苏科版数学八上第一章全等三角形单元测试卷
一、选择题
1．（2024八上·邵阳期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
，
故①正确，符合题意；
②若，
∴，
∴，
∴，
而由已知条件无法证明，
故②错误，不符合题意；
③如图，延长至G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④如图，作的平分线交于点G，
由①得，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
故答案为：C．
【分析】首先根据三角形内角和求得，再根据角平分线的定义求得（）=60°，进一步根据三角形内角和定理，即可求得 ； 即可得出①正确；假定 ，即可得出，根据条件无法证明，故②不正确；如图，延长至G，使，连接，可根据SAS证明，从而得出，进一步得出，从而得出是等腰三角形，再根据EG=EC，即可得出，故而得出③正确；如图，作的平分线交于点G，可证明，，从而得出，进而得出，故而得出④正确，综上即可得出说法正确的由3个。
2．（2024八上·黄石港期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=90°，
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴，，
∴，
∴∠APB=180°-∠BAD-∠ABE=135°，①正确；
∴∠BPD=180°-∠APB=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠APH=∠FPD=90°，
∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=135°，
∴∠APB=∠FPB，
∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∠APB=∠FPB，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，②正确；
∵∠DAB=∠CAD，
∴∠PAH=∠BFP，
∵∠APH=∠FPD，PA=PF，∠PAH=∠BFP，
∴△APH≌△FPD，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD；③正确；
连接HD，ED，如图：
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，PH=PD，
∴∠HDP=∠DHP=45°
∴∠HDP=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，④不正确；
故正确的有①②③；
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和是180°可得∠BAC+∠ABC=90°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线和三角形的内角和是180°可得∠BPD=45°，求得∠FPB=135°，判断①正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，判断②正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AH=FD，等量代换可判断③正确，连接HD，ED，根据全等三角形的面积相等，对应边相等可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，根据等边对等角和三角形的内角和是180°可推得∠HDP=∠BPD，根据内错角相等，两直线平行可得HD∥EP，根据平行线之间的距离处出相等可得S△EPH=S△EPD，等量代换可判断④不正确，即可得出答案.
3．（2023八上·遵化期中）如图，在四边形中，，若的平分线交于点，连接，且平分，则下列结论：①；②为的中点；③；④，其中正确的是（ ）.
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：根据题意
①；
AE平分线， BE平分
故①的结论正确
②为的中点；
延长AE交BC于F，
BE平分
(三线合一定理的逆定理)
AE平分线
(ASA)
故②结论正确
③；
在②的证明中，
故③结论正确
④
故④结论正确
故答案为：D
【分析】根据角平分线定义和三角形内角和定理进行推算即可判定；在①的结论下，由垂直和顶角平分线想到三线合一逆定理判定等腰三角形，提示作辅助线进而证明CE、DE所在的三角形全等；在全等的基础上，可以证明线段的等量关系；在全等的基础上，可以等量代换证得面积间的等量关系。
4．（2023八上·小榄期中）如图，已知是的平分线，，若，则△ABC的面积等于（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABD，
∴∠ABP=∠DBA，
∵BP⊥AP，
∴∠APB=∠DPB=90°，
在△APB与△DPB中，
∵∠ABP=∠DBA，BP=BP，∠APB=∠DPB=90°，
∴△APB≌△DPB（ASA），
∴AP=PD，
∴S△ABP=S△DBP，S△APC=S△DPC，
∵S△BCP=S△BDP+S△CPD=12cm2，
∴S△ABP+S△ACP=12cm2，
∴S△ABC=S△BCP+S△ABP+S△ACP=24cm2.
故答案为：A.
【分析】，延长AP交BC于点D，首先由ASA判断出△APB≌△DPB，由全等三角形对应边相等得AP=PD，由等底同高的三角形的面积相等得S△ABP=S△DBP，S△APC=S△DPC，再由S△BCP=S△BDP+S△CPD=12cm2，得S△ABP+S△ACP=12cm2，从而此题就不难得出答案了.
5．（2023八上·南宁期中） 如图，交于点M，交于点D，交于点N，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴BE＝CF；∠BAE＝∠CAF，故④符合题意；
∵∠BAE-∠BAC＝∠CAF-∠BAC，
∴∠1＝∠2，故①符合题意；
∵△ABE≌△ACF，
∴AB＝AC，
又∵∠BAC＝∠CAB，∠B＝∠C，
∴△ACN≌△ABM（ASA），故③符合题意；
∴AM＝AN，
∴MC＝BN，
∴CM＝AM不能证明成立，故②不符合题意．
其中正确的结论有3个．
故答案为：B．
【分析】根据∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，可用AAS证得△ABE≌△ACF，由三角形全等的性质BE＝CF，∠BAE＝∠CAF可得∠1＝∠2；由ASA可得△ACN≌△ABM，没有条件能证明CM＝AM成立，从而逐项判断得出答案．
6．（2023八上·张湾期中）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝30°，如图，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM．则下列结论中：①AC＝BD；②∠AMB＝30°；③△OEM≌△OFM；④MO平分∠BMC．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠ AOB=∠COD=30°，
∴ ∠AOC=∠BOD，
∵ OA=OB，OC=OD，
∴ △AOC≌△BOD（SAS），
∴ AC=BD，故 ① 正确；
∴ ∠OAC=∠OBD，
∵ ∠AFM=∠BFO，
∴ ∠AMB=∠AOB=30°，故 ② 正确；
∵ OA＞OC，
∴ ∠OCA＞∠OAC，
∵ ∠OEM=∠OCA+∠COD=∠OCA+30°，∠OFM=∠OBD+∠AOB=∠OAC+30°，
∴ ∠OEM＞∠OFM，
∴ △OEM与△OFM不可能全等，故 ③ 错误；
∵ △AOC≌△BOD，
∴ AC边上的高=BD边上的高，
∴ MO平分∠BMC，故 ④ 正确.
故答案为：C.
