(共14张PPT)
第四章 一次函数
2 一次函数与正比例函数
一次函数和正比例函数的概念
若两个变量 x ， y 间的对应关系可以表示成
（ k ， b 为常数， k ≠0）的形式，则称 y 是 x 的一次
函数.
特别地，当 b ＝0时，一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ， b 为常
数， k ≠0）即为 y ＝ kx （ k 为常数， k ≠0），则称 y 是
x 的正比例函数.
注意：正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数一定
是一次函数，一次函数却不一定是正比例函数.
y ＝ kx ＋
b
题型一 一次函数与正比例函数的概念
（1）对于函数 y ＝（ m ＋1） x ＋（1－3 m ），当 m
为何值时：①这个函数是一次函数；②这个函数是正比
例函数；
解：①当 m ＋1≠0，即 m ≠－1时，该函数是一次函数.
②当1－3 m ＝0，即 m ＝ 时，此时 m ＋1＝ ≠0.
∴当 m ＝ 时，该函数是正比例函数.
（2）对于函数 y ＝（ m －3） ＋ n －2，当 m ， n
为何值时：①这个函数是一次函数；②这个函数是正比
例函数.
解：①当 －2＝1且 m －3≠0，即 m ＝－3， n 为任意
实数时，该函数是一次函数.
②当 m ＝－3且 n －2＝0，即 m ＝－3且 n ＝2时，该函数
是正比例函数.
[方法总结]若 y ＝ kx ＋ b 为一次函数，则 k ≠0， b 为常
数；若 y ＝ kx ＋ b 为正比例函数，则 k ≠0， b ＝0.
1. 下列各式：① y ＝－8 x ；② y ＝－ ；③ y ＝ ＋1；
④ y ＝－8 x2＋2；⑤ y ＝0.5 x －3.其中是一次函数的有
（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
2. 已知函数 y ＝（ k ＋1） x ＋ k2－1，当 k 时，
它是一次函数；当 k 时，它是正比例函数.
≠－1
＝1
题型二 确定实际问题中的一次函数关系式
小明和父母一起开车到距家200 km的景点旅游，出
发前，汽车油箱内储油45 L，当行驶了150 km时，发现
油箱剩余油量为30 L.
（1）求油箱内剩余油量 y （L）与行驶路程 x （km）之
间的函数关系式，并判断 y 是否为 x 的一次函数；
解：（1） y ＝45－ x ＝45－ x （0≤ x ≤450）.
y 是 x 的一次函数.
（2）当油箱内剩余油量少于3 L时，汽车将自动报警.如
果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请
说明理由.
解：（2）当 x ＝400时， y ＝45－ ×400＝5＞3，
∴他们能在汽车报警前回到家.
[方法总结] ①根据具体问题求关系式时，要先审清题
意，再写出关系式；②由关系式求自变量（或因变量）
的值时，要把已知变量值代入关系式转化为方程解决.
3. 一个皮球从高处落下后，会从地面弹起.下表记录了
小球从不同高度落下时的弹跳高度，其中 x 表示落下高
度， y 表示弹跳高度.
落下高度x/ cm 80 100 160 200
弹跳高度y/ cm 40 50 80 100
则符合表中数据的函数关系式是（ C ）
A. y ＝ x2 B. y ＝2 x
C. y ＝ x D. y ＝ x ＋25
C
4. 某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，
超过部分每千克收取1.5元行李费，则旅客需交的行李
费 y （元）和携带行李重量 x （千克）之间的函数关系
式为 ，其中自变量 x 的取值范围
是 ，这是 函数.
y ＝1.5（ x －20）
x ＞20
一次
（1）分别求出当0≤ x ≤20和 x ＞20时， y 与 x 之间的函
数关系式；
解：（1）当0≤ x ≤20时， y ＝2 x ；
当 x ＞20时， y ＝2.8（ x －20）＋20×2＝2.8 x －16.
5. 为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方
法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过20吨
时，按每吨2元计费；每月用水量超过20吨时，其中的
20吨仍按每吨2元计费，超过部分按每吨2.8元计费.设每
户家庭月用水量为 x 吨，应交水费为 y 元.
（2）小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元、38
元，问小颖家五月份比四月份节约用水多少吨？
解：（2）∵四月份、五月份分别交水费45.6元、38元，
∴小颖家四月份用水超过20吨，五月份用水没有超过
20吨.
设四月份用水 x1吨，五月份用水 x2吨，则
45.6＝2.8 x1－16，38＝2 x2，
解得 x1＝22， x2＝19，∴ x1－ x2＝22－19＝3，
∴小颖家五月份比四月份节约用水3吨.(共21张PPT)
第四章 一次函数
4 一次函数的应用
第3课时 一次函数的应用（双线）
一次函数的应用（双线）
在同一直角坐标系中，同时出现两个一次函数的图象，
即两条直线，关键是利用所给图象的位置关系、交点坐
标，与 x 轴、 y 轴的交点坐标，读取其中所表达的信
息，注意理解交点坐标的含义.
