(共16张PPT)
第二章 实 数
4 估 算
1. 用估算法确定无理数的大小
对于带根号的无理数的近似值可以通过平方运算或立方
运算，采用“夹逼法”（即两边无限逼近的方法）逐级
夹逼求出.
2. 用估算法比较数的大小
用估算法比较两个数的大小，一般先采用分析的方法，
估算出无理数的大致范围，再作具体的比较.
题型一 用估算法确定无理数的大小
我们知道 ≈1.414，于是我们说：“ 的整数部
分为1，小数部分则可记为 －1”.则：
（1） －3的整数部分为 ，小数部分则可记
为 ；
－1
－2
（2）已知3＋ 的小数部分为 a ，7－ 的小数部
分为 b ， 求 a ＋ b 的值.
解：∵25＜31＜36，∴5＜ ＜6，∴8＜3＋
＜9，
∴3＋ 的整数部分是8，小数部分是 －5，
即 a ＝ －5；
同理，∵25＜31＜36，∴－6＜－ ＜－5，∴1＜
7－ ＜2，
∴7－ 的整数部分是1，小数部分是6－ ，即
b ＝6－ ，∴ a ＋ b ＝ －5＋6－ ＝1.
[方法总结] 利用夹逼法先求出无理数的范围，即可得到
该无理数的整数部分，进而用无理数减去整数部分即为
该无理数的小数部分.
1. 估计 的值在（ C ）
A. 2和3之间 B. 3和4之间
C. 4和5之间 D. 5和6之间
2. 估计2 －1应在哪两个连续自然数之间（ B ）
A. 1和2 B. 2和3
C. 3和4 D. 4和5
C
B
3. 若 的小数部分为 a ， 的整数部分为 b ，则 a ＋
b － 的值为 .
4
题型二 用估算法比较两个数的大小
秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马
俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为
，下列估算正确的是（ C ）
C
A. 0＜ ＜ B. ＜ ＜
C. ＜ ＜1 D. ＞1
通过估算比较 与 的大小.
解法一： － ＝ ，
∵ －2＜0，∴ － ＜0，即 ＜ .
解法二：∵3＜4，即（ ）2＜22，∴ ＜2，
∴ ＜ ，即 ＜ .
[方法总结] 用估算法比较大小（至少有一个无理数）
时，一般方法：（1）先估算出无理数在哪两个有理数
之间，再比较；（2）作差比较；（3）分别平方，如果
a2＞ b2，则 ＞ .
4. 比较大小（填“＞”“＜”或“＝”）：
（1） 9； （2） 2；
（3） ； （4）－ －3.6.
5. 将 ， ， 这三个数按从小到大的顺序排列
为 ＜ ＜ .
＜
＞
＞
＞
＜ ＜
题型三 借助估算解决生活中的问题
中午12时，有两艘船同时从港口 A 开出，一艘船向
正东方向行驶，时速为18海里，另一艘船向正南方向行
驶，时速为14海里，如图所示，2小时后第一艘船到达
B 处，第二艘船到达 C 处，这时两艘船相距约多少海
里？（精确到1海里）
解：由题意，知 AB ＝18×2＝36（海里），
AC ＝14×2＝28（海里）.
根据勾股定理，得 AB2＋ AC2＝ BC2，∴ BC2＝2 080.
∵452＝2 025，45.52＝2 070.25，462＝2 116，
∴ BC ＝ ≈46（海里）.
即这时两艘船相距约46海里.
6. 如图所示，从电线杆上 C 处接一根线固定到地面，已
知点 C 到地面的距离为5 m（底部对应的点为 B ），拉
线长为8 m，那么拉线在地面的固定点 A 到电线杆底 B
的距离可能达到6.5 m吗？
（第6题）
解：设固定点 A 到电线杆底 B 的距离为x m，根据勾股
定理，得 x2＋52＝82，则 x2＝39， x ＝ .
∵6.52＝42.25＞39，∴6.5＞ .
∴拉线在地面的固定点 A 到电线杆底 B 的
距离不可能达到6.5 m.
（第6题）(共7张PPT)
第二章 实 数
5 用计算器开方
1. 用计算器开方时，要注意按键顺序.
