2024-2025学年高一数学苏教版必修第一册单元测试：第2章 常用逻辑用语（含解析）

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2024-2025学年高一数学苏教版必修第一册单元测试：第2章 常用逻辑用语
一、选择题
1．若命题“,”为假命题,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是( )
A.3或4 B.2或3 C.1或2 D.1或3
3．命题“，”的否定为( )
A.， B.不存在，
C.， D.，
4．命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
5．设函数的定义域为，则“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6．若,则“”是“”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
7．已知,那么p的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
8．命题“,”的否定为( )
A., B.,
C., D.,
二、多项选择题
9．已知条件,条件,且p是q的必要条件,则m的值可以是( )
A. B. C.- D.0
10．下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的是( )
A.若,则x>y B.若,则
C.若,则 D.若,则
11．下列命题中，不正确的有( )
A.对角线垂直的四边形是菱形
B.若，则
C.若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比
D.若，则方程有实根
三、填空题
12．已知表示不超过x的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则m的取值范围是______.
13．请写出“”的一个必要不充分条件：________.
14．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________.
四、解答题
15．已知集合，或.
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数m的取值范围.
16．已知a，b是实数，求证：成立的充要条件是.
17．中学阶段，对许多特定集合的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：.
（1）计算：；
（2）请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；
（3）若“A中的元素”是“对任意，都有成立”的充要条件，试求出元素I.
18．已知集合，，且.
（1）若，是真命题，求实数m的取值范围；
（2）若，是真命题，求实数m的取值范围.
19．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面的横线上.若问题中的a存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
问题：已知集合，，是否存在实数a，使得是的___________？
参考答案
1．答案：B
解析：因为命题“,”为假命题,则,解得.
故选:B.
2．答案：C
解析：因为此数为小于5的正整数，所以.因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，所以，，故且，解得，故“”表示的数字是1或2.故选C.
3．答案：D
解析：命题“，”的否定为“，”.
4．答案：B
解析：
5．答案：A
解析：由条件推结论显然成立.结论推条件，若在上的最大值为，如在上不单调.
6．答案：B
解析：当时,,
当时,即,即,则有或,
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
7．答案：C
解析：因为是的真子集,故是p的一个充分不必要条件,C正确;
ABD选项均不是的真子集,均不合要求.
故选:C
8．答案：A
解析：因为全称命题的否定是特称命题,
所以,命题“,”的否定为:,.
故选:A.
9．答案：BCD
解析：设,,
因为p是q的必要条件,所以,
当时,由无解可得,符合题意;
当时,或,当时,由解得,
当时,由解得.
综上,m的取值为0,,.
故选：BCD.
10．答案：BC
解析：对于A:若,则,所以p为q既不充分也不必要条件,故A错误;
对于B:若,则,所以p为q的必要条件,故B正确;
对于C:若,则,所以p为q的必要条件,故C正确;
对于D:若,则,所以p为q的充要条件,故D错误.故选:BC.
11．答案：ABC
解析：等腰梯形的对角线也可能垂直，则A错误.
当时，，则B错误.
若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比的平方，则C错误.
由，得，即，则方程有实根，故D正确.
12．答案：
解析：表示不超过x的最大整数，
，，即，
又是的充分不必要条件，，
，故，即m的取值范围是.
故答案为：.
13．答案：（答案不唯一）
解析：对于，两边平方可得，即“”是“”的必要条件；
对于，两边开平方可得；即“”不是“”的充分条件，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：（答案不唯一）.
14．答案：
解析：设集合，集合，
因为p是q的充分不必要条件，
所以，
即.
所以实数a的取值范围为
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，得，
则.
因为，所以解得，
即实数m的取值范围为.
（2）由或，得.
若“”是“”的充分不必要条件，则A是的真子集，
又，所以，
解得，所以实数m的取值范围为.
16．答案：证明见解析
解析：证明：先证充分性：
若，则成立，故充分性成立.
再证必要性：
若，则，即，
所以，即，
又，
所以，即，故必要性成立.
综上，成立的充要条件是.
17．答案：（1）
（2）交换律：.证明见解析
（3）
解析：（2）交换律：.证明如下：
由题知，，
，
所以.
（3）若A中的元素，对任意，都有成立，由（2）知只需.
故，
即.
①若，显然有成立；
②若，则解得
所以当对任意，都有成立时，.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，是真命题，所以.
又，所以解得，
故m的取值范围为.
（2）因为，所以，解得.
由q为真命题，得.
当时，或，解得，
所以当时，.
又，故m的取值范围为.
19．答案：选择条件①：存在a使该问题成立，且a的取值范围为
选择条件②：存在a使该问题成立，且a的取值范围为
选择条件③：不存在满足条件的a
解析：方案一：选择条件①.
由题意得，则且（两个等号不同时取），解得.
所以存在a使该问题成立，且a的取值范围为.
方案二：选择条件②.
由题意得，则且（两个等号不同时取），解得.
又，所以，
所以存在a使该问题成立，且a的取值范围为.
方案三：选择条件③.
由题意得，则且，无解，所以不存在满足条件的a.
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