题型 一次函数的应用（双线）
甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后
从甲地出发驶向乙地，如图所示，线段 OA 和折线
BCDE 分别表示货车和轿车离开甲地的距离 y （km）与
货车离开甲地的时间 x （h）之间的函数关系.小明根据
图象，得到下列结论：
①轿车在途中停留了半小时；
②货车从甲地到乙地的平均速度是60 km/h；
③轿车从甲地到乙地用的时间是4.5 h；
④轿车出发后3 h追上货车.
则小明得到的结论中正确的是 （填序号）.
①②
已知 A 地在 B 地的正南方向3 km处，甲、乙两人分
别从两地同时向正北方向匀速直线行走，他们离 A 地的
距离 s （km）与所行走的时间 t （h）之间的关系如图所
示，其中 l1表示甲行走的过程， l2表示乙行走的过程.根
据图象回答：
解：（1）甲在 A 地，乙在 B 地.
（1）开始时，甲、乙两人谁在 A 地？谁在 B 地？
（2）追及者何时追上被追及者？此时追及者已走了多少路程？
解：（2）甲是追及者，乙是被追及
者，2 h后甲追上乙，此时甲已走了
6 km.
（3）甲、乙两人行走的速度各是多少？
解：（3）甲2 h走了6 km，所以其
速度为6÷2＝3（km/h）；
乙2 h走了6－3＝3（km），
所以其速度为3÷2＝1.5（km/h）.
（4）求出 l1， l2对应的函数表达式.（不用写出自变量的
取值范围）
解：（4）由（3）可知， s甲＝3 t ， s乙＝1.5 t ＋3.
甲、乙两组工人一天同时生产某种产品，工作时间
为7 h，甲组工作中有一次停产更换设备，更换设备后
甲组的工作效率是原来的3倍，甲、乙两组生产的产品
合在一起装箱，每够570 kg装一箱，产品装箱的时间忽
略不计，此时甲组的工作效率开始
降低，直到工作时间结束，同一天
两组各自生产的产品的数量 y （kg）
与时间 x （h）之间的函数图象如图
所示.
（1）求乙组生产的产品数量 y 与时间 x 之间的函数表
达式；
解：由图象可得，甲组原来的
速度为 ＝40（kg/h），
改进后的速度为3×40＝120（kg/h），
乙组的速度为 ＝50（kg/h）.
（1）设乙组生产产品的数量 y 与
时间 x 之间的函数表达式为 y ＝ kx .
将点（7，350）代入，可得350＝
7 k ，解得 k ＝50.
∴乙组生产产品的数量 y 与时间 x
之间的函数表达式为 y ＝50 x .
（2）求经过多长时间甲组生产的产品数量大于或等于
乙组生产的产品数量；
解： （2）根据图象可得在经过时间a h后，甲组生产的产品数量大于或等于乙组生产的产品数量，
将点（ a ，200）代入 y ＝50 x ，可
得200＝50 a ，
解得 a ＝4.
∴经过4 h后甲组生产的产品数量
大于或等于乙组生产的产品数量.
（3）当装够第一箱时，甲组共生产c kg产品，求 c 的值.
解：（3）由图象可得当时间为 t时，
装够一箱，
此时乙组生产了50t kg，
甲组生产了[200＋120（ t －4）]kg，
则50 t ＋200＋120（ t －4）＝
570，解得 t ＝5，
∴ c ＝200＋120×（5－4）＝320.
[方法总结] ①两个一次函数图象的交点表示两直线的公
共点，该交点的坐标满足两个表达式；② y ＝ kx ＋ b 中
的 往往具有实际意义，如速度、生产效率等.
1. （2024·重庆外语校）甲、乙两个工程队分别同时开
挖两段河渠，所挖河渠的长度 y （m）与挖掘时间 x
（h）之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息，
下列说法正确的是（ D ）
A. 甲队的挖掘速度大于乙队的挖掘速度
B. 开挖2 h时，甲、乙两队所挖河渠的长度相差8 m
C. 乙队在0≤ x ≤6的时段， y 与 x 之间的关系式为 y ＝5 x ＋20
D. 开挖4 h时，甲、乙两队所挖的河渠的长度相等
（第1题）
D
2. 甲、乙两人分别从 A ， B 两地相向而行， y 与 x 的函数
关系如图所示，其中 x （h）表示乙行走的时间， y
（km）表示两人与 A 地的距离，甲的速度比乙的速度
每小时快 km.
0.4
（第2题）
3. 已知 A ， B 两地相距的路程为12 km，甲骑自行车从 A
地出发前往 B 地，同时乙步行从 B 地出发前往 A 地，如
图的折线 O － C － D 和线段 EF 分别表示甲、乙两人与 A
地的路程 y甲、 y乙与他们所行时间 x （h）之间的函数关
系，且 OC 与 EF 相交于点 P .
（第3题）
解：（1）设 y乙与 x 的函数关系式为 y乙＝ kx ＋ b .
将点 E （0，12）， F （2，0）代入 y乙＝ kx ＋ b 中，
得2 k ＋ b ＝0， b ＝12，解得 k ＝－6， b
＝12，
∴ y乙与 x 的函数关系式为 y乙＝－6 x ＋12.
当 x ＝0.5时， y乙＝－6×0.5＋12＝9，
即两人相遇地点 P 到 A 地的距离是9 km.