2. 任意一个很大或很小的正数，利用计算器对它进行开
方运算，对所得结果再进行开方运算……随着开方次数
的增加，结果都趋近于0.
题型一 用计算器开方
用计算器求值（精确到0.001）：
（1） ；
解：（1）按键 5 2 9 ＝ S D，
显示23.所以 ＝23.000.
（2） ；
解：（2）按键 9 ▼ 7 ＝ S D，
显示1.133 893 419.所以 ≈1.134.
（3） .
解：（3）按键SHIFT （－） 7 ＝，
显示－1.912 931 183.所以 ≈－1.913.
1. 利用计算器计算（精确到0.001）：
（1） － ≈ ；
（2） － ≈ .
0.517
2.056
题型二 利用计算器比较大小
利用计算器比较 与 的大小.
解： 的按键顺序： 2 ＝ S D，
显示1.414 213 562.故 ≈1.414.
的按键顺序：SHIFT 5 ＝，
显示1.709 975 947.故 ≈1.710.
∴ ＜ .
2. 利用计算器比较 与 ＋ 的大小.
解：用计算器求得 ≈1.618，
＋ ≈1.614.
∵1.618＞1.614，∴ ＞ ＋ .(共21张PPT)
第二章 实 数
7 二次根式
第1课时 二次根式与最简二次根式的概念
1. 二次根式的概念
一般地，形如 （ a ≥0）的式子叫做二次根式，
a 叫做 .
注意：二次根式 是 a 的算术平方根，所以具有双重非
负性，即 a ≥0， ≥0.
被开方数
2. 二次根式的性质
（1） ＝ · （ a ≥0， b ≥0）；
（2） ＝ （ a ≥0， b ＞0）.
·
一般地，被开方数不含 ，也不含能开得尽方
的 ，这样的二次根式，叫做最简二次
根式.
分母
因数或因式
3. 最简二次根式
注意：（1）最简二次根式的要求：
①根号下不含开得尽方的因数或因式；
②根号下不含分数（小数也是分数）；
③分母中不含根号.
（2）在计算或化简二次根式时，必须把最后的结果化
成最简二次根式.
4. 化为最简二次根式的常见方法
（1） ＝ a （ a ≥0， b ≥0），
如： ＝ ＝ ＝2 .
（2） ＝ ＝ （ a ≥0， b ＞0），
如： ＝ ＝ .
（3） ＝ ＝ （ b ＞0），
如： ＝ ＝ .
题型一 二次根式的概念及有意义的条件
（1）下列式子中二次根式的个数有（ C ）
① ；② ；③－ ；④ ；
⑤ ；⑥ （ x ＞1）；⑦ .
C
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
（2）若式子 有意义，则实数 x 的取值范围是
.
[知识总结] 要使二次根式有意义，被开方数必须为非
负数.
x ≥
－1且 x ≠0
1. 下列的式子一定是二次根式的是（ C ）
A. B.
C. D.
2. 若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范
围为 .
C
x ＞－
题型二 二次根式的化简
化简：
（1） ；
解：（1）原式＝ ＝ × ＝6 .
（2） ；
解：（2）原式＝ ＝ ＝ .
（3） ；
解：（3）原式＝ ＝ × ＝4×5＝20.
（4） （ a ＞0）.
解：（4）原式＝ ＝ ＝ .
3. 请写出一个正整数 m 的值使得 是整数： m
＝ .
4. 化简：
2
（1） ；
解：原式＝36.
（2） ；
解：原式＝3 .
（3） ；
解：原式＝4 .
（4） .
解：原式＝24.
题型三 最简二次根式
（1）下列根式： ， ， ， ，
， ， ，其中是最简二次根式的
是 ；
，
（2）化简：
① ＝ ； ② ＝ ；
③ ＝ ； ④ ＝ ；
⑤ ＝ .
[方法总结] 化成最简二次根式的一般方法：①将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；②若被开方数含有带分数，应先将带分数化为假分数；③若被开方数含有小数，可先将小数化为分数后再化简.
5. 把下列各式化成最简二次根式：
（1） ；
解：（1）原式＝ ＝ ＝ .
（2） ；
解：（2）原式＝ ＝ ＝ .
（3） ；
解：（3）原式＝ ＝ ＝ ＝ .
