2024-2025学年高一数学苏教版必修第一册单元测试：第3章 不等式（含解析）

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2024-2025学年高一数学苏教版必修第一册单元测试：第3章 不等式
一、选择题
1．已知,,则( )
A. B.
C. D.P,Q的大小与x有关
2．定义，若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
3．已知正实数a、b满足，则的最大值为( )
A.0 B. C.1 D.
4．已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．已知函数,若对任意的实数x,恒有成立,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．“不等式在R上恒成立”的充要条件是( )
A. B. C. D.
7．设，，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8．若，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知正数a,b满足,则下列说法一定正确的是( )
A. B. C. D.
10．已知关于x的不等式的解集是,则( )
A. B. C. D.
11．若，且，则( )
A.的最小值为9
B.的最小值为
C.的最小值为
D.的最小值为36
三、填空题
12．已知命题p：“不等式有解”为真命题，则a的取值范围是__________.
13．定义表示x，y中的最小者，设函数，若，则x的取值范围是__________.
14．已知，且，，则的最小值是________.
四、解答题
15．已知a,b,c均为正数,若,求证：
（1）;
（2）.
16．已知关于x的不等式.
（1）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于，不等式恒成立，求实数x的取值范围.
17．已知,,且.
（1）求ab的最小值;
（2）求的最小值.
18．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园,如图所示,用墙的一部分做下底,用篱笆做两腰及上底,且腰与墙成,当等腰梯形的腰长为多少时,所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值.
19．已知.
（1）若a与b均为正数，求的最大值；
（2）若a与b均为负数，求的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意可得,
当即或时,,当即时,,
当即时,,故P、Q的大小与x有关.
故选：D.
2．答案：C
解析：方法一：等价于，即，所以，解得.
方法二：等价于，即.因为，所以，所以.
3．答案：A
解析：由题，构造函数，则，
显然在R上单调递增，所以，即，
所以，当且仅当，时等号成立.
所以的最大值为0.
故选：A.
4．答案：C
解析：当时，，故，
即，由随x增大而增大，故，
当时，恒成立。
当时，，故，
即，由随x增大而增大，故，
当时，，故，
即，由随x增大而减小，故，
即，
综上所述，.
故选：C.
5．答案：C
解析：令,
由于,
所以得为奇函数.
又因为在上单调递减,所以在上单调递减.
已知对于任意的实数x,恒有,
整理得：,
即,由于为奇函数,
得,由于在上单调递减,
得对于任意的实数x恒成立,
即对于任意的实数x恒成立.
当时,不恒成立,故,
当时,有,解得.
故选：C.
6．答案：A
解析：不等式在R上恒成立，
，解得，
又，，则不等式在R上恒成立，
“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件，
故选：A.
7．答案：C
解析：由，有，即，
由，有，即，
所以，
故选：C.
8．答案：C
解析：令，，满足，但不满足，故A错误；
，，故B错误；
，，，，，故C正确；
，，故D错误.
故选：C.
9．答案：BCD
解析：取,,则,故A错误;
由题意可知,（当且仅当时取等号）,故B正确;
因为,所以（当且仅当时取等号）,则（当且仅当时取等号）,故C,D正确.
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：不等式等价于不等式,
因为关于x的不等式的解集是,
所以,且,,
则,故B,D正确,C错误.
设,,则不等式的解集是.
又关于x的不等式即的解集是,
所以是的真子集,所以,则A正确.
故选:ABD.
11．答案：ACD
解析：由，且，所以，
当且仅当，即，时取等号，故A正确；
由，即，
要使得不等式取等号需满足，即，，即，，不合题意，故B不正确；
，当且仅当，即时取等号，故C正确；
，
当且仅当且，即，时取等号，故D正确；
故选：ACD.
12．答案：
解析：由题意得：，解得，
所以a的取值范围是.
故答案为：.
13．答案：
解析：令，解得或，
令，解得，
当或时，，由，可得：，所以；
当时，，由，可得：或，所以.
综上，由，可得.
故答案为：.
14．答案：
解析：，
当且仅当，即，时等号成立，
故答案为：.
15．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）
.
（当且仅当等号成立）.
;
（2）
（当且仅当时取等号）.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）若对任意实数x，不等式恒成立，即恒成立
则关于x的方程的判别式，
即，解得，所以实数m的取值范围为.
（2）不等式，
可看成关于m的一次不等式，又，
所以，解得且，所以实数x的取值范围是.
17．答案：（1）4
（2）
解析：（1）因为,所以,所以,
所以,所以,当且仅当即时等号成立,即ab的最小值为;
（2）,
当且仅当即即,时,等号成立,
所以的最小值为.
18．答案：等腰梯形的腰长为时,所用篱笆长度最小,其最小值为
解析：设,上底,
分别过点B,C作下底的垂线,垂足分别为E,F,
则,,
则下底,
该等腰梯形的面积,
所以,则,
所用篱笆长为
,
当且仅当,即,时取等号.
所以,当等腰梯形的腰长为时,所用篱笆长度最小,其最小值为.
19．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为a与b均为正数，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以的最大值为.
（2）因为a与b均为负数，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
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