， S3之间的关系是
（ C ）
A. S1＋ S2＞ S3 B. S1＋ S2＜ S3
C. S1＋ S2＝ S3
C
图2
（3）如图3是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是
正方形，所有三角形都是直角三角形.正方形 A ， B ，
C ， D 的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形 E 的面
积是（ B ）
B
图3
A. 18 B. 114
C. 194 D. 324
（4）如图4，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，分别以各边
为直径作半圆，当 AC ＝3， BC ＝4时，阴影部分的面积
为（ A ）
图4
A
A. 6 B. 6π C. 10π D. 12
[知识总结]以直角三角形三边构造正方形、半圆、等边
三角形、等腰直角三角形及正多边形，都具有相同的结
论：两个小面积之和等于大面积.
4. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ DAB ＝∠ BCD ＝90°，
分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形.若 S1＋
S4＝125， S3＝46，则 S2＝（ B ）
A. 171 B. 79
（第4题）
B
C. 100 D. 81
5. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在
它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围
成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变
成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变
得“枝繁叶茂”.请你算出“生长”了2 024次后形成的
图形中所有的正方形的面积和是（ B ）
A. 1 B. 2 025
（第5题）
B
C. 2 024 D. 2 023
6. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形
和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较
长直角边长为 a ，较短直角边长为 b .若 a ＋ b ＝3， ab ＝
2，则大正方形的面积为 .
（第6题）
5
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
第2课时 探索勾股定理（二）
勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正
方形.
在图1中， S正方形 ABCD ＝（ a ＋ b ）2＝ c2＋4× ab ，
所以 a2＋ b2＝ c2.
图1
图2
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正
方形.
在图2中， S正方形 ABCD ＝ c2＝（ b － a ）2＋4× ab ，
所以 c2＝ a2＋ b2.
方法三：将两个全等的直角三角形拼成如图3所示的直
角梯形.
在图3中， S梯形 ABCD ＝ ＝2× ab ＋ c2，
所以 a2＋ b2＝ c2.
图3
题型一 验证勾股定理
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方
国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》
中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.我国汉代数
学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如
图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.
（1）①请用文字叙述勾股定理：
；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请
你利用图2证明该定理：
S大正方形＝ ，还可以表示为
，所以可得到 ＝ ，
化简后最终得到 ；
直角三角形两直角
边的平方和等于斜边的平方
a2＋2 ab ＋ b2
c2＋2
ab
a2＋2 ab ＋ b2
c2＋2 ab
a2＋ b2＝ c2
（2）如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部
作半圆，则 S1， S2， S3满足的关系是 ；
S1＋ S2＝ S3
（3）如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分
别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形
图案（阴影部分）的面积为 .
7.5
1. 1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证
了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边 AE ， EB
在一条直线上，证明中用到的相等关系是（ B ）
A. S△ EDA ＝ S△ CEB
B. S△ EDA ＋ S△ CDE ＋ S△ CEB ＝ S四边形 ABCD
C. S△ EDA ＋ S△ CEB ＝ S△ CDE
D. S四边形 AECD ＝ S四边形 DEBC
（第1题）
B
2. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不
同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发
现，当两个全等的直角三角形按如图1或图2摆放时，都
可以用“面积法”来验证，下面是小聪利用图1验证勾
股定理的过程：
（第2题）
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠ DAB ＝90°，验证： a2＋ b2＝ c2.
解：连接 DB ，过点 D 作 BC 边上的高 DF ，则
DF ＝ EC ＝ b － a .
∵ ＝ ＋ ＝ b2＋ ab ，
＝ ＋ ＝
c2＋ a （ b － a ），
∴ b2＋ ab ＝ c2＋ a （ b － a ），
得 a2＋ b2＝ c2.
（第2题）
请参照上述证法，利用图2完成下面的过程.
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠ DAB
＝90°.验证： a2＋ b2＝ c2.
解：连接
.
BD ，延长 CB ， DE 交于点 F ，则 BF ＝ b －
a
（第2题）
∵ ＝ ＋ ＋ ＝ ab ＋
，
＝ ＋ ＋ ＝ ab ＋
，
∴ .
∴ a2＋ b2＝ c2.
＋ ＋ ＝ ab ＋
b2＋ ab
＋ ＋ ＝ ab ＋
c2＋ a （ b － a ）
ab ＋ b2＋ ab ＝ ab ＋ c2＋ a （ b － a ）
（第2题）
题型二 勾股定理的简单实际应用
（1）如图1是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别
为4 cm，3 cm，12 cm，现有一长为16 cm的吸管插入到
盒的底部，则吸管露在盒外的部分h cm的取值范围为
（ B ）
B
图1
A. 3＜ h ＜4 B. 3≤ h ≤4
C. 2≤ h ≤4 D. h ＝4
（2）如图2，在水塔 O 的东北方向24 m处有一抽水站
A ，在水塔的东南方向18 m处有一建筑工地 B ，在 AB
间建一条直水管，则水管 AB 的长为 m；
图2
30
（3）如图3，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，公路
PQ 上点 A 处有学校，点 A 到公路 MN 的距离为80 m.现
有一卡车在公路 MN 上以5 m/s的速度沿 PN 方向行驶，
卡车行驶时周围100 m以内都会受到噪音的影响，请你
算出该学校受影响的时间为 s.
24
图3
3. 如图所示，为了测得小水坑两边点 A 和点 B 之间的距
离，一个观测者在点 C 设桩，使∠ ABC ＝90°，并测得
AC ＝20 m， BC ＝16 m，则点 A 和点 B 之间的距离
是 m.