（4） （ a ＞0）；
解：（4）原式＝ ＝3 a .
（5） x2 .
解：（5）原式＝ x2 ＝ .(共16张PPT)
第二章 实 数
7 二次根式
第2课时 二次根式的乘除运算
二次根式的乘法法则和除法法则
（1） · ＝ （ a ≥0， b ≥0）；
（2） ＝ （ a ≥0， b ＞0）.
③结果化为最简.
注意：（1）对于乘法公式可以推广到多个二次根式相
乘：如 · · ＝ （ a ≥0， b ≥0， c ≥0）.
（2）二次根式相乘（除）的运算方法：
①先将根号前的系数相乘（除）；
②再将被开方数相乘（除），根指数不变；
（3）除法中，被开方数若为带分数一般先化为假分数.
（4）最终结果中分母不含根号，且各个二次根式是最
简二次根式.
题型一 二次根式的乘除运算
计算：
（1）3 × ；
解：原式＝3 ＝3 ＝3×4＝12.
（2） ÷ ；
解：原式＝ ÷ ＝ ＝ .
（3） ；
解：原式＝ ＝ ＝4 .
（4）3 × ÷2 .
解：原式＝9 × ÷2 ＝ ÷2 ＝ .
1. 下列各式错误的是（ C ）
A. 5＝（ ）2 B. 5＝（－ ）2
C. 5＝（ ）2 D. 5＝
C
2. 计算：
（1） ；
解：原式＝ ＝ ＝2 .
（2） ÷ ；
解：原式＝ ÷ ＝ ＝3.
（3） ×4 ÷ .
解：原式＝4× ＝4× ＝2.
题型二 运用运算律和乘法公式进行二次根式的计算
计算：
（1）（2 ＋ ）（2 － ）；
解：原式＝（2 ）2－（ ）2
＝12－2＝10.
（2） × ＋（ －1）2；
解：原式＝ ＋（3－2 ＋1）
＝8＋4－2 ＝12－2 .
（3） × ；
解：原式＝ × － ×
＝ － ＝20－2＝18.
（4）（ ＋1）（ －1）－（ － ）2.
解：原式＝（ ）2－12－（3－2 × ＋2）
＝5－1－5＋2 ＝2 －1.
3. 估计（ ＋ ）× 的值应在（ C ）
A. 4和5之间 B. 5和6之间
C. 6和7之间 D. 7和8之间
C
4. 计算：
（1）（ ＋3 ）2；
解：原式＝6＋2× ×3 ＋27
＝33＋18 .
（2）（ ＋ ）（ － ）－（ ＋1）2；
解：原式＝（ ）2－（ ）2－（2＋2 ＋1）
＝10－7－3－2
＝－2 .
（3） × －（2 － ）（ ＋2
）.
解：原式＝10－ －[（2 ）2－（ ）2]
＝10－ －18
＝－8－ .
题型三 用平方法比较两个数的大小
比较大小：
（1）2 与3 ；
解：∵（2 ）2＝20，（3 ）2＝18，20＞18，
∴2 ＞3 .
（2）－7与－4 .
解：∵（－7）2＝49，（－4 ）2＝48，49＞48，
∴－7＜－4 .
5. 比较下列两数的大小：
（1） 与1；
解：∵ ＝ ，12＝1， ＜1，
∴ ＜1.
（2）1＋ 与 ＋ .
解：∵（1＋ ）2＝7＋2 ，（ ＋ ）2＝7＋2
，
7＋2 ＜7＋2 ，
∴1＋ ＜ ＋ .(共15张PPT)
第二章 实 数
3 立方根
1. 立方根的概念及表示方法
一般地，如果一个数 x 的 等于 a ，即
，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（也叫做
方根）.记作 ，读作“ ”.
注意：“3”是根指数，不能省略.
2. 立方根的性质
每个数都有一个立方根，正数的立方根是 ；0
的立方根是 ；负数的立方根是 .
注意：立方根具有唯一性.
立方
x3＝
a
三次
三次根号 a
正数
0
负数
（1）求一个数 a 的 的运算叫做开立方， a 叫
做被开方数.
（2）开立方与 互为逆运算.