（第3题）
（1）求 y乙与 x 的函数关系式以及两人相遇地点 P 到 A 地
的距离；
（2）求线段 OC 对应的 y甲与 x 的函数关系式；
解：（2）设线段 OC 对应的 y甲与 x 的函
数关系式为 y甲＝ ax .
∴9＝0.5 a ， 解得 a ＝18，
即线段 OC 对应的 y甲与 x 的函数关系式为
y甲＝18 x .
（第3题）
（3）求经过多少小时，甲、乙两人相距6 km.
解：（3）在 y甲＝18 x 中，令 y甲＝12，则
x ＝ .
①当0≤ x ≤ 时，令
＝6，
即 ＝6，
解得 x ＝ （舍去）或 x ＝ ；
（第3题）
②当 ＜ x ≤2时，甲到达 B 地，乙离 B 地6 km所走时间为 ＝1（h）.
综上所述，经过 h或1 h，甲、乙两人相距6 km.
（第3题）(共25张PPT)
第四章 一次函数
4 一次函数的应用
第1课时 求一次函数的表达式
1. 确定正比例函数 y ＝ kx 的表达式只需要一个条件，如
一对 x ， y 的对应值或一个点的坐标.
2. 确定一次函数 y ＝ kx ＋ b 的表达式需要两个条件，如
两对 x ， y 的对应值或两个点的坐标.
3. 利用待定系数法确定一次函数的表达式：
①待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件
求出未知系数，从而求出这个式子的方法称为
，其中的未知系数也称为待定系数；
待定系
数法
②用待定系数法确定一次函数表达式的方法：“一设二
列三解四还原”.另外，对于实际问题应注意
受实际条件的制约.
自变量
的取值范围
题型一 求一次函数的表达式
（1）已知 y 与 x －1成正比例，且当 x ＝ 时， y ＝－
1，则 y 关于 x 的函数表达式为 ；
（2）直线 l1与 y ＝－8 x －3平行且过点（2，3），则直
线 l1的表达式为 ；
y ＝2 x －2
y ＝－8 x ＋19
（3）如图，直线 l 是一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图
象，求直线 l 对应的函数表达式.
解：将点 A （－5，0）， B （0，3）代入 y ＝ kx ＋ b ，
得0＝－5 k ＋ b ，3＝ b ，解得 k ＝ ， b ＝3.
∴直线 l 对应的函数表达式为 y ＝ x ＋3.
1. 已知正比例函数 y ＝ kx （ k ≠0）的图象经过点（1，
－2），则该正比例函数的表达式为（ B ）
A. y ＝2 x B. y ＝－2 x
C. y ＝ x D. y ＝－ x
B
2. 在平面直角坐标系中，直线过（0，4）和（3，1）两
点，求这条直线的函数表达式.
解：设直线的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0），
把点（0，4），（3，1）代入，得 b ＝4，3 k ＋ b ＝1，
解得 k ＝－1， b ＝4，
∴这条直线的函数表达式为 y ＝－ x ＋4.
题型二 一次函数与图形面积
如图，一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象与正比例函数 y ＝
2 x 的图象交于点 A （ m ，2），与 y 轴的交点为 C ，点 C
的坐标为（0，1），与 x 轴的交点为 B .
（1）求一次函数的表达式；
解：（1）∵正比例函数 y ＝2 x 过点 A （ m ，2），
∴2 m ＝2，即 m ＝1.
把点（1，2）和（0，1）代入 y ＝ kx ＋
b ，得
2＝ k ＋ b ，1＝ b ，解得 k ＝1， b ＝1，
∴一次函数的表达式是 y ＝ x ＋1.
（2）求△ AOB 的面积.
解：（2）令 y ＝ x ＋1中的 y ＝0，得 x ＝
－1.
∴ B （－1，0），
∴ S△ AOB ＝ OB ·｜ yA ｜＝ ×1×2＝1.
[方法总结] 在求一次函数的图象与坐标轴围成的三角形
面积时，常把与坐标轴重合或平行的边作为底，这样方
便求出其长度.
3. 已知一次函数 y ＝2 x ＋ a 与 y ＝－ x ＋ b 的图象都经过
点 A （－2，0），且分别与 y 轴交于 B ， C 两点，则△
ABC 的面积是（ C ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 12
C
4. （1）已知直线 y ＝ kx ＋ b 经过点 A （－2，0），且与
y 轴交于点 B . 如果△ AOB （ O 为坐标原点）的面积为
2，则 b ＝ ；
（2）已知直线 y ＝ kx ＋ b 与两坐标轴围成的三角形的面
积为6，与 x 轴的交点的坐标为（－6，0），则该直线的
表达式为 .
±2
y ＝ x ＋2或 y ＝－ x －2
5. 在平面直角坐标系内，经过 A （0，2）， B （2，－
4）两点的一次函数为 y ＝ kx ＋ b （ k ， b 是常数， k
≠0）.
（第5题）
解：（1）画出该一次函数图象如图.
把点 A （0，2）， B （2，
－4）代入 y ＝ kx ＋ b ，得
b ＝2，2 k ＋ b ＝－4，解
得 k ＝－3， b ＝2，
∴该一次函数的表达式
为 y ＝－3 x ＋2.