【分析】依据SAS判定 △AOC≌△BOD推出AC=BD，即可判断 ①；根据全等三角形的性质得∠OAC=∠OBD，再根据三角形内角和定理得到∠AMB=∠AOB，即可判断② ；根据OA＞OC得到∠OCA＞∠OAC，再外角的性质可得∠OEM＞∠OFM，即可判断③；再全等三角形的性质可得AC边上的高=BD边上的高，再根据角平分线的判定即可判断 ④ .
7．（2023八上·义乌期中）已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝10，AC＝6，则AD的取值范围是（ ）
A．4＜AD＜16 B．2＜AD＜8 C．4＜AD＜10 D．8≤AD≤16
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如下图所示：延长AD至点E，使因为 AD是△ABC中BC边上的中线 ，所以在和中则则在中即又故
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了倍长中线法、三角形全等的判定及性质、三角形三边的关系.
延长AD至点E，使结合已知条件可证得，得到再根据三角形三边的关系得到：进而得到：.
8．（2023八上·鹤山月考）如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A．1 B．1或4 C．1或2 D．3
【答案】B
【知识点】解一元一次方程；三角形全等及其性质
【解析】【解答】 解：∵AB=20cm，AE=6cm，BC=16cm，
∴EB=14cm，BP=2tcm，PC=（16-2t）cm，
①当EB=PC，BP=QC时，△BPE≌△CQP，
由题意得：16-2t=14，
解得：t=1；
②当BP=CP，BE=QC时，△BEP≌△CQP，
由题意得：2t=16-2t，
解得：t=4.
故选：B.
【分析】用含t的代数式表示出线段BP和线段PC的长度，再分类讨论两个三角形全等的不同情况，△BPE≌△CQP或△BEP≌△CQP，列出方程，解方程求出t的值.
二、填空题
9．（2020八上·北京月考）如图，在 中， 厘米， ， 厘米，点 为 的中点．如果点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．当点 的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使 与 全等．
【答案】4或6
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，
∵D为AB的中点，
∴BD＝ AB＝12cm，
∵BD＝CP，
∴BP＝BC－CP＝16－12＝4cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为1s，
∵△BPD≌△CQP，
∴BP＝CQ＝4cm，
∴点 的运动速度为x＝4÷1＝4（cm/s）；
当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD＝ AB＝12cm，PB＝PC，
∴CQ＝BD＝12cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝8cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为8÷4＝2（s），
∴点 的运动速度为x＝12÷2＝6（cm/s）．
故答案为：4或6．
【分析】由于∠B=∠C=60°，若△BPD与△CQP全等，分两种情况：①当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，据此分别求出BP的长，然后根据速度=路程÷时间解答即可.
10．（2024八上·广水期末）如图，在中，是高，，，在边上取点，连接，，若，，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，
∵AH是△ABC的高线，
∴∠F=∠AHB=90°，
∵AE∥BC，
∴∠EAF=∠CBA，
∵AE=AB，
∴△AEF≌△BAH（AAS），
∴FE=AH，
∵DE=AC，
∴Rt△DEF≌Rt△CAH（HL），
∴CH=DF，S△ACH=S△DFE，
∵S△ABC=S△ABH+S△AHC=2S△ABH+S△ADE=5S△ADE，
∴S△ABH：S△ADE=2：1，
∴BH：AD=2：1，
∴AD=，
∴DF=CH=1+=，
∴BC=BH+CH=.
故答案为：.
【分析】过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，用AAS证△AEF≌△BAH，得FE=AH，再用HL证明Rt△DEF≌Rt△CAH，得CH=DF，S△ACH=S△DFE，然后根据等高的两个三角形的面积比等于底之比即可解决问题.
11．（2023八上·献县月考）三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是 .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1+∠5+∠9=180°
∠3+∠7+∠6=180°
∠2+∠4+∠8=180°
∴∠1+∠5+∠9+∠3+∠7+∠6+∠2+∠4+∠8=540°
∵∠6+∠9+∠8=180°
∴∠1+∠5+∠7+∠3+∠2+∠4=360°
∵三个全等的三角形
∴∠5+∠7+∠4=180°
∴∠1+∠2+∠3=180°
故填：180°
【分析】本题考查三角形全等的性质和三角形内角和定理。利用平角的性质可得出∠1+∠5+∠9=180°，∠3+∠7+∠6=180°，∠2+∠4+∠8=180°，三角形内角和定理可得出∠6+∠9+∠8=180°，∠5+∠7+∠4=180°，进而得出答案.
12．（2023八上·新昌月考）如图，点O在直线m上，在m的同侧有A，B两点，∠AOB=90°，OA=10cm，OB=8cm，点P以2cm/s的速度从点A出发沿A—O—B路径向终点B运动，同时点Q以1cm/s的速度从点B出发沿B—O—A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过点P，Q作PC⊥m于点 C，QD⊥m 于点C，QD⊥m于点D．若△OPC与△OQD全等，则点Q运动的时间是 秒．
【答案】2或6或16
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：分情况讨论：
①P在AO上，Q在BO上，如图1
∵PC⊥m，QD⊥m，
∴∠PCO=∠QDO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OPC+∠POC=90°，∠POC+∠QOD=90°，
∴∠OPC=∠QOD，
则△PCO≌△OQD，
∴PO=OQ，
∴10-2t=8 t
解之：t=2；
②如图2，P在BO上，Q在AO上，
∵由①知：OP=QO，
∴2t-10=t-8，
解之：t=2；
t 8<0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在OB上时，如图3，
OP=OQ
则8 t=2t 10，
解之：t=6；
④当P到B点停止，Q在OA上时，如图4
当OQ=OB，t 8=8时，
解之：t=16
P和Q都在BC上的情况不存在，
故答案为：2或6或16
【分析】分类讨论：①P在AO上，Q在BO上， ②P在BO上，Q在AO上，③当P、Q都在OB上时， ④当P到B点停止，Q在OA上时， 再分别画出图形并列出方程求解即可.