（3）重要公式：
①（ ）3＝ ＝ a ；
② ＝－ .（一对相反数的立方根仍互为相反数）
立方根
立方
3. 开立方
题型一 立方根的概念及性质
下列说法正确的有 .（填序号）
①立方根等于它本身的数有3个；
②负数没有立方根；
③ ＝2；
④任何正数都有两个立方根，它们互为相反数.
[分析]①立方根等于它本身的数有－1，0，1；②负数的
立方根是负数；③23＝8≠6；④任何数都有且只有一个
立方根.
①
1. 的值一定为（ B ）
A. 正数 B. 负数
C. 非正数 D. 非负数
2. 若 ＋ ＝0，则 a 与 b 的关系是
.
B
互为相反数（或
a ＋ b ＝0，或 a ＝－ b ）
题型二 开立方
（1）求下列各数的立方根：
①125；
解：① ＝5.
②－0.064；
解：② ＝－0.4.
③3 ；
解：③ ＝ .
④－2.16×105；
解：④ ＝－60.
⑤93；
解：⑤ ＝9.
（2）求 x 的值：27（ x －1）3＋8＝0；
解：∵27（ x －1）3＋8＝0，∴（ x －1）3＝－ ，
∴ x －1＝ ＝－ ，∴ x ＝ .
（3）解方程：3 x3＋4＝－20.
解：∵3 x3＝－24，∴ x3＝－8，∴ x ＝－2.
[方法总结] 开立方运算时，需注意以下两点：①开立方
与立方互为逆运算，在开立方运算时，往往通过立方运
算去完成；②求一个数的立方根时，如果被开方数是带
分数，应先化成假分数.
3. 下列说法正确的是（ C ）
A. －0.027的立方根是0.3
B. －9的平方根是±3
C . 16的立方根是
D. 0.01的立方根是0.000 001
C
4. 化简：
（1）－ ＝ － ； （2） ＝ ；
（3） ＝ － ；
（4） ＋ ＋ －（ ）3＝ ；
（5） 的立方根是 .
－
－
－6
－2
5. 求下列各式中 x 的值：
（1）3 x3＝ ；
解：∵ x3＝ ，
∴ x ＝ .
（2）27（ x ＋1）3＋64＝0.
解：∵（ x ＋1）3＝－ ，
∴ x ＋1＝－ ，
∴ x ＝－ .
题型三 立方根与平方根的综合运用
若 3 x ＋16的立方根是4，求2 x ＋4的平方根.
解：∵3 x ＋16的立方根是4，∴3 x ＋16＝43，解得 x ＝
16.
将 x ＝16代入2 x ＋4，得2 x ＋4＝2×16＋4＝36.
∴± ＝±6，即2 x ＋4的平方根为±6.
6. （1）一个正数的两个平方根分别是2 m －1和4－3
m ，则5 m －42的立方根为 ；
（2）若 ＝－3，则4－ a 的平方根是 .
－3
±4 (共13张PPT)
第二章 实 数
1 认识无理数
1. 无理数的概念
无限 小数称为无理数.
注意：（1）无理数可分为正无理数和负无理数.
（2）小数
不循环
有理数
2. 几种常见无理数的类型
（1）一般的无限不循环小数，如3.141 592 6…，1.414
213 56…；
（2）无限不循环但有规律的小数，如1.101 001…（每
相邻两个1之间0的个数逐次加1）；
（3）含π的数，如π， ；
（4）开方开不尽的数.
注意：含π的数不一定都是无理数，如：（π－1）0.
3. 有理数与无理数的区别
（1）无理数是无限不循环小数，而有限小数或无限循
环小数是有理数.
（2）所有的有理数都能化成分数（整数可以看成是分
母为1的分数），而无理数不能化为分数.
注意： 形似分数，但它不是分数，是无理数.
4. 夹逼法估算无理数的近似值
题型一 无理数的发现及估算无理数的近似值
如图是一个由五个边长为1的小正方形组成的图
形，我们可以把它剪拼成一个正方形.
（1）拼成的正方形的面积是多少？这个正方形的边长
是有理数吗？
解：（1）设正方形的边长为 a .
∵小正方形的边长为1，
∴小正方形的面积为1，则剪拼
成的大正方形的面积为5，即 a2＝5.
∵22＝4，32＝9，∴2＜ a ＜3.∴ a 不是整数.
