2024-2025学年湖南省长沙市长郡斑马湖中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市长郡斑马湖中学高二（上）开学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知定义在上的偶函数满足，当时，给出下列四个结论：的图象关于直线对称；在上为减函数；的值域为；有个零点，其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
2.在一个盒子中有红球和黄球共个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件“第二次摸出的球是红球”，事件“两次摸出的球颜色相同”，事件“第二次摸出的球是黄球”，若，则下列结论中错误的是( )
A. B. C. D.
3.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于．
A. B. C. D.
4.在中，角，，所对的边分别为，，，，且的面积为，若，则( )
A. B. C. D.
5.在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
6.是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
7.某商场做促销抽奖活动，规则如下：商家在箱中装入大小相同的个球，其中个红球，个黑球，参加活动的人，每人都有放回地取球次，每次从中任取一球，每个红球兑换元，每个黑球兑换元，则每位参与者获奖的期望是( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
8.中，，，垂足为若，，则长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有( )
A. 与所成的角为
B. 该半正多面体过，，三点的截面面积为
C. 该半正多面体的体积为
D. 该半正多面体的顶点数、面数、棱数满足关系式
10.是虚数单位，下列四个说法中，正确的选项有( )
A. 若复数满足 则
B. 若复数，满足，则
C. 若复数，则可能是纯虚数
D. 若复数满足，则对应的点在第一象限或第三象限
11.如图，已知是边长为的等边三角形，，分别是，的中点，将沿着翻折，使点运动到点处，得到四棱锥，则( )
A. 对任意的点，始终有平面
B. 对任意的点，始终有
C. 翻折过程中，四棱锥的体积有最大值
D. 存在某个点的位置，满足平面平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，则 ______．
13.已知，，；若，则 ______．
14.已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．
的值为 ；
若，且的面积为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，．
若与垂直求；
若向量，若与共线，求．
16.本小题分
某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下：
有次游戏机会．
依次参加，，游戏．
前一个游戏胜利后才可以参加下一个游戏，若轮到游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加游戏，直到次机会全部用完．
参加游戏，则每次胜利可以获得奖金元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金元．
已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是，乙参加每一个游戏获胜的概率都是，甲、乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：
甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏？并说明理由．
在的基础上，解答下列两问．
(ⅰ)求该运动员能参加游戏的概率．
(ⅱ)记为该运动员最终获得的奖金额，为获得每个奖金额对应的概率，请用适当的表示法表示关于的函数．
17.本小题分
如图，在四边形中，，，，且，若，为线段上的两个动点，且．
当为的中点时，求的长度；
求的最小值．
18.本小题分
如图，已知 ，直线平面，为的中点．
求证：直线平面；
若，求证：平面平面．
19.本小题分
已知向量，，定义函数．
若函数为偶函数，求实数的值；
当时，关于的方程，在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的范围．
参考答案
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15.解：因为，，
所以，
因为与垂直，
所以，
整理得：，解得；
因为，，，
所以，
因为与共线，
所以存在唯一实数，使得，
所以，解得，
所以，，
所以．
16.解：甲运动员成绩位于的频率为，则其中位数大于，
而乙运动员成绩位于的频率为，则其中位数小于，
所以甲运动员参加第二阶段游戏．
若甲能参加游戏，则，游戏至多共使用次机会，
，游功共使用次机会，则概率，
，游功共使用次机会，则概率，
所以甲能参加游戏的概率为．
由甲参加每个游戏获胜的概率都是，得参加完次游戏后的每个结果发生的概率都为，
游戏使用了次，则或；
游戏使用了次，则或；
游戏使用了次，游戏使用次，则或；
游戏使用了次，游戏使用次，则或；
游戏使用了次，游戏使用次，则或；
游戏使用了次，游戏使用次，则或；
游戏使用了次，游戏使用次，则或或，其中有种情况，
因此，当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以用列表法表示关于的函数为：

17.解：由，可得，
因为，
所以，解得，所以，
又因为为的中点，
所以，
所以；
因为为线段上的动点，且，
故可设，，
则，
，
所以
，
当时，取到最小值，且为．
18.证明：设，连接．
由四边形为平行四边形，得是的中点．
又是中点，
在中，，
平面，平面，
平面；
，
．
又直线平面，平面，
．
又，平面，平面，
直线平面．
由知，，
直线平面，
又直线平面，
平面平面．
19.解：，定义域为，
若是偶函数，则有恒成立，即：，
则，
即对恒成立，故；
当时，在上单调递增，在也单调递增，
所以在上单调递增，且，
则可化为，
又因为单调递增，得，换底得，即，
令，因，则，
问题转化为在上有两解，即在上有两解，
令，，
即与的图象恰有两个不同的交点，
当时，；当时，；当时，，
因此，又，解得，
故实数的范围是．
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