13．（2023八上·洪山月考）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．
【答案】12.5
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长AB交CD的延长线于点E，如图，
∵ AD是∠BAC的角平分线，
∴ ∠EAD=∠CAD，
∵ CD⊥AD，
∴ ∠ADE=∠ADC=90°，
∵ AD=AD，
∴ △ADE≌△ADC（ASA），
∴ DE=DC，AE=AC，
∴ S△BDC=S△BCE，
∵ AC-AB=5，
∴ BE=5，
∵ 当BE⊥BC时，S△BCE最大，即S△BDC最大，
∴ S△BDC=S△BCE，=×BC·BE=12.5.
故答案为：12.5.
【分析】延长AB交CD的延长线于点E，根据角平分线的定义和垂直的定义可得∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC=90°，根据ASA判定△ADE≌△ADC推出 DE=DC，从而得到S△BDC=S△BCE，当BE⊥BC时，S△BCE最大，即S△BDC最大，即可求得.
14．（2021八上·南宁期中）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形，画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画 个.
【答案】6
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图，
根据三角形全等的性质以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等；以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等，而以AC为公共边不可以作出全等三角形，所以共可以作出六个全等三角形.
故答案为：6.
【分析】由题意可以以AB和BC为公共边分别画出3个，AC不可以，然后可求解．
15．（2021八上·营山期中）如图，△ABC中，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠CAE、内角∠ABC、外角∠ACF，AD∥BC．以下结论：①∠ABC=∠ACB；②∠ADC+∠ABD=90°；③BD平分∠ADC；④2∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①②④
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，故①正确；
∵AD，CD分别平分∠EAC，∠ACF，
∴可得∠ADC=90°∠ABC，
∴∠ADC+∠ABC=90°，
∴∠ADC+∠ABD=90°，故②正确；
∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，∠ADB=∠BDC，
∴△ABD≌△BCD（ASA），
∴AB=CB，与题目条件矛盾，故③错误，
∵∠DCF=∠DBC+∠BDC，∠ACF=∠ABC+∠BAC，
∴2∠DCF=2∠DBC+2∠BDC，2∠DCF=2∠DBC+∠BAC，
∴2∠BDC=∠BAC，故④正确，
故答案为：①②④．
【分析】由角平分线的定义可得∠EAD=∠CAD，由平行线的性质得∠EAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，从而推出∠ABC=∠ACB，据此判断①；
由AD，CD分别平分∠EAC，∠ACF及三角形的内角和可推出∠ADC=90°∠ABC，据此判断②；
证明△ABD≌△BCD，可得AB=CB，与题目条件矛盾，故③错误；
由三角形外角性质得∠DCF=∠DBC+∠BDC，∠ACF=∠ABC+∠BAC，则2∠DCF=2∠DBC+2∠BDC，2∠DCF=2∠DBC+∠BAC，即得2∠BDC=∠BAC，故④正确.
16．（2021八上·长沙期中）如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的角平分线，BD，CE交于点O.过点O作OF⊥BC，垂足为F，若∠BAC=120°，OD OE=12，BC BE CD=5，则OF= .
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：在BC上取点G和H，使BG=BE，CH=DC，
∵BD，CE 是△ABC 的角平分线，
∴∠EBO=∠GBO，∠DCO=∠HCO，
又∵BO=BO，CO=CO，
∴△BEO≌△BGO（SAS），△ODC≌△OHC（SAS），
∴∠BOG=∠BOE，∠HOC=∠DOC，
∵∠A=120°，
∴∠OBC+∠OCB= =30°，
∴∠BOE=30°，∠BOC=150°，
∴∠GOH=∠BOC-∠BOG-∠HOC
=150°-30°-30°
=90°，
∴S△OGH= GO HO= EO DO=6，
∵BC-BE-CD=5，
∴BC-BG-CH=5，
即 GH=5，
∴OF= ，
故答案为： .
【分析】在BC上取点G和H，使BG=BE，CH=DC，利用SAS证明△BEO≌△BGO，△ODC≌△OHC，得出∠BOG=∠BOE，∠HOC=∠DOC，然后根据三角形内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，则可利用三角形外角的性质求出∠BOE，然后根据角的和差关系∠GOH=90°，求出根据面积公式求出△OGH的面积，再根据线段间的和差关系求出GH，然后利用三角形面积公式求出OF长即可.
17．（2021八上·乾安期中）如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，E为BC边上一点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AC于G，交BC的延长线于H，则以下结论：①BE=CG；②DF=DH；③BH=CF；④AF=CH．其中正确的是 .
【答案】①②③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：连接CD
∵D为等腰直角三角形ABC斜边AB上的中点
∴BD=DC，∠B=∠DCA=45°
∵∠BDC=∠EDH=90°
∴∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDH
∴∠BDE=∠CDH
∴△DBE≌△DCG
∴DE=DG，BE=CG，即①正确；
∵∠F+∠DEC=∠H+∠DEC=90°
∴∠F=∠H
∵∠FDG=∠HDE=90°
∴△DCH≌△DAF
∴FG=HE，DF=DH，即②正确
∴FG+GC=HE+BE
∴FC=BH，即③正确
∵BC=AC
∴BH-BC=CF-AC
即AF=CH，即④正确。
【分析】根据题意，由全等三角形的判定和性质，分别判断得到答案即可。
18．（2019八上·西城期中）如图， ，点 是边 上的点， 平分 ， 平分 ，有下列结论：① ，② 为 的中点，③ ，④ ，其中正确的有 .（填序号）
【答案】②③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠BCD，
∴∠EBC+∠ECB= (∠ABC+∠BCD)=90°，
∴∠BEC=180° (∠EBC+∠ECB)=180° 90°=90°，
∴BE⊥CE
故④符合题意；
如图，延长BE交CD延长线于F，
∵∠BEC=90°，
∴CE⊥BF，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠FCE，
在△BCE与△FCE中，
∠BCE=∠FCE，EC=EC，∠BEC=∠FEC=90°，
∴△BCE≌△FFE(ASA)，
∴BC=FC，BE=FE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠F，
在△ABE与△FDE中，
∠ABE=∠F，BE=FE，∠AEB=∠FED，
∴△ABE≌△FDE(ASA)，
∴AB=DF，
∴BC=CF=CD+DF=CD+AB，故③符合题意；
∵△ABE≌△FDE，
∴AE=DE，即点E为AD的中点，故②符合题意；
∵AD≠BC，
∴AD≠CD+AB，故①不符合题意；
故答案为：②③④.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠DCB=180°，又BE、CE都是角平分线，可以推出∠EBC+∠ECB=90°，从而得到∠BEC=90°，然后延长BE交CD的延长线于点F，先证明△BCE≌△FFE（ASA），得到BC=FC，BE=FE，然后证明△ABE≌△FDE（ASA），从而可以证明②③符合题意，AD与BC不一定相等，所以①不符合题意．
三、证明题
19．（2024八上·交城期中） 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，CE=CF.求证：AE=AF.