又∵分数的平方还是分数，∴ a 不是有理数.
（2）估计正方形边长的值.（结果保留到百分位）
解：（2）∵2.22＜5＜2.32，∴2.2＜ a ＜2.3.
∵2.232＜5＜2.242，∴2.23＜ a ＜2.24.
∵2.2362＜5＜2.2372，∴2.236＜ a ＜2.237.
∴ a 保留到百分位约为2.24.
1. 满足以下条件的正方形的边长不是有理数的是
（ D ）
A. 面积为16 B. 面积为
C. 面积为1.21 D. 面积为6
D
2. 一个高为2 m、宽为3 m的长方形大门，对角线的长度
为a m.
（1） a 是有理数吗？为什么？
解：（1） a 不是有理数.理由如下：
由勾股定理，得 a2＝22＋32＝13.
∵ a ＞0，32＝9，42＝16，9＜13＜16，
∴3＜ a ＜4.∴ a 不是整数.
∵分数的平方还是分数， ∴ a 不是分数.
∴ a 不是有理数.
（2）估计 a 的值.（精确到0.1）
解：（2）∵3.62＝12.96，3.72＝13.69，∴3.6＜ a ＜3.7.
∵3.62＝12.96，3.612＝13.032 1，
∴3.6＜ a ＜3.61.∴ a ≈3.6.
题型二 无理数的概念
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0，3.14，－ ，π，2－1，2. ，0.303 003 000 3…（每
相邻两个3之间0的个数逐次加1），（π－3）0.
解：有理数有0，3.14，－ ，2－1，2. ，（π－3）0；
无理数有π，0.303 003 000 3…（每相邻两个3之间0的个
数逐次加1）.
3. 下列语句：①无限小数不能转化为分数；②所有的无
理数都是无限小数；③有限小数是有理数；④无限小数
是无理数.其中正确的有（ C ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
C
4. 在数3.14， ，0.604， ，1.225 222 522 225…（每
相邻两个5之间2的个数逐次加1）中，是无理数的
是
.
，1.225 222 522 225…（每相邻两个5之间2的个数
逐次加1） (共21张PPT)
第二章 实 数
6 实 数
1. 实数的概念
和 统称为实数.
有理数
无理数
2. 实数的分类
（1）按定义分：
实数
实数
（2）按符号分：
3. 实数的性质
（1）在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和
有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一
样.如实数 a 的相反数为－ a ，绝对值为 ，当 a ≠0
时，倒数为 .
（2）实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、
乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然
适用.
4. 实数与数轴上点的关系
（1）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反
过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数
轴上的点是 对应的.
（2）在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的
数大.
一一
题型一 实数的概念及分类
（1）下列说法：①无限小数是无理数；②3.14是无
理数；③ 是有理数；④无理数都可以用数轴上的点表
示；⑤实数都是无理数；⑥无理数是开方开不尽的数；
⑦无理数是无限不循环小数；⑧实数包括有理数.其中
正确的说法有（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
（2）把下列各数填在相应的表示集合的大括号内：－
3，－0.4， π－3， ，－ ， － ，－ ，1. ，
，0，4.262 262 226…（相邻两个6之间的2的个数逐
次加1）.
整数集合： ；
分数集合： ；
262 226…
无理数集合：{ π－3， ， ，4.262 262 226…
π－3， ， ，4.262 262 226…
（相邻两个6之间的2的个数逐次加1） …}.
[方法总结] （1）有理数和无理数统称为实数，有理数
包括整数、有限小数和无限循环小数；（2）无理数的
一般形式：①写成无限不循环形式的小数；②开方开不
尽的根式；③含有π.
（相邻两个6之间的2的个数逐次加1）
1. 在实数 ， ， ， 中，有理数是（ C ）
A. B. C. D.
C
正确的有（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
2. 下列判断：
①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；
②实数包括无理数和有理数；
③2的算术平方根是 ；
④无理数是带根号的数.
3. 把下列各数填在相应的横线上：
－ ，3.141 5，0， ，（π－3）0，－5. ， ，
5.121 121 112.
有理数：
；
无理数： .
－ ，3.141 5，0，（π－3）0，－5. ，
5.121 121 112
，
题型二 实数的性质及运算
（1） － 的相反数为 － ，绝对值
为 ；
（2）计算： ＋ .