（1）在图中画出该一次函数的图象，并求其表达式；
（第5题）
（2）若点 C （ t ， t －2）在该一次函数的图象上，求 t
的值；
解：（2）由题意，得 t －2＝－3 t ＋2，解得 t ＝1.
解：（3）由（2）可知点 C （1，－1），
∴ D （－1，－3）.
∵直线 l 与 AB 平行，
∴可设直线 l 的解析式为 y ＝－3 x ＋ m ，
（3）把（2）中的点 C 向下平移2个单位长度，再向左
平移2个单位长度得到点 D ，画出过点 D ，且与 AB 平行
的直线 l ，求直线 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积.
把点 D （－1，－3）代入 y ＝－3 x ＋ m ，得
－3×（－1）＋ m ＝－3，解得 m ＝－6，
∴直线 l 的解析式为 y ＝－3 x －6，
当 x ＝0时， y ＝－6；当 y ＝0时， x ＝－2，
∴直线 l 与两坐标轴的交点坐标为
（－2，0），（0，－6），
∴直线 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ×2×6＝6.
题型三 一次函数的综合问题
如图，在平面直角坐标系中，直线 l1的表达式为 y ＝
－ x ，直线 l2与 l1交于点 A （ a ，－ a ），与 y 轴交于点 B
（0， b ），其中 a ， b 满足（ a ＋2）2＋ ＝0.
（1）求直线 l2的表达式；
解：（1）∵ a ， b 满足（ a ＋2）2＋ ＝0，
∴ a ＋2＝0， b －3＝0，
∴ a ＝－2， b ＝3.
∴点 A 的坐标为（－2，2），点 B 的坐标为（0，3）.
设直线 l2的表达式为 y ＝ kx ＋ c （ k ≠0），
将点 A （－2，2）， B （0，3）代入 y ＝ kx ＋ c ，
得－2 k ＋ c ＝2， c ＝3，解得 k ＝ ， c ＝3.
∴直线 l2的表达式为 y ＝ x ＋3.
（2）在平面直角坐标系的第二象限有一点 P （ m ，
5），使得 S△ AOP ＝ S△ AOB ，请求出点 P 的坐标.
解：（2）∵ S△ AOP ＝ S△ AOB ，
∴点 P 到 AO 的距离与点 B 到 AO 的距离
相等，且点 P 位于 l1两侧（如图）.
①当点 P 在 l1的右侧时，设点 P 为 P1，则 P1 B ∥ l1，
∴直线 P1 B 的表达式为 y ＝－ x ＋3.
当 y ＝5时，有－ x ＋3＝5，解得 x ＝－2.
∴点 P1的坐标为（－2，5）.
②当点 P 在 l1的左侧时，设点 P 为 P2，直线 y ＝5与直线 l1交于点 E ，则 E （－5，5）.
∵点 E 为 P1 P2中点，∴点 P2的坐标为（－8，5）.
综上所述，点 P 的坐标为（－2，5）或（－8，5）.
6. 如图，已知点 A （6，0），点 B （0，2）.
（1）求直线 AB 所对应的函数表达式；
解：（1）设直线 AB 所对应的函数表达式
为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
将点 A （6，0）， B （0，2）代入，
得6 k ＋ b ＝0， b ＝2，
解得 k ＝－ ， b ＝2，
（第6题）
∴直线 AB 所对应的函数表达式为 y ＝－ x ＋2.
（2）若 C 为直线 AB 上一动点，当△ OBC 的面积为3
时，试求点 C 的坐标.
解：（2）由题意，得 OB ＝2.
又∵△ OBC 的面积为3，∴ OB · ＝3，
∴ ＝3.∴ xC ＝±3.
当 x ＝－3时， y ＝－ ×（－3）＋2＝3；
当 x ＝3时， y ＝－ ×3＋2＝1.
∴点 C 的坐标为（－3，3）或（3，1）.
（第6题）(共19张PPT)
第四章 一次函数
4 一次函数的应用
第2课时 一次函数的应用（单线）
1. 运用一次函数的图象解决实际问题的关键
（1）弄清直角坐标系中横坐标和纵坐标表示的实际
意义；
（2）能在图象上准确找出表示具体意义的点；
（3）熟练掌握一次函数的性质，清楚函数值随自变量
的变化而变化的规律.
2. 一次函数与一元一次方程的联系
一般地，当一次函数 y ＝ kx ＋ b 的函数值为0时，相应的
自变量的值就是方程 kx ＋ b ＝0的解.从图象上看，一次
函数 y ＝ kx ＋ b 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx
＋ b ＝0的解.
题型一 运用一次函数的图象解决实际问题
清晨，张大伯将自己栽种的苦瓜担进城出售，为了
方便，他带了一些零钱备用，张大伯先按市场价售出一
些苦瓜后，到上午11时开始降价处理.已知他手中的钱数
S （含备用零钱，单位：元）与售出的苦瓜数 x （单
位：kg）之间的关系如图.
（1）试问张大伯自带的备用零钱是多少？
解：（1）由图象可知，张大伯自带
的备用零钱是10元.