【答案】证明：连接AC
在Rt△BEC和Rt△DFC中
∴△BEC≌△DFC(HL)
∴BC=DC
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴△ABC≌△ADC(HL)
∴AB=AD
∵BE=DF
∴AB-BE=AD-DF
∴AE=AF.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】连接AC，证明 △BEC≌△DFC 得到BC=DC，再证明 △ABC≌△ADC ，得到AB=AD，即可证明结论.
20．（2021八上·盖州月考）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一动点，延长BD交CE于E，且CE⊥BD，若BD平分∠ABC，求证：CE= BD
【答案】证明：延长CE、BA交于点F．
∵CE⊥BD于E，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF．
在△ABD与△ACF中，
∵ ，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE．
在△BCE与△BFE中，
∵ ，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
即CE＝ CF，
∴CE＝ BD．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】延长CE、BA交于点F．利用全等等三角形的性质证出△ABD≌△ACF（ASA），得出BD＝CF．因为BD平分∠ABC，得出∠CBE＝∠FBE．再证出△BCE≌△BFE（ASA），得出CE＝EF，即可得出结论。
21．（2021八上·台安月考）如图，四边形 中， ， ， ，M、N分别为AB、AD上的动点，且 ．求证： ．
【答案】证明：延长 至点 ，使得 ，连接 ，
四边形 中， ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】延长 至点 ，使得 ，连接 ，根据同校的补角相等得出，根据SAS证明 ，则 ， ，进而证明 ，根据SAS证明 ，得出ME=MN，则 ．
22．（2021八上·义乌月考）如图，在 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F．求证：BD＝2CE．
【答案】证明： 的平分线交 于 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
又∵ ，
．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】由角平分线的概念得∠FBE=∠CBE，由垂直的概念得∠BEF=∠BEC=90°，证明△BFE≌△BCE，得到CE=EF，则CF=2CE，根据同角的余角相等可得∠F=∠ADB，证明△ABD≌△ACF，得到BD=CF，然后结合CF=2CE进行证明.
23．（2020八上·陆川期中）如图，AD是 的角平分线，且AB>AC，E为AD上任意一点，
求证： .
【答案】证明：如图，在AB上截取AF=AC，连接EF，
∵AD是 的角平分线
∴∠1=∠2
在 与 中
∵AF=AC，∠1=∠2，AE=AE
∴ ≌ （SAS）
∴
在 中，
而
∴
即 .
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】 在AB上截取AF=AC，连接EF， 证出△AEF≌△AEC，得出EF=EC，根据三角形三边关系得出EB-EF＜BF，从而得出EB-EC＜AB-AC，即可得出AB-AC＞EB-EC.
24．（2019八上·德阳月考）如图，已知 中， 于 ， ，求证： .
【答案】解：如图，在线段CD上截取DE=BD，
∵AD=AD，∠ADB=∠ADE，BD=DE
∴△ADB≌△ADE（SAS）
∴AE=AB，∠ABC=∠AED，
∴AB+BD=AE+DE，
∵AB+BD=CD，
∴CD=AE+DE，
∵CD=CE+DE，
∴AE=CE
∴∠C=∠CAE，
∴∠AED=∠C+∠CAE=2∠C，
∴ ．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】在线段CD上截取DE=BD，由“SAS”可证△ADB≌△ADE，可得AE=AB，∠ABC=∠AED，由线段和差关系可证AE=CE，即可得结论．
25．（2019八上·武冈期中）如图， 是 的中线， 是 的中线， 。求证： 。
【答案】解：延长AC到点F，使AC＝CF，连接DF，
∵AC是△ABD的中线，
∴BC＝DC．
∵∠ACB＝∠FCD，
在△ABC和△FDC中
∴△ABC≌△FDC（SAS）．
∴∠B＝∠FDC，DF＝BA，
又∵BA＝BD，AD是△ABE的中线，
∴∠BAD＝∠BDA，DF＝DE，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝∠FDC+∠BDA＝∠ADF，
在△ADE和△ADF中
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF＝2AC
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】延长AC到点F，使AC＝CF，连接DF，根据SAS证明△ABC≌△FDC，可得∠B＝∠FDC，DF＝BA，再由SAS证明△ADE≌△ADF，可得结论．
26．（2018八上·南昌月考）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
【答案】证明：在AB上截取AF=AD，
∵AE平分∠PAB，
∴∠DAE=∠FAE，
在△DAE和△FAE中，
∵ ，
∴△DAE≌△FAE（SAS），
∴∠AFE=∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠C=180°，
∵∠AFE+∠EFB=180°，
∴∠EFB=∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF=∠EBC，
在△BEF和△BEC中，
∵ ，
∴△BEF≌△BEC（AAS），
∴BC=BF，
∴AD+BC=AF+BF=AB．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】首先在AB上截取AF=AD，由AE平分∠PAB，利用SAS即可证得△DAE≌△FAE，继而可证得∠EFB=∠C，然后利用AAS证得△BEF≌△BEC，即可得BC=BF，继而证得AD+BC=AB．
1 / 1苏科版数学八上第一章全等三角形单元测试卷
一、选择题
1．（2024八上·邵阳期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024八上·黄石港期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③
3．（2023八上·遵化期中）如图，在四边形中，，若的平分线交于点，连接，且平分，则下列结论：①；②为的中点；③；④，其中正确的是（ ）.