解：原式＝ －1＋ －
＝ －1.
[知识总结] 有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意
义在实数范围内同样适用.
－
－
4. 下列各组数中互为相反数的一组是（ C ）
A. 2与 B. 与
C. －2与 D. 2与
C
5. （1） 的倒数是 ；
（2）（2024·重庆育才）计算： ＋（－1）3－
－ ＝ ；
（3）化简： ＋ ＋ ＝
.
0
4－
题型三 实数在数轴上的表示
在数轴上作出 对应的点.
解：如图， OA ＝4， AB ＝1， BA ⊥ OA .
以点 O 为圆心， OB 长为半径画弧交数轴的正半轴于点
P ，则点 P 对应的实数即为 .
[方法总结] 若作负无理数对应的点，则用圆规以点 O 为
圆心，以 OB 长为半径向数轴的负方向画弧.
6. 如图，数轴上 A ， B 两点表示的数分别为 和5.1，
则 A ， B 两点之间表示整数的点共有（ C ）
A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
（第6题）
C
7. 如图，在数轴上，点 A 到点 C 的距离与点 B 到点 A 的
距离相等， A ， B 两点所对的实数分别是1和－ ，则
点 C 对应的实数是 .
（第7题）
2＋
题型四 实数大小的比较
在实数0，－ ， ，－2中，最小的是
（ B ）
A. 0 B. － C. D. －2
[分析]实数中，负数＜0＜正数，且绝对值越大的负数越
小，由此可得到答案.
B
8. 实数 a ， b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列
式子成立的是（ D ）
A. a ＞ b B. ＜
C. a ＋ b ＞0 D. ＜0
D
（第8题）(共19张PPT)
第二章 实 数
7 二次根式
第3课时 二次根式的加减运算
1. 同类二次根式
几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相
同，则这几个二次根式就叫做同类二次根式.
注意：判断同类二次根式前一定要先化为最简二次根
式.
2. 二次根式的加减运算
二次根式的加减运算实质就是合并同类二次根式.
3. 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算可以类比有理数的混合运算和整式
的化简，可以利用各种运算律及乘法公式.最后的结果
如果是二次根式一定要化成最简二次根式.
题型一 判断同类二次根式
指出下列各组的二次根式中，哪些是同类二次根式.
（1） 与 ；
解：（1） ＝2 ，
∴ 与 是同类二次根式.
（2） 与 ；
解：（2） ＝2 ， ＝3 ，
∴ 与 不是同类二次根式.
（3） 与 ；
解：（3） ＝ ， ＝2 ，
∴ 与 是同类二次根式.
（4） 和 （ x ＞0）；
解：（4） ＝ ＝ ，
∴ 和 （ x ＞0）是同类二次根式.
（5） 和 .
解：（5） ＝ ，
∴ 和 不是同类二次根式.
1. 下列各式中，与 是同类二次根式的是（ B ）
A. B. C. D.
B
2. （1）以下二次根式：① ；② ；③ ；④
；⑤ 中，与 是同类二次根式的是
；（填序号）
（2）最简二次根式 与 是同类
二次根式，则3 a － b 的值为 .
①④
⑤
2
题型二 二次根式的加减运算
计算：
（1） －3 ＋ ；
解：原式＝4 － ＋
＝ ＝ .
（2）（ ＋ ）－ .
解：原式＝ ＋2 － ＋
＝ ＋ .
[误区点拨] 注意把3 与3＋ 区分开，3 ＝3× .
3. 下列二次根式能与2 合并的是（ C ）
A. B. C. D.
4. 计算4 ＋3 － 的结果是（ B ）
A. ＋ B.
C. D. －
C
B
5. 计算：
（1）2 －6 ＋6 ；
解：原式＝ －12 ＋
＝ －12 .
（2） ＋ － .
解：原式＝3 ＋6 － －5
＝ －2 .
题型三 二次根式的混合运算
计算：
（1） × ；
解：原式＝ －3 ＋
＝4 －3 ＋
＝ －3 .
（2）（3－ ）（2 ＋3 ）；
解：原式＝6 ＋9 －2 －3
＝6 ＋9 －6 －6
＝3 .
