2024-2025学年高一数学苏教版必修第一册单元测试：第6章 幂函数、指数函数和对数函数（含解析）

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2024-2025学年高一数学苏教版必修第一册单元测试：第6章 幂函数、指数函数和对数函数
一、选择题
1．若,则( )
A. B.
C. D.
2．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
3．已知函数且的图象恒过定点( )
A. B. C. D.
4．已知函数(且)在区间上单调递增，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
5．已知函数（且）在上是减函数,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．若幂函数在区间上单调递减,则( )
A.3 B.1 C.-1或3 D.1或-3
7．若函数为幂函数，且在区间上单调递减，则( )
A. B.3 C.或3 D.2或
8．函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．若函数，设，，，则，，的大小关系不正确的是( )
A. B.
C. D.
10．若函数是奇函数,下列选项正确的是( )
A.
B.是单调递增函数
C.是单调递减函数
D.不等式的解集为
11．已知函数，则下列说法正确的是( )
A.函数的定义域为R B.函数的图象关于直线对称
C.函数在上单调递减 D.函数的值域为
三、填空题
12．设函数在单调递增,则a的取值范围为______________.
13．已知函数(且)的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_________.
14．函数的定义域为________.
四、解答题
15．定义在D上的函数,若对任意,存在常数,都有成立,则称是D上的有界函数,其中M称为函数的上界.已知函数.
（1）若是奇函数,判断函数是否为有界函数,并说明理由;
（2）若在上是以为上界的函数,求m的取值范围.
16．已知函数为R上的奇函数.当时，(a，c为常数)，.
（1）当时，求函数的值域：
（2）若函数的图像关于点中心对称.
①设函数，，求证：函数为周期函数；
②若对任意恒成立，求的最大值.
17．函数.
（1）若的定义域为R,求实数a的取值范围;
（2）方程在区间上有解,求实数a的取值范围.
18．已知函数为幂函数.
（1）求的解析式;
（2）若在上单调递增,求实数a的取值范围.
19．已知函数，为偶函数.
（1）求实数a的值；
（2）写出的单调区间（不需要说明理由）；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由,
得,
令,
因为函数都是增函数,
所以函数是增函数,
由,即,
所以,
对于AB,当时,,故AB错误;
对于CD,由,得,
所以,故C正确,D错误.
故选：C.
2．答案：C
解析：令，
在上单调递减，
在内递增，且恒大于0，
且，
.
故选：C.
3．答案：B
解析：
4．答案：C
解析：由且，得为单调递减函数，
由复合函数单调性法则得，
又解得.
5．答案：C
解析：函数（且）在上是减函数,
当时,恒成立,
而函数在区间上不单调,因此,不符合题意,
当时,函数在上单调递增,于是得函数在区间上单调递减,
因此,并且,解得,所以实数的取值范围是.
6．答案：A
解析：因为函数为幂函数,且在区间上单调递减,
所以且,
由,得或,
当时,满足,舍去;
当时,满足.综上.
故选：A.
7．答案：B
解析：由题意函数为幂函数，且在区间上单调递减，
可得，且，
解得，
故选：B
8．答案：A
解析：由得，则函数的定义域为，排除选项C；
又，所以为偶函数，则图象关于y轴对称，排除选项D；
当时，，排除选项B，
因为为偶函数，且当时，函数单调递减，选项A中图象符合.
故选：A
9．答案：ABC
解析：因为，，所以，又，所以，因为函数在上单调递增，所以，即A，B，C不正确，D正确，故选ABC.
10．答案：ACD
解析：因为是奇函数,所以;
即,解得,A正确;
因为为增函数,且,所以为减函数,
所以是单调递减函数,B不正确,C正确;
因为是奇函数,所以不等式等价于不等式,
因为是单调递减函数,所以,解得,D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABC
解析：为偶函数，图象关于y轴对称，在上单调递减，且值域为，而函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象，所以函数的定义域为R，图象关于直线对称，在上单调递减，值域为，故选ABC.
12．答案：
解析：已知二次函数的对称轴为,
由题意可知,即.
故答案为：.
13．答案：2
解析：对于函数(且)，令则，所以函数恒过定点，又点A在直线上，所以，即，所以，因为，所以且，所以，当且仅当，即时取等号，所以；
故答案为：2
14．答案：
解析：要使函数有意义，则应有，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.
15．答案：（1）函数为有界函数
（2）
解析：（1）若是奇函数,则,
则,
所以恒成立,
所以是奇函数时,.
或者：由为奇函数,可得,则有,解得.
此时,
由,知,于是,则,
故时,,
所以,函数为有界函数.
（2）若函数在上是以为上界的函数,则有在上恒成立.
故恒成立,即恒成立,
所以即
由题可知,不等式组在上恒成立.
因为在上单调递减,其最大值为;
又在上单调递减,其最小值为.
所以即,故m的取值范围是.
16．答案：（1）；
（2）①证明见解析；②
解析：（1）由于函数为R上奇函数，那么，且，
则，则，则，；
那么，由，则，
而函数为奇函数，那么时，，
综上所述：当时，，
由复合函数单调性可知：则.
（2）①由于，且，
由于，则，
那么，
则为R上周期为2的函数.
②由（1）可知，当时，，时，，
那么，时，；
，时，；
那么，，；
若要最大，仅需n最大，m最小，
从而考虑如下临界：由于，令，
则，此时；
，，；
当时，，
，
那么，，
令，（舍去）；
同理，时，，
，
那么，，
令，（舍去）；
从而，，
那么的最大值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）.
由的定义域为R,则函数对恒成立,
方程无实数解,即..
（2）方程在区间上有解,等价于方程在区间上有解,
即命题,使得,
则命题,使得恒成立,或恒成立.
①对恒成立,或②对恒成立,
设,,
则在上单调递减,在上单调递增,
则,即或,
所以原命题.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由为幂函数,得
解得
故.
（2）,由复合函数的单调性,得.
解得
故实数a的取值范围为
19．答案：（1）；
（2）递减区间是，递增区间是；
（3）.
解析：（1）函数的定义域为R，由为偶函数，得，
即，即，又不恒为0，
所以.
（2）函数，令，函数在上单调递增，
当时，，而函数在上单调递增，因此在上单调递增，又函数是R上的偶函数，因此在上单调递减，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（3）由（2）知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，
不等式，
则，而，
于是，
依题意，对于任意恒成立，
当时，，当且仅当或时取等号，
，当且仅当时取等号，因此，
所以实数k的取值范围是.
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