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
4．（2023八上·小榄期中）如图，已知是的平分线，，若，则△ABC的面积等于（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．（2023八上·南宁期中） 如图，交于点M，交于点D，交于点N，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2023八上·张湾期中）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝30°，如图，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM．则下列结论中：①AC＝BD；②∠AMB＝30°；③△OEM≌△OFM；④MO平分∠BMC．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023八上·义乌期中）已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝10，AC＝6，则AD的取值范围是（ ）
A．4＜AD＜16 B．2＜AD＜8 C．4＜AD＜10 D．8≤AD≤16
8．（2023八上·鹤山月考）如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A．1 B．1或4 C．1或2 D．3
二、填空题
9．（2020八上·北京月考）如图，在 中， 厘米， ， 厘米，点 为 的中点．如果点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．当点 的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使 与 全等．
10．（2024八上·广水期末）如图，在中，是高，，，在边上取点，连接，，若，，则 ．
11．（2023八上·献县月考）三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是 .
12．（2023八上·新昌月考）如图，点O在直线m上，在m的同侧有A，B两点，∠AOB=90°，OA=10cm，OB=8cm，点P以2cm/s的速度从点A出发沿A—O—B路径向终点B运动，同时点Q以1cm/s的速度从点B出发沿B—O—A路径向终点A运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过点P，Q作PC⊥m于点 C，QD⊥m 于点C，QD⊥m于点D．若△OPC与△OQD全等，则点Q运动的时间是 秒．
13．（2023八上·洪山月考）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．
14．（2021八上·南宁期中）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形，画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画 个.
15．（2021八上·营山期中）如图，△ABC中，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠CAE、内角∠ABC、外角∠ACF，AD∥BC．以下结论：①∠ABC=∠ACB；②∠ADC+∠ABD=90°；③BD平分∠ADC；④2∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有 ．（填序号）
16．（2021八上·长沙期中）如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的角平分线，BD，CE交于点O.过点O作OF⊥BC，垂足为F，若∠BAC=120°，OD OE=12，BC BE CD=5，则OF= .
17．（2021八上·乾安期中）如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，E为BC边上一点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AC于G，交BC的延长线于H，则以下结论：①BE=CG；②DF=DH；③BH=CF；④AF=CH．其中正确的是 .
18．（2019八上·西城期中）如图， ，点 是边 上的点， 平分 ， 平分 ，有下列结论：① ，② 为 的中点，③ ，④ ，其中正确的有 .（填序号）
三、证明题
19．（2024八上·交城期中） 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，CE=CF.求证：AE=AF.
20．（2021八上·盖州月考）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一动点，延长BD交CE于E，且CE⊥BD，若BD平分∠ABC，求证：CE= BD
21．（2021八上·台安月考）如图，四边形 中， ， ， ，M、N分别为AB、AD上的动点，且 ．求证： ．
22．（2021八上·义乌月考）如图，在 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F．求证：BD＝2CE．
23．（2020八上·陆川期中）如图，AD是 的角平分线，且AB>AC，E为AD上任意一点，
求证： .
24．（2019八上·德阳月考）如图，已知 中， 于 ， ，求证： .
25．（2019八上·武冈期中）如图， 是 的中线， 是 的中线， 。求证： 。
26．（2018八上·南昌月考）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
，
故①正确，符合题意；
②若，
∴，
∴，
∴，
而由已知条件无法证明，
故②错误，不符合题意；
③如图，延长至G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④如图，作的平分线交于点G，
由①得，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
故答案为：C．
【分析】首先根据三角形内角和求得，再根据角平分线的定义求得（）=60°，进一步根据三角形内角和定理，即可求得 ； 即可得出①正确；假定 ，即可得出，根据条件无法证明，故②不正确；如图，延长至G，使，连接，可根据SAS证明，从而得出，进一步得出，从而得出是等腰三角形，再根据EG=EC，即可得出，故而得出③正确；如图，作的平分线交于点G，可证明，，从而得出，进而得出，故而得出④正确，综上即可得出说法正确的由3个。
2．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB=90°，
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴，，
∴，
∴∠APB=180°-∠BAD-∠ABE=135°，①正确；
∴∠BPD=180°-∠APB=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠APH=∠FPD=90°，
∴∠FPB=∠FPD+∠BPD=135°，
∴∠APB=∠FPB，
∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∠APB=∠FPB，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，②正确；
∵∠DAB=∠CAD，
∴∠PAH=∠BFP，
∵∠APH=∠FPD，PA=PF，∠PAH=∠BFP，
∴△APH≌△FPD，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD；③正确；
连接HD，ED，如图：
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，PH=PD，
∴∠HDP=∠DHP=45°
∴∠HDP=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，④不正确；
故正确的有①②③；
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和是180°可得∠BAC+∠ABC=90°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线和三角形的内角和是180°可得∠BPD=45°，求得∠FPB=135°，判断①正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，判断②正确，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AH=FD，等量代换可判断③正确，连接HD，ED，根据全等三角形的面积相等，对应边相等可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，根据等边对等角和三角形的内角和是180°可推得∠HDP=∠BPD，根据内错角相等，两直线平行可得HD∥EP，根据平行线之间的距离处出相等可得S△EPH=S△EPD，等量代换可判断④不正确，即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：根据题意
①；
AE平分线， BE平分
故①的结论正确
②为的中点；
延长AE交BC于F，
BE平分
(三线合一定理的逆定理)
AE平分线
(ASA)
故②结论正确
③；
在②的证明中，
故③结论正确
④
故④结论正确
故答案为：D
【分析】根据角平分线定义和三角形内角和定理进行推算即可判定；在①的结论下，由垂直和顶角平分线想到三线合一逆定理判定等腰三角形，提示作辅助线进而证明CE、DE所在的三角形全等；在全等的基础上，可以证明线段的等量关系；在全等的基础上，可以等量代换证得面积间的等量关系。
4．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABD，
∴∠ABP=∠DBA，
∵BP⊥AP，
∴∠APB=∠DPB=90°，
在△APB与△DPB中，
∵∠ABP=∠DBA，BP=BP，∠APB=∠DPB=90°，
∴△APB≌△DPB（ASA），
∴AP=PD，
∴S△ABP=S△DBP，S△APC=S△DPC，
∵S△BCP=S△BDP+S△CPD=12cm2，
∴S△ABP+S△ACP=12cm2，
∴S△ABC=S△BCP+S△ABP+S△ACP=24cm2.