（第3题）
12
4. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在
“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今
有竹高一丈（一丈等于10尺），末折抵地，去本三尺，
问折者高几何？”译文为：一根竹子，原来高一丈，后
来竹子折断，其竹竿恰好着地，着地处离原竹子根部3
尺远，问原处的竹子还有多高？
（第4题）
（第4题）
解：设 AC 长为 x 尺，则
AB ＝（10－ x ）尺，
由勾股定理，得
32＋ x2＝（10－ x ）2，
解得 x ＝4.55，
∴原处的竹子还有4.55尺.(共19张PPT)
第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
1. 解决两点间最短路线问题
依据“两点之间，线段最短”找出最短距离，再利用勾
股定理求解.
2. 解决折叠问题
通过折叠图形，找到相等的数量关系，再构造直角三角
形，利用勾股定理求解.
题型一 圆柱侧面上两点间的最短距离
（1）如图1，圆柱的底面周长为16， BC ＝12，动
点 P 从点 A 出发，沿着圆柱的侧面移动到 BC 的中点 S 的
最短距离为（ A ）
图1
A
A. 10 B. 12 C. 14 D. 20
（2）如图2，圆柱的底面周长为3， BC ＝4，动点 P 从
点 A 环绕而上至点 D ，则点 P 运动的最短距离为 .
图2
5
[方法总结] 解决圆柱侧面两点间的最短距离问题，先
展开侧面成长方形，再根据两点之间线段最短，找出
最短距离，并利用勾股定理求解.注意点在圆柱外壁
还是内壁.
1. （2023·广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9
cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点 A
处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它
在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点 B 处，则蚂蚁从
外壁 B 处到内壁 A 处所走的最短路程
为 cm.（杯壁厚度不计）
10
（第1题）
题型二 长方体（或正方体）表面上两点间的最短距离
如图，一个长方体盒子的高为30 cm，底面是正方
形，边长为20 cm，现在点 A 处有一只壁虎，想吃位于
长方体盒子侧面上点 E 处的一只虫子，问壁虎走的最短
路程是多少？
解：将长方体展开，分别得到如答案图1，答案图2，答
案图3所示的三种情况，连接 AE .
在图1中， AE2＝ AD2＋ DE2＝2 500；
在图2中， AE2＝ AB2＋ BE2＝2 900；
在图3中， AE2＝ AC2＋ CE2＝2 900.
∵2 500＜2 900，∴壁虎走的最
短路程为50 cm.
（答案图）
[规律总结] 在长方体表面上两点间的最短距离问题中，
把给出的长、宽、高三个数据中较小的两个数据的和作
为一条直角边的长，最大的数据作为另一条直角边的
长，这时斜边的长即为最短距离.
2. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中 AB ＝9，
BB'＝5，B'C'＝6，在线段 AB 的三等分点 E （靠近点
A ）处有一只蚂蚁，B'C'中点 F 处有一米粒，则蚂蚁沿
长方体表面爬到米粒处的最短距离为 .
（第2题）
10
3. 如图，长方体的底面长和宽分别是3 cm和1 cm，高为
6 cm，如果用一根细线从点 A 开始经过四个侧面缠绕一
圈到达点 B ，那么所用细线最短需要 cm.
（第3题）
10
题型三 利用勾股定理解决折叠问题
如图，在长方形 ABCD 中， AB ＝3 cm， AD ＝9
cm，将此长方形折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕为
EF ，则△ ABE 的面积为 cm2.
6
[方法总结]利用勾股定理列方程求线段的长度是折叠问
题中的常用方法.
4. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC ＝7
cm， BC ＝24 cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使
它落在 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（ B ）
A. 4 cm B. 5.25 cm
C. 6.25 cm D. 7 cm
（第4题）
B
5. 如图，已知长方形 ABCD 中， AB ＝4， BC ＝8，连接
BD ，将△ BCD 沿着 BD 翻折，点 C 落在点 E 处， BE 交
AD 于点 F .
（第5题）
解：（1）∵四边形 ABCD 为长方形，
∴ DC ＝ AB ，∠ C ＝∠ A ＝90°.
∵ ED ＝ CD ，∴ AB ＝ ED .
又∵∠ EFD ＝∠ AFB ，
∠ A ＝∠ E ＝90°，
∴△ ABF ≌△ EDF .
∴ FB ＝ DF .
（第5题）
（1）试说明： FB ＝ DF ；
（2）求△ BDF 的面积.
解：（2）由（1）知 FB ＝ DF ，
设 AF ＝ x ，则 BF ＝ DF ＝8－ x .
在Rt△ ABF 中，根据勾股定理，得
AF2＋ AB2＝ BF2，即 x2＋42＝（8－ x ）2，
解得 x ＝3.
∴ AF ＝3， BF ＝5.
∴ S△ BDF ＝ BF · DE ＝ ×5×4＝10.
（第5题）
题型四 勾股定理的其他应用
如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8
dm，3 dm，2 dm. A 和 B 是这个台阶上两个相对的端
点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，
则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为 dm.
17
6. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池
一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.
问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面
是边长为10尺的正方形，一棵芦苇 AB 生长在
它的中央，高出水面部分 BC 为1尺.如果把该
芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦
苇的顶部 B 恰好碰到岸边的B'（示意图如
图），则水深为 尺.
12
（第6题）
7. 如图，甲、乙两船同时从港口 A 出发，甲船以12海里/
时的速度向北偏东35°方向航行，乙船向南偏东55°方向
航行.2小时后，甲船到达 C 岛，乙船到达 B 岛.若 C ， B
两岛相距40海里，则乙船的速度是 海里/时.
（第7题）
16