（2）当张大伯按每千克2元将剩余苦瓜处理完时，他手
中的钱（含备用零钱）是52元，求今天张大伯一共卖了
多少千克苦瓜？
解：（2）由图象可知，张大伯按市
场价卖出苦瓜10 kg，设张大伯一共卖
了x kg苦瓜，由题意，得
2（ x －10）＝52－40，解得 x ＝16.
故张大伯一共卖了16 kg苦瓜.
（3）求出上午11时降价出售前，张大伯手中的钱数 S
（含备用零钱）与售出的苦瓜数 x 之间的函数表达式.
解：（3）由图象可知，上午11时降价
出售前，张大伯手中的钱数 S （含备
用零钱）与售出的苦瓜数 x 之间的关
系是一次函数关系，设该函数表达式
为 S ＝ kx ＋10.
由题意，得10 k ＋10＝40，解得 k ＝3.
∴所求函数表达式为 S ＝3 x ＋10（0≤ x ≤10）.
1. 如图，在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分
的高度 y （cm）与燃烧时间 x （h）之间为一次函数关
系.则蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数表达式为
.
y ＝－6 x
＋24（0≤ x ≤4）
（第1题）
2. 某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，
按照新标准，用户每月缴纳的水费 y （元）与每月用水
量 x （m3）之间的关系如图所示.
（1）求当0≤ x ≤10时， y与 x 之间的函数表达式；
解：（1）当0≤ x ≤10时，
设 y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝ kx ，
则10 k ＝15，解得 k ＝1.5.
∴当0≤ x ≤10时， y 与 x 之间的函数表
达式为 y ＝1.5 x .
（第2题）
（2）当 x ＞10时， y ＝2 x ＋ b .若某用户二、三月份共用
水22 m3（二月份用水量比三月份用水量多），缴纳水
费共35元，则该用户二月份的用水量是多少立方米？
解：（2）当 x ＞10时，将（15，
25）代入 y ＝2 x ＋ b ，
得 b ＝－5，即 y ＝2 x －5（ x ＞10）.
设二月份的用水量是 x （ x ＞11） m3，则三月份的用水量是（22－ x ）m3.
当22－ x ≤10，即 x ≥12时，
（第2题）
2 x －5＋1.5×（22－ x ）＝35，解得 x ＝14.
当10＜22－ x ＜11，即11＜ x ＜12时，
2 x －5＋2（22－ x ）－5＝35，方程无解.
答：该用户二月份的用水量是14 m3.
（第2题）
题型二 一次函数与一元一次方程
一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ， b 为常数，且 k ≠0）的图
象如图所示，根据图象信息可求得关于 x 的方程 kx ＋ b
＝4的解为 .
x ＝3
[方法点拨] 从图象上看，对于一次函数 y ＝ kx ＋ b ， y ＝
y'时，就是方程 kx ＋ b ＝y'的解.
3. 已知一次函数 y ＝ kx ＋1与 y ＝－ x ＋ b 的图象相交于
点（2，5），则关于 x 的方程 kx ＋ b ＝0的解为
.
x ＝
－3
（第4题）
4. （2024·重庆八中）如图，一次函数 y ＝ ax （ a ≠0）
和 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象相交于点 A （－2，1），
则方程 ax ＝ kx ＋ b 的解为 .
x ＝－2
题型三 一次函数图象的综合应用
A， B 两地相距240 km，甲货车从 A 地以40 km/h的
速度匀速前往 B 地，到达 B 地后停止.在甲出发的同时，
乙货车从 B 地沿同一公路匀速前往 A 地，到达 A 地后停
止.两车之间的路程 y （km）与甲货车出发时间 x （h）
之间的函数关系如图中的折线
CD － DE － EF 所示.其中点 C 的坐标
是（0，240），点 D 的坐标是（2.4，
0），则点 E 的坐标是 .
（4，160）
[分析] 根据点 C 与点 D 的坐标及甲货车的速度可求出乙
货车的速度，进而可求出乙货车从 B 地到达 A 地所用的
时间，据此可求出甲货车行驶的路程，即可得出点 E 的
坐标.
5. （2024·重庆一中）甲、乙两车匀速从 A 地到 B 地，甲
出发半小时后，乙车以100 km/h的速度沿同一路线行
驶，两车分别到达目的地后停止，甲、乙两车之间的距
离 y （km）与甲车行驶的时间 x （h）之间的关系如图
所示，则下列说法错误的是（ D ）
A. 甲车的行驶速度为80 km/h
B. 当乙车行驶2 h，乙车追上甲车
C. 当甲车行驶6 h，甲、乙两车相距70 km
D. A ， B 两地的距离为700 km
（第5题）
D
6. 已知 A ， B 两地相距810 km，甲车从 A 地匀速前往 B
地，到达 B 地后停止.甲车出发1 h后，乙车从 B 地沿同
一公路匀速前往 A 地，到达 A 地后停止.设甲、乙两车之
间的距离为 y （km），甲车出发的时间为 x （h）， y 与
x 的关系如图所示，对于以下说法：①乙车的速度为90
km/h；②点 F 的坐标为（9，540）；③
图中 a 的值是13.5；④当甲、乙两车相遇
时，两车相遇地距 A 地的距离为360 km.
