2024-2025学年四川省眉山市东坡区苏洵中学九年级（上）入学数学试卷（含解析）

2024-2025学年四川省眉山市东坡区苏洵中学九年级（上）入学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在式子，，，，，，中，分式的个数是( )
A. B. C. D.
2.下列分式中，有意义的条件为的是( )
A. B. C. D.
3.下列说法不正确的是( )
A. 平行四边形对边平行
B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
C. 平行四边形对角相等
D. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
4.下列各式中为二次根式的是( )
A. B. C. D.
5.如图，下列条件不能判定四边形是矩形的是( )
A.
B. ，，
C. ，
D.
6.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
7.若一次函数的图象经过一、二、四象限，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.反比例函数的图象上有两点，，若，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
9.如图，四边形是菱形，，，于点，则的长度为( )
A. B. C. D.
10.已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是( )
A. 且 B.
C. 且 D.
11.如图，在中，，，，为边上一动点不与、重合，于，于，为中点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.如图，是的角平分线，于点，于点，连接交于有以下四个结论：；；当时，四边形是正方形；其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断据悉，该材料的厚度仅有米用科学记数法表示是______．
14.已知，，，，这组数据的平均数是，则这组数据的中位数是______．
15.如图， 对角线、相交于点，若，，则的周长为______．
16.如图，正方形在平面直角坐标系中，点的坐标是，则点的坐标为______．
17.若关于的方程无解，则的值为______．
18.如图，是边长为的等边三角形，反比例函数的图象与边、分别交于点、点不与点重合若于点，则的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：．
20.本小题分
先化简，然后在，，中选一个你喜欢的值，代入求值．
21.本小题分
按要求解下列关于的一元二次方程．
配方法；
公式法．
22.本小题分
如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接．
求证：；
若，求的大小．
23.本小题分
年月日，神舟十三号乘组三位航天员首次在中国空间站进行太空授课，传播载人航天知识．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，从七、八年级各随机抽取了名学生进行科普知识竞赛百分制，测试成绩整理、描述和分析如下：成绩得分用表示，共分成四组
A、
B、
C、
D、
其中，七年级名学生的成绩是：，，，，，，，，，
八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
这次比赛中______年级成绩更稳定；
直接写出上述，，的值：______，______，______；
该校八年级共人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀放入八年级学生人数是多少？
24.本小题分
某电脑公司经销甲、乙两种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为元，乙种电脑每台进价为元，乙种电脑每台售价元受经济危机的影响，甲种型号电脑售价不断下降，今年三月份的甲种电脑每台售价比去年同期甲种电脑每台售价低元，如果卖出相同数量的甲种电脑，去年甲种电脑销售额为万元，今年甲种电脑销售额只有万元．
今年月份甲种电脑每台售价多少元？
今年为了控制成本并保证经营质量，公司预计用不低于万元、不高于万元资金购进这两种电脑共台，怎样进货利润最大？最大利润是多少？
25.本小题分
如图，在中，，过点的直线，为边上点，过点作交直线与，垂足为，连接，．
求证：；
当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由；
在满足的条件下，当再满足______条件时，四边形是正方形直接填写答案．
26.本小题分
如图，在等腰直角三角形中，，，，点为上一点，过点作于点，点为轴上一动点，点关于的对称点为点，连接、、．
点的坐标为______；
若点的坐标为，延长交于点当时，求点的坐标；
若点为轴上一动点，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
，，，的分母中含有字母，因此是分式，共有个．
故选：．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
2.【答案】
【解析】解：、要使分式有意义，则，即，故符合题意；
B、要使分式有意义，则，即，故不符合题意；
C、要使分式有意义，则，即，故不符合题意；
D、要使分式有意义，则，即，故不符合题意．
故选：．
根据分母不为零的条件进行解题即可．
本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、平行四边形对边平行，原选项说法正确，不符合题意；
B、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，原选项说法正确，不符合题意；
C、平行四边形对角相等，原选项说法正确，不符合题意；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原选项说法错误，符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定与性质逐项判断即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：．是二次根式，故A符合题意；
B.，是负数，无意义，不是二次根式，故B不符合题意；
C.是三次根式，不是二次根式，故C不符合题意；
D.中，无意义，不是二次根式，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的定义和被开方数有意义的条件逐个判断即可．
本题考查二次根式的定义和有意义的条件，注意有意义的条件是根号内的数为非负数．
5.【答案】
【解析】解；、根据有三个角是直角的四边形是矩形可判定为矩形，故此选项错误；
，，可以判定为平行四边形，又有，可判定为矩形，故此选项错误；
C、，，不可以判定为平行四边形，所以不可判定为矩形，故此选项正确；
D、，可以得到对角线互相平分且相等，据此可以判定矩形，故此选项错误．
故选：．
矩形的判定定理有：
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．
本题考查的是矩形的判定以及矩形的定理，难度简单．
6.【答案】
【解析】解：、是二元一次方程，不符合题意；
B、是二元二次方程，不符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程定义是关键．
7.【答案】
【解析】解：一次函数的图象经过一、二、四象限，
，，
解得，
故选：．
根据一次函数的图象可知，，解不等式组即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限随的增大而增大，
反比例函数的图象上有两点，，且，
点，在第四象限，
．
故选：．
利用反比例函数的增减性判断即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的增减性是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：菱形面积是，
因为菱形的对角线长为和，
所以利用勾股定理可得菱形的边长为，
则，解得．
故选：．
利用已知的对角线求出菱形的面积以及菱形的边长，再根据菱形面积底高求出长．
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的两个面积公式：底高；对角线乘积的一半．
10.【答案】
【解析】解：去分母得：，
解得：，
由分式方程的解为非正数，得到，且，
解得：且，
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，有解为非正数求出的范围即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，注意分母不为这个条件．