故答案为：A.
【分析】，延长AP交BC于点D，首先由ASA判断出△APB≌△DPB，由全等三角形对应边相等得AP=PD，由等底同高的三角形的面积相等得S△ABP=S△DBP，S△APC=S△DPC，再由S△BCP=S△BDP+S△CPD=12cm2，得S△ABP+S△ACP=12cm2，从而此题就不难得出答案了.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴BE＝CF；∠BAE＝∠CAF，故④符合题意；
∵∠BAE-∠BAC＝∠CAF-∠BAC，
∴∠1＝∠2，故①符合题意；
∵△ABE≌△ACF，
∴AB＝AC，
又∵∠BAC＝∠CAB，∠B＝∠C，
∴△ACN≌△ABM（ASA），故③符合题意；
∴AM＝AN，
∴MC＝BN，
∴CM＝AM不能证明成立，故②不符合题意．
其中正确的结论有3个．
故答案为：B．
【分析】根据∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，可用AAS证得△ABE≌△ACF，由三角形全等的性质BE＝CF，∠BAE＝∠CAF可得∠1＝∠2；由ASA可得△ACN≌△ABM，没有条件能证明CM＝AM成立，从而逐项判断得出答案．
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠ AOB=∠COD=30°，
∴ ∠AOC=∠BOD，
∵ OA=OB，OC=OD，
∴ △AOC≌△BOD（SAS），
∴ AC=BD，故 ① 正确；
∴ ∠OAC=∠OBD，
∵ ∠AFM=∠BFO，
∴ ∠AMB=∠AOB=30°，故 ② 正确；
∵ OA＞OC，
∴ ∠OCA＞∠OAC，
∵ ∠OEM=∠OCA+∠COD=∠OCA+30°，∠OFM=∠OBD+∠AOB=∠OAC+30°，
∴ ∠OEM＞∠OFM，
∴ △OEM与△OFM不可能全等，故 ③ 错误；
∵ △AOC≌△BOD，
∴ AC边上的高=BD边上的高，
∴ MO平分∠BMC，故 ④ 正确.
故答案为：C.
【分析】依据SAS判定 △AOC≌△BOD推出AC=BD，即可判断 ①；根据全等三角形的性质得∠OAC=∠OBD，再根据三角形内角和定理得到∠AMB=∠AOB，即可判断② ；根据OA＞OC得到∠OCA＞∠OAC，再外角的性质可得∠OEM＞∠OFM，即可判断③；再全等三角形的性质可得AC边上的高=BD边上的高，再根据角平分线的判定即可判断 ④ .
7．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如下图所示：延长AD至点E，使因为 AD是△ABC中BC边上的中线 ，所以在和中则则在中即又故
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了倍长中线法、三角形全等的判定及性质、三角形三边的关系.
延长AD至点E，使结合已知条件可证得，得到再根据三角形三边的关系得到：进而得到：.
8．【答案】B
【知识点】解一元一次方程；三角形全等及其性质
【解析】【解答】 解：∵AB=20cm，AE=6cm，BC=16cm，
∴EB=14cm，BP=2tcm，PC=（16-2t）cm，
①当EB=PC，BP=QC时，△BPE≌△CQP，
由题意得：16-2t=14，
解得：t=1；
②当BP=CP，BE=QC时，△BEP≌△CQP，
由题意得：2t=16-2t，
解得：t=4.
故选：B.
【分析】用含t的代数式表示出线段BP和线段PC的长度，再分类讨论两个三角形全等的不同情况，△BPE≌△CQP或△BEP≌△CQP，列出方程，解方程求出t的值.
9．【答案】4或6
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，
∵D为AB的中点，
∴BD＝ AB＝12cm，
∵BD＝CP，
∴BP＝BC－CP＝16－12＝4cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为1s，
∵△BPD≌△CQP，
∴BP＝CQ＝4cm，
∴点 的运动速度为x＝4÷1＝4（cm/s）；
当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD＝ AB＝12cm，PB＝PC，
∴CQ＝BD＝12cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝8cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为8÷4＝2（s），
∴点 的运动速度为x＝12÷2＝6（cm/s）．
故答案为：4或6．
【分析】由于∠B=∠C=60°，若△BPD与△CQP全等，分两种情况：①当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，据此分别求出BP的长，然后根据速度=路程÷时间解答即可.
10．【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，
∵AH是△ABC的高线，
∴∠F=∠AHB=90°，
∵AE∥BC，
∴∠EAF=∠CBA，
∵AE=AB，
∴△AEF≌△BAH（AAS），
∴FE=AH，
∵DE=AC，
∴Rt△DEF≌Rt△CAH（HL），
∴CH=DF，S△ACH=S△DFE，
∵S△ABC=S△ABH+S△AHC=2S△ABH+S△ADE=5S△ADE，
∴S△ABH：S△ADE=2：1，
∴BH：AD=2：1，
∴AD=，
∴DF=CH=1+=，
∴BC=BH+CH=.
故答案为：.