其中正确的结论有 （填序号）.
①③④
（第6题）(共19张PPT)
第四章 一次函数
1 函 数
1. 函数的概念
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y ，并
且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有 的值与
它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是
.
注意：判断两个变量是否有函数关系不只看它们之间是
否有关系式存在，还要看对于 x 的每一个确定的值， y
是否有唯一确定的值与之对应（抓函数的本质属性）.
唯一
自变
量
2. 函数的表示方法
一般有： 、 和 .
列表法
关系式法
图象法
3. 自变量的取值范围
（1）当函数关系式是整式时，自变量可以取全体实数.
（2）当函数的关系式中含分母时，自变量的取值范围
要使分母不为0.
（3）当函数的关系式中含根式时，自变量的取值范围
要使根式有意义.
（4）当函数的关系式中含零次方或负指数时，底数不
能为零.
（5）另外还要考虑与实际问题相符.
题型一 函数的概念
下列问题中的两个变量是否是函数关系？
（1）平行四边形的面积 S 和它的一边长 x 的关系；
解：（1）设 x 这条边上的高为 h ，则 S ＝ hx ，存在3个
变量，∴ S 与 x 之间不是函数关系.
（2）等腰三角形顶角的度数 y 与一个底角的度数 x 的
关系；
解：（2）由题意知 y ＝180°－2 x ，符合函数概念，
∴ y 与 x 之间是函数关系.
（3）在 y2＋ ＝10中， y 与 x 的关系.
解：（3）∵ x 的每一个确定的值， y 不是有唯一确定的
值与之对应，∴ y 与 x 之间不是函数关系.
1. 下列各图象中，不能表示 y 是 x 的函数的是（ A ）
A
B
C
D
A
2. 下列说法中正确的是（ C ）
A. 变量 x ， y 满足 y2＝ x ，那么 y 是 x 的函数
B. 关系式 S ＝π r2中， S 是π的函数
C. 关系式 S ＝60 t 中， S 是 t 的函数， t 是自变量
D. 在球的体积公式 V ＝ π r3中， V 不是 r 的函数
C
3. 下列等式： y ＝ ； ＝ x ； y ＝ x2； x2－ y2＝0.其
中表示 y 是 x 的函数的有 个.
2
题型二 函数的表示方法
如下是卖出苹果的收入随卖出质量的变化表：
卖出质量x/ kg 1 2 3 4 5 6 7 8 9
收入y/元 2 4 6 8 10 12 14 16 18
（1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自
变量？哪个是因变量？
解：（1）这个表反映了卖出苹果的收入与卖出质量
两个变量之间的关系，卖出质量是自变量，收入是因
变量.
（2）写出卖出苹果的收入 y （元）与卖出质量 x （kg）
之间的关系式；
解：（2） y ＝2 x .
（3）当苹果卖出15 kg时，收入是多少元？
解：（3）当 x ＝15时， y ＝2×15＝30，
即当苹果卖出15 kg时，收入是30元.
4. 如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度
h （m）随飞行时间 t （s）的变化情况，则这只蝴蝶飞
行的最高高度约为（ D ）
A. 5 m B. 7 m C. 10 m D. 13 m
（第4题）
D
5. 某校一课外小组准备进行“重庆市半程马拉松”的
宣传活动，需要制作宣传单，该校附近有一家印刷
社，印刷收费 y （元）与印刷数量 x （张）之间的关
系如下表：
印刷数量x（张） … 50 100 200 300 …
印刷收费y（元） … 7.5 15 30 45 …
（1）上表反映了 和 之间的
关系，自变量是 ，因变量是
；
印刷收费
印刷数量
印刷数量
印刷收
费
（2）从上表可知：印刷收费 y （元）随印刷数量 x
（张）的增加而 ；
（3）若需要印刷10 000张宣传单，则需收费
元.
增加
1 500
题型三 函数自变量的取值范围
求下列函数中自变量 x 的取值范围：
（1） y ＝2 x －3；
解：（1） x 的取值范围为一切实数.
（2） y ＝ x2－2 x ＋3；
解：（2） x 的取值范围为一切实数.
（3） y ＝ ；
解：（3）由题意，得 x ＋2≠0，解得 x ≠－2，
∴ x 的取值范围为 x ≠－2.
（4） y ＝ ；
解：（4）由题意，得2 x －3≥0，解得 x ≥ ，
∴ x 的取值范围为 x ≥ .
（5） y ＝ ；
解：（5）由题意，得 x ＋3＞0，解得 x ＞－3，
∴ x 的取值范围为 x ＞－3.
（6） y ＝ ＋（ x －2）0.
解：（6）由题意，得 x ＋4≥0， x ＋1≠0， x －2≠0，
解得 x ≥－4且 x ≠－1， x ≠2，
∴ x 的取值范围为 x ≥－4且 x ≠－1， x ≠2.