（3） － × ＋ ＋ .
解：原式＝2 －3 ＋ ＋ －1
＝ －1.
6. 计算：
（1）（－3）0－ ＋（1－ ）2＋ ；
解：原式＝1－3 ＋1－2 ＋3＋
＝5－ .
（2）（ －1）2－ ；
解：原式＝3－2 ＋1－3＋
＝1－ .
（3）2 － ；
解：原式＝2 －3 － ＋2
＝4 －4 .
（4） a －2 a2 ＋3 .
解：原式＝2 a －2 a2· ＋3 a
＝ a .(共33张PPT)
第二章 实 数
2 平方根
第1课时 算术平方根
1. 算术平方根的概念
一般地，如果一个正数 x 的 等于 a ，即
，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记作
“ ”，读作“ ”.
特别地，0的算术平方根是 ，即 ＝0.
平方
x2＝
a
根号 a
0
2. 算术平方根的性质
（1）正数 a 有一个算术平方根，即 ；0的算术平方根
是0，即 ＝0；负数没有算术平方根.
注意：式子 有意义的条件： a ≥0.
（2）算术平方根 具有双重非负性：
① a ≥0；② ≥0.
题型一 算术平方根的概念
（1）如图，有一个数值转换器，原理如下：
当输入的 x 是81时，则输出的 y 是 ；
（2）求下列各数的算术平方根：
①36； ②0；
解：① ＝6.
解：④ ＝0.7.
解：③ ＝ .
解：② ＝0.
⑤3；
解：⑤ ＝ .
③ ； ④0.49；
⑥10－6；
解： ⑥ ＝10－3.
⑦1 ；
⑧132－122.
解：⑦ ＝ ＝ .
解：⑧ ＝ ＝5.
1. （1）9的算术平方根是 ；
（2） 的算术平方根是 ；
（3）算术平方根等于其本身的数是 .
3
0和1
2. 填空：
（1） ＝ ； （2） ＝ ；
（3） ＝ ；
（4） ＋ ＝ ；
（5） －3× ＝ － .
1.7
3
－
题型二 算术平方根的双重非负性
（1）要使下列各式有意义，求 x 的取值范围：
① ； ② ； ③ ＋ ；
解：① x ≥－3.② x 为任意数.③ x ＝2.
（2）已知（ x －1）2＋ ＝0，则（ x ＋ y ）2 024的
算术平方根是 ；
1
（3）已知 x ， y 为有理数，且 y ＝ － ＋
4，求 y 的算术平方根.
解：∵ x2－9≥0，9－ x2≥0，
∴ x2－9＝0，∴ x2＝9.∴ y ＝4.
∴ y 的算术平方根为 ＝2.
[知识总结] 算术平方根 和绝对值、偶次方一样具有
非负性，而且被开方数 a 也具有非负性，灵活运用算术
平方根的双重非负性是解决此类问题的关键.
3. （2024·重庆北碚区）若二次根式 有意义，则 x
的取值范围是（ B ）
A. x ＞2 B. x ≥2 C. x ＜2 D. x ≤2
4. （1）已知 与 互为相反数，则 a ＋ b 的
值为 ；
（2）已知 a2－2 a ＋1＋ ＝0，则以 a ， b 为两边
的等腰三角形的周长是 .
B
－1
7
5. 如果数 x ， y 满足 y ＝ ＋ ＋2，求 x ＋3 y
的算术平方根.
解：由题意，得 x －3≥0，3－ x ≥0，
∴ x ＝3，则 y ＝2.
∴ x ＋3 y ＝3＋3×2＝9，
∴ x ＋3 y 的算术平方根为 ＝3.
题型三 算术平方根的实际应用
勤俭节约是中华民族的传统美德，薇薇的爷爷是个
能工巧匠，他把两张破损了一部分的桌面重新拼接成一
张完整的正方形桌面，其面积为169 dm2.已知他用的两
张小桌面也是正方形的桌面，其中一张是边长为5 dm的
小桌面，试问另一张较大的桌面的边长应为多少才能拼
接出面积为169 dm2的桌面？
解：设另一张较大的桌面的边长为x dm，则有
x2＋52＝169.∴ x2＝144.
∵ x ＞0，∴ x ＝12.