【分析】过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，用AAS证△AEF≌△BAH，得FE=AH，再用HL证明Rt△DEF≌Rt△CAH，得CH=DF，S△ACH=S△DFE，然后根据等高的两个三角形的面积比等于底之比即可解决问题.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1+∠5+∠9=180°
∠3+∠7+∠6=180°
∠2+∠4+∠8=180°
∴∠1+∠5+∠9+∠3+∠7+∠6+∠2+∠4+∠8=540°
∵∠6+∠9+∠8=180°
∴∠1+∠5+∠7+∠3+∠2+∠4=360°
∵三个全等的三角形
∴∠5+∠7+∠4=180°
∴∠1+∠2+∠3=180°
故填：180°
【分析】本题考查三角形全等的性质和三角形内角和定理。利用平角的性质可得出∠1+∠5+∠9=180°，∠3+∠7+∠6=180°，∠2+∠4+∠8=180°，三角形内角和定理可得出∠6+∠9+∠8=180°，∠5+∠7+∠4=180°，进而得出答案.
12．【答案】2或6或16
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：分情况讨论：
①P在AO上，Q在BO上，如图1
∵PC⊥m，QD⊥m，
∴∠PCO=∠QDO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OPC+∠POC=90°，∠POC+∠QOD=90°，
∴∠OPC=∠QOD，
则△PCO≌△OQD，
∴PO=OQ，
∴10-2t=8 t
解之：t=2；
②如图2，P在BO上，Q在AO上，
∵由①知：OP=QO，
∴2t-10=t-8，
解之：t=2；
t 8<0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在OB上时，如图3，
OP=OQ
则8 t=2t 10，
解之：t=6；
④当P到B点停止，Q在OA上时，如图4
当OQ=OB，t 8=8时，
解之：t=16
P和Q都在BC上的情况不存在，
故答案为：2或6或16
【分析】分类讨论：①P在AO上，Q在BO上， ②P在BO上，Q在AO上，③当P、Q都在OB上时， ④当P到B点停止，Q在OA上时， 再分别画出图形并列出方程求解即可.
13．【答案】12.5
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长AB交CD的延长线于点E，如图，
∵ AD是∠BAC的角平分线，
∴ ∠EAD=∠CAD，
∵ CD⊥AD，
∴ ∠ADE=∠ADC=90°，
∵ AD=AD，
∴ △ADE≌△ADC（ASA），
∴ DE=DC，AE=AC，
∴ S△BDC=S△BCE，
∵ AC-AB=5，
∴ BE=5，
∵ 当BE⊥BC时，S△BCE最大，即S△BDC最大，
∴ S△BDC=S△BCE，=×BC·BE=12.5.
故答案为：12.5.
【分析】延长AB交CD的延长线于点E，根据角平分线的定义和垂直的定义可得∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC=90°，根据ASA判定△ADE≌△ADC推出 DE=DC，从而得到S△BDC=S△BCE，当BE⊥BC时，S△BCE最大，即S△BDC最大，即可求得.
14．【答案】6
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图，
根据三角形全等的性质以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等；以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等，而以AC为公共边不可以作出全等三角形，所以共可以作出六个全等三角形.
故答案为：6.
【分析】由题意可以以AB和BC为公共边分别画出3个，AC不可以，然后可求解．
15．【答案】①②④
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，故①正确；
∵AD，CD分别平分∠EAC，∠ACF，
∴可得∠ADC=90°∠ABC，
∴∠ADC+∠ABC=90°，
∴∠ADC+∠ABD=90°，故②正确；
∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，∠ADB=∠BDC，
∴△ABD≌△BCD（ASA），
∴AB=CB，与题目条件矛盾，故③错误，
∵∠DCF=∠DBC+∠BDC，∠ACF=∠ABC+∠BAC，
∴2∠DCF=2∠DBC+2∠BDC，2∠DCF=2∠DBC+∠BAC，
∴2∠BDC=∠BAC，故④正确，
故答案为：①②④．
【分析】由角平分线的定义可得∠EAD=∠CAD，由平行线的性质得∠EAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，从而推出∠ABC=∠ACB，据此判断①；
由AD，CD分别平分∠EAC，∠ACF及三角形的内角和可推出∠ADC=90°∠ABC，据此判断②；
证明△ABD≌△BCD，可得AB=CB，与题目条件矛盾，故③错误；
由三角形外角性质得∠DCF=∠DBC+∠BDC，∠ACF=∠ABC+∠BAC，则2∠DCF=2∠DBC+2∠BDC，2∠DCF=2∠DBC+∠BAC，即得2∠BDC=∠BAC，故④正确.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：在BC上取点G和H，使BG=BE，CH=DC，
∵BD，CE 是△ABC 的角平分线，
∴∠EBO=∠GBO，∠DCO=∠HCO，
又∵BO=BO，CO=CO，
∴△BEO≌△BGO（SAS），△ODC≌△OHC（SAS），
∴∠BOG=∠BOE，∠HOC=∠DOC，
∵∠A=120°，
∴∠OBC+∠OCB= =30°，
∴∠BOE=30°，∠BOC=150°，
∴∠GOH=∠BOC-∠BOG-∠HOC
=150°-30°-30°
=90°，
∴S△OGH= GO HO= EO DO=6，
∵BC-BE-CD=5，
∴BC-BG-CH=5，
即 GH=5，
∴OF= ，
故答案为： .
【分析】在BC上取点G和H，使BG=BE，CH=DC，利用SAS证明△BEO≌△BGO，△ODC≌△OHC，得出∠BOG=∠BOE，∠HOC=∠DOC，然后根据三角形内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，则可利用三角形外角的性质求出∠BOE，然后根据角的和差关系∠GOH=90°，求出根据面积公式求出△OGH的面积，再根据线段间的和差关系求出GH，然后利用三角形面积公式求出OF长即可.