6. 函数 y ＝ 的自变量 x 的取值范围是（ C ）
A. x ≠3 B. x ≥3
C. x ≥－1且 x ≠3 D. x ≥－1
C
7. 如图，在长方形 ABCD 中， AB ＝4 cm， AD ＝10
cm， P 是 AD 上任意一点（不与点 A ， D 重合），设 AP
的长为x cm，△ PCD 的面积为S cm2，则 S 与 x 之间的函
数关系式为 ，其中自变量 x 的取值范围
是 .
S ＝20－2 x
0＜ x ＜10
（第7题）(共34张PPT)
第四章 一次函数
3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象和性质
1. 函数的图象
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为
点的 和 ，在直角坐标系内描出相
应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
2. 画函数图象的一般步骤
、描点、 .
注意：函数图象上的点是由满足函数关系式的有序实数
对确定.
横坐标
纵坐标
列表
连线
3. 正比例函数的图象
正比例函数 y ＝ kx 的图象是一条经过
的直线.因此，画正比例函数的图象时，只要再确定一
个点，过这点与原点画直线就可以了.
原点（0，0）
4. 正比例函数的性质
在正比例函数 y ＝ kx 中，当 k ＞0时，图象过第一、三象
限， y 的值随着 x 值的增大而 ；当 k ＜0时，图
象过第二、四象限， y 的值随着 x 值的增大而 .
注意：（1） k 的绝对值越大，直线就越陡，就越靠近 y
轴，相应的函数值上升或下降得越快；
（2） k 决定正比例函数 y ＝ kx （ k ≠0）的图象的增减
性和所经过的象限.
增大
减小
题型一 正比例函数的图象
在同一直角坐标系中，画出函数 y ＝ x ， y ＝ x ， y ＝5 x 的图象，然后比较哪一个与 x 轴正方向所成的锐角最小，由此你得到什么猜想？
解：①列表：
x … 0 1 5 …
y＝ x … 0 — 1 …
y＝x … 0 1 — …
y＝5x … 0 5 — …
②描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角
坐标系内描出相应的点；
（答案图）
③连线：把这些点与原点依次连接起来，如答案图所示.由以上三个函数的图象可知，函数 y ＝ x 与 x 轴正方向所成的锐角最小.
由此猜想：正比例函数 y ＝ kx （ k ＞0）中， k 越小，图象与 x 轴正方向所成的锐角越小.
1. 已知正比例函数 y ＝ kx （ k ≠0），当 x ＝－1时， y ＝
－2，则它的图象大致是（ C ）
C
2. 下列正比例函数中， y 的值随着 x 值的增大而减小的有 .（填序号）
① y ＝8 x ； ② y ＝－0.6 x ；
③ y ＝ x ； ④ y ＝（ － ） x .
②④
题型二 正比例函数的性质
（1）关于函数 y ＝ x ，下列结论中正确的是
（ D ）
A. 函数图象经过点（1，3）
B. 不论 x 为何值，总有 y ＞0
C. y 随 x 的增大而减小
D. 函数图象经过第一、三象限
D
（2）已知正比例函数 y ＝（ m －1） x ，若 y 的值随 x 值
的增大而增大，则点（ m ，1－ m ）所在的象限是
（ D ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
D
（3）如图，三个正比例函数的图象分别对应的关系式
是：① y ＝ ax ；② y ＝ bx ；③ y ＝ cx ，则 a ， b ， c 的大
小关系是（ C ）
A. a ＞ b ＞ c B. c ＞ b ＞ a
C. b ＞ a ＞ c D. b ＞ c ＞ a
C
[分析]（2）已知正比例函数 y ＝（ m －1） x ，若 y 的值
随 x 值的增大而增大，则 m －1＞0，即 m ＞1， 1－ m ＜
0，从而可判断点（ m ，1－ m ）所在的象限；（3）首
先根据直线经过的象限，知 c ＜0， a ＞0， b ＞0，再根
据 越大，直线越陡或越靠近 y 轴，即可得出结果.
3. 点 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2）是正比例函数 y ＝－ x
的图象上的两点，则下列判断正确的是（ B ）
A. y1＞ y2
B. 当 x1＜ x2时， y1＞ y2
C. y1＜ y2
D. 当 x1＜ x2时， y1＜ y2
B
4. 若一次函数 y ＝（ m ＋3） x ＋ m2－9的图象经过原
点，则 m 的值为（ B ）
A. m ＝－3 B. m ＝3
C. m ＝±3 D. m ＝4
B
5. 若正比例函数 y ＝（1－2 m ） x 的图象经过点 A （ x1，
y1）和点 B （ x2， y2），当 x1＜ x2时， y1＞ y2，则 m 的取
值范围是 .
m ＞
第四章 一次函数
3 一次函数的图象
第2课时 一次函数的图象和性质
1. 一次函数的图象
一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象是 ，
因此画一次函数的图象时，只要确定两个点，再过这两
点画直线就可以了.一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象也称为直
线 y ＝ kx ＋ b .
2. 一次函数的性质
一条直线
一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象经过点（0， b ）.当 k 0
时， y 的值随着 x 值的增大而 ；当 k 0
时， y 的值随着 x 值的增大而 .
注意：一次函数的图象与 k ， b 的关系：
（1） k 决定一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的增减性.
①当 k ＞0时， y 随 x 的增大而 ；
②当 k ＜0时， y 随 x 的增大而 ；
③ 越大，图象越陡.
