2024-2025学年高一数学苏教版必修第一册单元测试：第4章 指数与对数（含解析）

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2024-2025学年高一数学苏教版必修第一册单元测试：第4章 指数与对数
一、选择题
1．已知则( )
A. B. C. D.
2．已知，，则( )
A.25 B.5 C. D.
3．若与互为相反数,则( )
A. B. C. D.以上答案均不对
4．若正数a、b满足，则的值为( )
A. B. C. D.
5．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则( )
A. B. C. D.
6．已知定义域为R的函数满足：对任意的，有，且当时，，则( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
8．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为( )（）
A.60 B.63 C.66 D.69
二、多项选择题
9．已知,则下列等式一定正确的是( )
A. B. C. D.
10．设，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11．规定a，b之间的一种运算，记作，若，则.下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.若，，则
三、填空题
12．已知，，则__________（用a，b表示）
13．使得表达式有意义的x范围是____________.
14．已知，，则____________.
四、解答题
15．已知实数a，b满足，.
（1）用a表示；
（2）计算的值.
16．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
17．（1）已知，，求的值；
（2）已知，，化简：.
18．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
19．已知，.
（I）求的值；
（II）若，，且，求的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：.
2．答案：C
解析：因为，，即，所以.
故选：C.
3．答案：C
解析：因为与互为相反数,则,因此,.
故选：C.
4．答案：A
解析：令，
则，，，
所以.
故选：A.
5．答案：D
解析：由题意，得，.若S不变，则，即，所以.
6．答案：A
解析：，用代换x，有恒成立，
所以函数是周期为4的周期函数.
所以.
令有，所以.
故选：A.
7．答案：C
解析：由，得，，，
，，，则，
根据可知，.
故选：C.
8．答案：C
解析：，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
9．答案：BD
解析：由,得,,且,
即,,,而此时不总是成立,则C错误;
由于,即,,结合以上分析可知A错误;
由于,即为,故B正确;
又,D正确,
故选：BD.
10．答案：AC
解析：对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.
11．答案：ACD
解析：因为，所以，故A正确；令，，则，，所以，即，所以，即，故B错误；令，，，则，，，所以，即，所以，即，故C正确；因为，，令，则且，所以，则，所以，当且仅当，即，即时取等号，故D正确.
12．答案：
解析：依题意，，
所以，
，
所以.
故答案为：.
13．答案：
解析：式子要有意义，则，
解得，
所以x范围是.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为，，
所以，，
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可知，
所以.
（2）由题得，
所以
.
16．答案：（1）
（2）
（3）0
解析：（1）原式
.
（2）原式.
（3）原式
.
17．答案：（1）原式
（2）原式
解析：（1）原式
.
（2）原式.
.
18．答案：（1）14
（2）
（3）15
解析：（1）因为，
所以，
所以.
（2），
因为，所以.
（3）因为，
所以.
19．答案：（I）；
（II）
解析：（I），，，，
所以，.
（II）由换底公式得：，
所以，
当且仅当，即取等号，因此的最小值为.
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