17．【答案】①②③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：连接CD
∵D为等腰直角三角形ABC斜边AB上的中点
∴BD=DC，∠B=∠DCA=45°
∵∠BDC=∠EDH=90°
∴∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDH
∴∠BDE=∠CDH
∴△DBE≌△DCG
∴DE=DG，BE=CG，即①正确；
∵∠F+∠DEC=∠H+∠DEC=90°
∴∠F=∠H
∵∠FDG=∠HDE=90°
∴△DCH≌△DAF
∴FG=HE，DF=DH，即②正确
∴FG+GC=HE+BE
∴FC=BH，即③正确
∵BC=AC
∴BH-BC=CF-AC
即AF=CH，即④正确。
【分析】根据题意，由全等三角形的判定和性质，分别判断得到答案即可。
18．【答案】②③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠BCD，
∴∠EBC+∠ECB= (∠ABC+∠BCD)=90°，
∴∠BEC=180° (∠EBC+∠ECB)=180° 90°=90°，
∴BE⊥CE
故④符合题意；
如图，延长BE交CD延长线于F，
∵∠BEC=90°，
∴CE⊥BF，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠FCE，
在△BCE与△FCE中，
∠BCE=∠FCE，EC=EC，∠BEC=∠FEC=90°，
∴△BCE≌△FFE(ASA)，
∴BC=FC，BE=FE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠F，
在△ABE与△FDE中，
∠ABE=∠F，BE=FE，∠AEB=∠FED，
∴△ABE≌△FDE(ASA)，
∴AB=DF，
∴BC=CF=CD+DF=CD+AB，故③符合题意；
∵△ABE≌△FDE，
∴AE=DE，即点E为AD的中点，故②符合题意；
∵AD≠BC，
∴AD≠CD+AB，故①不符合题意；
故答案为：②③④.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠DCB=180°，又BE、CE都是角平分线，可以推出∠EBC+∠ECB=90°，从而得到∠BEC=90°，然后延长BE交CD的延长线于点F，先证明△BCE≌△FFE（ASA），得到BC=FC，BE=FE，然后证明△ABE≌△FDE（ASA），从而可以证明②③符合题意，AD与BC不一定相等，所以①不符合题意．
19．【答案】证明：连接AC
在Rt△BEC和Rt△DFC中
∴△BEC≌△DFC(HL)
∴BC=DC
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴△ABC≌△ADC(HL)
∴AB=AD
∵BE=DF
∴AB-BE=AD-DF
∴AE=AF.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】连接AC，证明 △BEC≌△DFC 得到BC=DC，再证明 △ABC≌△ADC ，得到AB=AD，即可证明结论.
20．【答案】证明：延长CE、BA交于点F．
∵CE⊥BD于E，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF．
在△ABD与△ACF中，
∵ ，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE．
在△BCE与△BFE中，
∵ ，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
即CE＝ CF，
∴CE＝ BD．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】延长CE、BA交于点F．利用全等等三角形的性质证出△ABD≌△ACF（ASA），得出BD＝CF．因为BD平分∠ABC，得出∠CBE＝∠FBE．再证出△BCE≌△BFE（ASA），得出CE＝EF，即可得出结论。
21．【答案】证明：延长 至点 ，使得 ，连接 ，
四边形 中， ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】延长 至点 ，使得 ，连接 ，根据同校的补角相等得出，根据SAS证明 ，则 ， ，进而证明 ，根据SAS证明 ，得出ME=MN，则 ．
22．【答案】证明： 的平分线交 于 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
又∵ ，
．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】由角平分线的概念得∠FBE=∠CBE，由垂直的概念得∠BEF=∠BEC=90°，证明△BFE≌△BCE，得到CE=EF，则CF=2CE，根据同角的余角相等可得∠F=∠ADB，证明△ABD≌△ACF，得到BD=CF，然后结合CF=2CE进行证明.
23．【答案】证明：如图，在AB上截取AF=AC，连接EF，
∵AD是 的角平分线
∴∠1=∠2
在 与 中
∵AF=AC，∠1=∠2，AE=AE
∴ ≌ （SAS）
∴
在 中，
而
∴
即 .
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】 在AB上截取AF=AC，连接EF， 证出△AEF≌△AEC，得出EF=EC，根据三角形三边关系得出EB-EF＜BF，从而得出EB-EC＜AB-AC，即可得出AB-AC＞EB-EC.
24．【答案】解：如图，在线段CD上截取DE=BD，
∵AD=AD，∠ADB=∠ADE，BD=DE
∴△ADB≌△ADE（SAS）
∴AE=AB，∠ABC=∠AED，
∴AB+BD=AE+DE，
∵AB+BD=CD，
∴CD=AE+DE，
∵CD=CE+DE，
∴AE=CE
∴∠C=∠CAE，
∴∠AED=∠C+∠CAE=2∠C，
∴ ．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】在线段CD上截取DE=BD，由“SAS”可证△ADB≌△ADE，可得AE=AB，∠ABC=∠AED，由线段和差关系可证AE=CE，即可得结论．
25．【答案】解：延长AC到点F，使AC＝CF，连接DF，
∵AC是△ABD的中线，
∴BC＝DC．
∵∠ACB＝∠FCD，
在△ABC和△FDC中
∴△ABC≌△FDC（SAS）．
∴∠B＝∠FDC，DF＝BA，
又∵BA＝BD，AD是△ABE的中线，
∴∠BAD＝∠BDA，DF＝DE，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝∠FDC+∠BDA＝∠ADF，
在△ADE和△ADF中
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF＝2AC
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】延长AC到点F，使AC＝CF，连接DF，根据SAS证明△ABC≌△FDC，可得∠B＝∠FDC，DF＝BA，再由SAS证明△ADE≌△ADF，可得结论．
26．【答案】证明：在AB上截取AF=AD，
∵AE平分∠PAB，
∴∠DAE=∠FAE，
在△DAE和△FAE中，
∵ ，
∴△DAE≌△FAE（SAS），
∴∠AFE=∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠C=180°，
∵∠AFE+∠EFB=180°，
∴∠EFB=∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF=∠EBC，
在△BEF和△BEC中，
∵ ，
∴△BEF≌△BEC（AAS），
∴BC=BF，
∴AD+BC=AF+BF=AB．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】首先在AB上截取AF=AD，由AE平分∠PAB，利用SAS即可证得△DAE≌△FAE，继而可证得∠EFB=∠C，然后利用AAS证得△BEF≌△BEC，即可得BC=BF，继而证得AD+BC=AB．
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