2024-2025学年高一数学苏教版必修第一册单元测试：第7章 三角函数（含解析）

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2024-2025学年高一数学苏教版必修第一册单元测试：第7章 三角函数
一、选择题
1．将函数向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为( )
A. B. C. D.
2．若函数的最小正周期不小于,则( )
A.的最小值为 B.的最大值为
C.的最小值为 D.的最大值为
3．已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.-2
4．“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图所示是以O为圆心，为半径的圆弧，C是的中点，D在上，，则的弧长的近似值s的计算公式：.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6米，该圆弧所对的圆心角为，则伞的弧长大约为( )
A.5.3米 B.6.3米 C.8.3米 D.11.3米
5．已知正实数C满足：对于任意,均存在i,,,使得,记C的最小值为,则( )
A. B.
C. D.
6．为了得到的图象,只要将函数的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
7．已知点是角终边上一点,则( )
A. B. C. D.
8．若在是减函数，则a的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列与角的终边相同的角是( )
A. B. C. D.
10．下列选项中的图象变换,能得到函数的图象的是( )
A.先将的图象上各点的横坐标缩小为原来的,再向右平移个单位长度
B.先将的图象上各点的横坐标缩小为原来的,再向右平移个单位长度
C.先将的图象向右平移个单位长度,再将各点的横坐标缩小为原来的
D.先将的图象向左平移个单位长度,再将各点的横坐标缩小为原来的
11．若角的终边与角的终边关于轴对称,且,则的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知函数满足，且在上单调，则的最大值为________.
13．已知函数的图象关于点对称,则__________.
14．我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分为6000等份，每一个等份是一个密位，那么120密位等于______rad.
四、解答题
15．已知,,.
（1）求的最小正周期及单调递减区间;
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
16．已知函数.
（1）求图象的对称轴方程;
（2）求在区间上的单调区间.
17．已知函数(且)是偶函数.
（1）求实数a的值；
（2）若，且对于，不等式恒成立，求整数m的取值集合.
18．已知函数.
（1）求函数的单调递增区间;
（2）若在区间上的最大值为1,求m的最小值.
19．已知函数.
（1）求图象的对称轴方程；
（2）求在区间上的单调区间.
参考答案
1．答案：D
解析：函数向右平移个单位长度，
.
故选：D.
2．答案：D
解析：因为,所以,解得.
故选：D.
3．答案：A
解析：因为角的终边经过点，
所以.
故选：A.
4．答案：B
解析：依题意，点O，C，D共线，，，
所以（米）.
故选：B.
5．答案：B
解析：题设等价于对于任意,均存在i,,,使得,
将在数轴上表示如下：
当x与上述数轴上的点重合时,易得存在i,,使得,又C为正实数,则成立;
当x与上述数轴上的点不重合时,假设在相邻的两个点,之间,则,当且仅当x在相邻的两个点,中点时取等,
要使对于任意,均存在i,,,使得,则有,
又数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为,此时x在相邻的两个点0,或,1中点,则.
以下说明数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为,易得数轴上,两点之间的距离为,
当或,0,和,1为相邻的两点,之间的距离为;
当时,则,
即,之间必存在点,可得相邻的两点之间的距离小于,
综上可得数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为.
故,故.
故选：B.
6．答案：A
解析：为了得到的图象,只要将函数的图象向右平移个单位长度得到.故选:A.
7．答案：C
解析：点到原点的距离为,
所以由三角函数定义可知,
故选：C.
8．答案：A
解析：由知，令，，解得，，其中一个减区间为，所以a的最大值为.故选A.
9．答案：ACD
解析：因为，所以与角终边相同的角可以表示为.当时，；当时，；当时，；当时，.
10．答案：ABC
解析：A选项,将的图象上各点的横坐标缩小为原来的得,再向右平移个单位长度得,A选项正确.
B选项,将的图象上各点的横坐标缩小为原来的得,再向右平移个单位长度得,B选项正确.
C选项,将的图象向右平移个单位长度得,再将各点的横坐标缩小为原来的得,C选项正确.
D选项,将的图象向左平移个单位长度得,再将各点的横坐标缩小为原来的得,D选项错误.
故选：ABC.
11．答案：AD
解析：因为角的终边与角的终边关于x轴对称,所以,,又因为,所以当时,,当时,.故选AD.
12．答案：3
解析：由题可得，
由，且在上单调，
得的图像关于点中心对称，
因为直线与直线关于直线对称，结合的图像对称性，
所以在上单调，得，
又，所以，故的最大值为3.
故答案为：3.
13．答案：
解析：因为的图象关于点对称,所以,,所以,,因为,所以.
14．答案：
解析：设120密位等于，所以有，
故答案为：.
15．答案：（1）最小正周期为,单调减区间为,;
（2）最大值为3,最小值为0.
解析：（1）,,
由
,
的最小正周期,
由,,
得：,,
的单调递减区间为,;
由可得：,
当时,函数取得最小值为
当时,函数取得最大值为
故得函数在区间上的最大值为3,最小值为0.
16．答案：（1）,
（2）答案见解析
解析：（1）函数,令,,
得,,
所以图象的对称轴方程为,;
（2）当,,
当,得,即在区间上函数单调递增,
当,得,即在区间上函数单调递减,
当,得,即在区间上函数单调递增,
当,得,即在区间上函数单调递减,
当,得,即区间上函数单调递增,
所以函数在区间上的单调增区间是和和,
单调递减区间是和.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）函数(且)是偶函数，
，
即
；
（2）由（1）知，，定义域为R，.
易知函数在R上单调递增，且为奇函数，
对于，，恒成立，
即，
对于恒成立.
，
当且仅当时取等号，
，
即，解得，
又m为整数，或或，
m的取值集合为.
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）,
因为的单调递增区间为,
令,得.
所以函数的单调递增区间为;
（2）因为,所以.
又因为,的最大值为,
所以,解得,所以m的最小值为.
19．答案：（1），
（2）答案见解析
解析：（1）函数，令，，
得，，
所以图象的对称轴方程为，.
（2）当，，
当，得，即在区间上函数单调递增，
当，得，即在区间上函数单调递减，
当，得，即在区间上函数单调递增，
当，得，即在区间上函数单调递减，
当，得，即区间上函数单调递增，
所以函数在区间上的单调增区间是和和，
单调递减区间是和.
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