答：另一张较大的桌面的边长应为12 dm.
6. 八年级（1）班的王权同学上周搬进了新家，其中王
权的书房面积是16 m2，王权数了一下，地面所铺的正
方形地砖正好是25块，请你求出王权的书房里铺设的地
砖的边长是多少厘米？
解：设铺设的地砖的边长为x m，则25 x2＝16，
∴ x2＝0.64.
∵ x ＞0，∴ x ＝ ＝0.8.
∵0.8 m＝80 cm，
∴王权的书房里铺设的地砖的边长为80 cm.
第二章 实 数
2 平方根
第2课时 平方根
1. 平方根的概念
一般地，如果一个数 x 的 等于 a ，即
，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（也叫做
）.记作“± ”，读作“正、负根号 a ”.
平方
x2＝
a
二次方
根
2. 平方根的性质
（1）一个正数有 平方根，它们互为
，即正数 a 的平方根为± ；0只有 平方
根，它是0本身；负数 平方根.
（2） ＝ ＝
（3）（ ）2＝ a （ a ≥0）.
两个
相反
数
一个
没有
3. 开平方
（1）求一个数 a 的 的运算，叫做开平方， a
叫做被开方数.
注意：①开平方时，被开方数 a 必须是非负数.
②开平方和加、减、乘、除、乘方一样，也是一种运
算，而平方根是一个数，是开平方的结果.
（2）开平方与平方互为逆运算.
平方根
题型一 平方根的概念
（1）下列各数：49， ，0，－4，－（－
3），－ ，－（－5）4，其中有平方根的有
（ B ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
（2）一个正数的两个平方根分别是2 a －1和5－3 a ，则
这个正数是 .
B
49
1. 平方根等于它本身的数是（ A ）
A. 0 B. 1，0
C. 0，1，－1 D. 0，－1
2. 下列说法中正确的是（ A ）
A. －2是4的平方根 B. 4的平方根是－2
C. 的平方根是±2 D. 的算术平方根是2
A
A
题型二 求平方根
求下列各数的平方根：
（1）100；
解：（1）± ＝±10.
（2） ；
解：（2）± ＝± .
（3）（－5）2；
解：（3）± ＝±5.
（4）0.09；
解：（4）± ＝±0.3.
（5）2 ；
解：（5）± ＝± .
（6） .
解：（6） ＝3，∴± ＝± .
[方法总结] 求一个数的平方根，如果被开方数是小数，
要注意小数点的位置；如果被开方数是带分数，应先将
带分数化成假分数；如果被开方数有乘方，需先计算乘
方，再求平方根.
求下列各式中 x 的值：
（1）49 x2－16＝0；
解： x2＝ ， x ＝± .
（2）2（ x －2）2＝8.
解：（ x －2）2＝4， x －2＝± ＝±2，
x －2＝2或 x －2＝－2，
x ＝4或 x ＝0.
3. （1） 的平方根是 ， 的算术平方根
是 ；
（2） 的平方根是 ± ，（－7）2的平方根
是 ，－（－4）3的平方根是 .
±3
3
±
±7
±8
4. 填空：（1）－ ＝ ；
（2）± ＝ ± ；
（3）± ＝ .
－16
±
±10－4
5. 求下列各式中 x 的值：
（1）4 x2＝1；
解： x ＝± .
（2）3（ x －1）2－27＝0.
解： x ＝4或 x ＝－2.
题型三 利用 ＝ 与 ＝ a 化简
已知 a ， b 两数表示的是数轴上的 A ， B 两点，如
图所示，化简： ＋ ＋（ ）2.
解：由数轴可得 a ＜0， b＞0， a－ b ＜0，
∴原式＝ ＋ ＋ b
＝－ a ＋ b － a ＋ b
＝2 b －2 a .
6. 填空：
（1） ＝ ；
（2） ＝ ；
（3） ＝ ；
5
5
（4） ＝ ；
（5）若 ＝ a －1，则 a .
≥1
7. 若4＜ a ＜7，则（ ）2－ 化简后的
结果为 .
8. （2024·重庆育才） 已知 a ， b ， c 在数轴上的位置如
图所示，化简代数式： － ＋ 的
值为 .
2 a －11
b ＋ c － a
（第8题）
