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2024-2025学年高一数学苏教版必修第一册单元测试:第4章 指数与对数
一、选择题
1.已知则( )
A. B. C. D.
2.已知,,则( )
A.25 B.5 C. D.
3.若与互为相反数,则( )
A. B. C. D.以上答案均不对
4.若正数a、b满足,则的值为( )
A. B. C. D.
5.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由变为,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则( )
A. B. C. D.
6.已知定义域为R的函数满足:对任意的,有,且当时,,则( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.设a,b,c都是正数,且,那么下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
8.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(t的单位:天)的Logistic模型:,其中K为最大确诊病例数.当时,标志着已初步遏制疫情,则约为( )()
A.60 B.63 C.66 D.69
二、多项选择题
9.已知,则下列等式一定正确的是( )
A. B. C. D.
10.设,,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.规定a,b之间的一种运算,记作,若,则.下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.若,,则
三、填空题
12.已知,,则__________(用a,b表示)
13.使得表达式有意义的x范围是____________.
14.已知,,则____________.
四、解答题
15.已知实数a,b满足,.
(1)用a表示;
(2)计算的值.
16.计算:
(1);
(2);
(3).
17.(1)已知,,求的值;
(2)已知,,化简:.
18.已知,求下列各式的值:
(1);
(2);
(3).
19.已知,.
(I)求的值;
(II)若,,且,求的最小值.
参考答案
1.答案:B
解析:.
2.答案:C
解析:因为,,即,所以.
故选:C.
3.答案:C
解析:因为与互为相反数,则,因此,.
故选:C.
4.答案:A
解析:令,
则,,,
所以.
故选:A.
5.答案:D
解析:由题意,得,.若S不变,则,即,所以.
6.答案:A
解析:,用代换x,有恒成立,
所以函数是周期为4的周期函数.
所以.
令有,所以.
故选:A.
7.答案:C
解析:由,得,,,
,,,则,
根据可知,.
故选:C.
8.答案:C
解析:,所以,则,
所以,,解得.
故选:C.
9.答案:BD
解析:由,得,,且,
即,,,而此时不总是成立,则C错误;
由于,即,,结合以上分析可知A错误;
由于,即为,故B正确;
又,D正确,
故选:BD.
10.答案:AC
解析:对于A,,故A正确;对于B,,故B错误;对于C,,故C正确;对于D,,故D错误.
11.答案:ACD
解析:因为,所以,故A正确;令,,则,,所以,即,所以,即,故B错误;令,,,则,,,所以,即,所以,即,故C正确;因为,,令,则且,所以,则,所以,当且仅当,即,即时取等号,故D正确.
12.答案:
解析:依题意,,
所以,
,
所以.
故答案为:.
13.答案:
解析:式子要有意义,则,
解得,
所以x范围是.
故答案为:.
14.答案:
解析:因为,,
所以,,
故答案为:.
15.答案:(1)
(2)
解析:(1)由题意可知,
所以.
(2)由题得,
所以
.
16.答案:(1)
(2)
(3)0
解析:(1)原式
.
(2)原式.
(3)原式
.
17.答案:(1)原式
(2)原式
解析:(1)原式
.
(2)原式.
.
18.答案:(1)14
(2)
(3)15
解析:(1)因为,
所以,
所以.
(2),
因为,所以.
(3)因为,
所以.
19.答案:(I);
(II)
解析:(I),,,,
所以,.
(II)由换底公式得:,
所以,
当且仅当,即取等号,因此的最小值为.
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