＞
增大
＜
减小
增大
减小
（2） b 决定一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象与 y 轴
的交点.
①当 b ＞0时，直线交 y 轴于 ；
②当 b ＝0时，直线过 ；
③当 b ＜0时，直线交 y 轴于 .
正半轴
原点
负半轴
（3） y ＝ kx ＋ b 与 y 轴交于点 ，与 x 轴交
于点 .
（0， b ）
3. 一次函数 y ＝ kx ＋ b 与正比例函数 y ＝ kx 的图象间的
关系
一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象可由正比例函数 y ＝ kx 的图
象平移得到.当 b ＞0时，向 平移 b 个单位长度； b
＜0时，向 平移－ b 个单位长度.
上
下
*4.两直线的特殊位置关系
已知两直线 l1： y1＝ k1 x ＋ b1， l2： y2＝ k2 x ＋ b2.
k1＝ k2且 b1≠ b2 l1∥ l2.
k1· k2＝－1 l1⊥ l2.
k1≠ k2 直线 l1， l2必有交点.
题型一 一次函数的图象
在同一平面直角坐标系内画一次函数 y ＝2 x －1和 y
＝2 x ＋1的图象.
解：过点（0，－1），（1，1）作直线 y ＝2 x －1，再将它向上平移2个单位长度得到直线 y ＝2 x ＋1，如答案图所示.
（答案图）
1. 下列各点中，不在一次函数 y ＝ x －2的图象上的是
（ B ）
A. （2，0） B. （1，1）
C. （－2，－4） D.
B
2. 已知 k ＞0，则一次函数 y ＝－ kx ＋ k 的图象可能是
（ D ）
A
B
C
D
D
题型二 一次函数的性质
已知函数 y ＝（8－2 m ） x ＋ m －2.
（1）若函数图象经过原点，求 m 的值；
解：（1）由题意，得 m －2＝0，解得 m ＝2，
此时8－2 m ≠0，∴ m 的值是2.
（2）若这个函数是一次函数，且 y 随着 x 的增大而减
小，求 m 的取值范围；
解：（2）由题意，得8－2 m ＜0，解得 m ＞4，
∴ m 的取值范围是 m ＞4.
（3）若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、
三象限，求 m 的取值范围；
解：（3）由题意，得8－2 m ＞0，且 m －2＞0，
解得2＜ m ＜4，
∴ m 的取值范围是2＜ m ＜4.
（4）若函数图象不经过第二象限，求 m 的取值范围.
解：（4）由题意，得该函数图象经过第一、三象限或
经过第一、三、四象限.
当经过第一、三象限时，
8－2 m ＞0，且 m －2＝0，此时 m ＝2；
当经过第一、三、四象限时，
8－2 m ＞0，且 m －2＜0，此时 m ＜2.
综上所述， m 的取值范围是 m ≤2.
3. 直线 l1： y ＝ kx － b 和 l2： y ＝－2 kx ＋ b 在同一直角坐
标系中的图象可能是（ D ）
A
B
D
C
D
4. （1）已知点 A （－5， a ）， B （4， b ）在直线 y ＝
－3 x ＋2上，则 a b ；（填“＞”“＜”或
“＝”）
（2）直线 y ＝ kx ＋ b 与直线 y ＝ x 平行，且与直线 y ＝2 x
＋3交于 y 轴上同一点，则 k ＝ ， b ＝ .
＞
1
3
题型三 一次函数的平移
在平面直角坐标系中，直线 l1与直线 y ＝2 x －3平
行，且经过点（0，5），将直线 l1向上平移3个单位长度
得到直线 l2.
（1）求直线 l1， l2的解析式；
解：（1）∵直线 l1与直线 y ＝2 x －3平行，
∴设直线 l1的解析式为 y ＝2 x ＋ b .
把点（0，5）代入，得 b ＝5，
∴直线 l1的解析式为 y ＝2 x ＋5，
∴直线 l1向上平移3个单位长度，得到直线 l2的解析式为
y ＝2 x ＋5＋3＝2 x ＋8.
（2）如果直线 l2与 x 轴、 y 轴分别交于点 A ， B ，求
△ AOB 的面积.
解：（2）由（1）知，直线 l2的解析式为 y ＝2 x ＋8.
令 y ＝0，则2 x ＋8＝0，
解得 x ＝－4，∴ A （－4，0）.
令 x ＝0，则 y ＝8，∴ B （0，8），
∴ S△ AOB ＝ OA · OB ＝ ×4×8＝16.
5. （1）将直线 y ＝－2 x ＋1向上平移2个单位长度，平
移后的直线的解析式为 ；
（2）将直线 y ＝ kx －2向下平移4个单位长度得直线 y ＝
kx ＋ m .已知方程 kx ＋ m ＝0的解为 x ＝3，则 k
＝ ， m ＝ ；
（3）在平面直角坐标系中，直线 y ＝2 x ＋1沿 y 轴的方
向向上平移了 m （ m ＞0）个单位长度后，该直线与坐
标轴围成的三角形的面积增加了2，则 m 的值为 .
y ＝－2 x ＋3
2
－6
2