11.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
于，于，
，
四边形是矩形，
是的中点，
延长经过点，
，
，
当时，，
的最小值为，
，
，
，
，
故选：．
首先证明四边形是矩形，因为是的中点，推出延长经过点，推出，可得，求出的最小值可得的最小值，又由，即可求得的取值范围．
此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的斜边上的高的求法，注意当时，最小，且．
12.【答案】
【解析】解：根据已知条件不能推出，
错误；
是的角平分线，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
平分，
正确；
，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
正确；
由得，
由勾股定理得：，
由得，
，
正确；
正确，共个正确，
故选：．
根据角平分线性质得：，证≌，得，再一一判断即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的判定，角平分线性质的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
14.【答案】
【解析】解：数据，，，，的平均数是，
，
解得：，
把数据排列如下：，，，，
中位数为：．
故答案为：．
根据这组数据的平均数求得未知数的值，然后确定中位数．
本题考查了平均数、中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
15.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长，
故答案为：．
根据平行四边形对角线平分可得，即可求出结果．
本题考查平行四边形的性质及三角形周长，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：作轴于，轴于，于，
则四边形是矩形，
，又，
，
在和中，
≌，
，，
点的坐标是，
，
解得，，，
点的坐标为．
作轴于，轴于，于，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，根据题意列式计算即可．
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
17.【答案】或
【解析】解：
，
，
，
方程无解，可分为以下两种情况：
分式方程没有意义时，或，
此时，
整式不成立时，，
此时，
故答案为：或．
求解方程可得，再由方程无解可得分式方程没有意义时，或，两种情况即可求的值．
本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解的意义是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图，
是边长为的等边三角形，
，，
设，则，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
、两点都在反比例函数数的图象上，
，
解得或，
当时，，此时与重合，不符题意，舍去，
，
，
故答案为：．
过点作轴于点，过点作轴于点，设，通过直角三角形和等边三角形的性质用表示出、两点的坐标，进而代入反比例函数的解析式列出的方程求得，便可求得的值．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，关键是列出的方程．
19.【答案】解：原式
．
【解析】根据负整数指数幂，有理数的加法，化简绝对值，有理数的乘方，算术平方根，零指数幂，进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：
，
，，
，，
当时，原式．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
21.【答案】解：，
移项，得：，
配方，得：，
即，
由此可得：，
，；
，
，，，
，
方程有两个不等的实数根，
，
即，．
【解析】将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果；
利用公式法计算即可．
本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．
22.【答案】证明：菱形，
，，
又，
，，
四边形是平行四边形，
；
解：平行四边形，
，
，
又菱形，
丄，
．
【解析】根据菱形的对边平行且相等可得，，然后证明得到，，从而证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；
根据两直线平行，同位角相等求出的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键．
23.【答案】八
【解析】解：七年级成绩的方差为，八年级成绩的方差为，
七年级成绩的方差大于八年级成绩的方差，
八年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：八；
八年级学生成绩落在组人数所占百分比为，
，即；
将七年级成绩出现最多的是，
所以其众数，
八年级、组人数共有人，
八年级成绩的第、个数据分别为、，
所以八年级成绩的中位数，
故答案为：、、；
根据题意得：
人，
答：估计参加此次知识竞赛活动成绩优秀的八年级学生人数是人．
根据方差的意义即可得出答案；
用“”分别减去其它组所占百分比即可求出，再根据众数和中位数的定义即可得出答案；
用该校八年级的人数乘以成绩优秀的八年级学生人数所占的百分比即可．
本题考查了众数，中位数，方差的意义．一组数据组出现次数最多的数．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
24.【答案】解：设今年三月份甲种电脑每台售价元．则：
，
解得：，
经检验，是原方程的根且符合题意．
所以甲种电脑今年每台售价元；
设购进甲种电脑台．则：
．
解得：．
为正整数，
，，，，
设利润为元，
，
，
随增大而减小，
当时，最大为元．
当时，利润最大为元．
【解析】设今年三月份甲种电脑每台售价元．根据题意建立方程，然后求解即可；
设购进甲种电脑台，根据题意建立一元一次不等式，求出，，，，然后表示出利润，根据一次函数的性质求解即可．
本题考查了分式方程，一元一次不等式和一次函数的应用，理解题意，正确建立方程和不等式是解题关键．
25.【答案】等腰直角三角形
【解析】证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
解：四边形是菱形，理由如下：
为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为中点，
，
四边形是菱形；
解：当是等腰直角三角形时，四边形是正方形；理由如下：
，
当是等腰直角三角形，
为的中点，
，
，
四边形是正方形，
故答案为：等腰直角三角形．
证出，得出四边形是平行四边形，即可得出结论；
先证出，得出四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出四边形是菱形；
当是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出，即可得出四边形是正方形．
本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
26.【答案】
【解析】解：，，，
，，
，
点的坐标为，
故答案为：．
设于交于点，如图所示：
，，
，，
又，
，
点，关于对称，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
点，点，
，，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
点的坐标为；
存在．
点在轴上，
有以下两种情况讨论如：
当点在轴的正半轴上时，
过点作轴于点，如图所示：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，，
四边形为矩形，
又点，
，，
，
，
点的坐标为．
当点在轴的正半轴上时，
过点作轴于点，如图所示：
同理可证：，，
，
点的坐标为．
综上所述：点的坐标为或．
首先根据，，，得，，进而得，据此可得点的坐标；
设于交于点，先证，从而得，进而可证和全等，从而得，然后根据点，点，得，，则，，最后证为等腰直角三角形，得，据此可得点的坐标；
过点作轴于点，证和全等，得，，再证四边形为矩形，得，，由此可求出，据此可得点的坐标．
此题主要考查了点的坐标，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
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