2024-2025学年山西省太原市山西大学附中高二（上）诊断数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年山西大学附中高二（上）诊断数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一组数据：，，，，若添加一个数据，则不发生变化的统计量是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
2.某场乒乓球单打比赛按三局两胜的赛制进行，甲乙两人参加比赛已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为现用计算机产生之间的整数随机数，当出现或时，表示此局比赛甲获胜，当出现，或时，表示此局比赛乙获胜在一次试验中，产生了组随机数如下：
根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
3.如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是( )
A. 众数中位数平均数
B. 众数平均数中位数
C. 中位数平均数众数
D. 中位数众数平均数
4.已知两条不同直线，与三个不同平面，，，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
5.在正四面体的棱中任取两条棱，则这两条棱所在直线成角的概率是( )
A. B. C. D.
6.九章算术中将正四梭台上、下底面均为正方形称为“方亭”现有一方亭，上底面边长为，下底面边长为，侧棱与下底面所成的角为，则此方亭的体积为( )
A. B. C. D.
7.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧
含端点上的一点，则的范围为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知直三棱柱的体积为，二面角的大小为，且，，则点到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数，则( )
A. B.
C. 复数的实部与虚部不相等 D. 复数在复平面内对应的点在第四象限
10.某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是( )
A. 这天日促销量的众数是 B. 这天日促销量的中位数是
C. 这天日促销量的极差为 D. 这天日促销量的第百分位数是
11.若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是( )
A. 角为钝角 B.
C. D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知事件与事件相互独立，且，，则 ______．
13.某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有名女员工，女员工的平均体重为，方差为；有名男员工，男员工的平均体重为，方差为则样本中所有员工的体重的方差为______．
14.如图，，分别是正方形的边，的中点，把，，折起构成一个三棱锥重合于点，则三棱锥的外接球与内切球的半径之比是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求实数的值；
若非零向量满足，求与的夹角．
16.本小题分
某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完已知甲、乙、丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲、乙、丙每次答题是相互独立的，且甲、乙、丙的答题结果也是相互独立的．
求甲第二次答题通过初赛的概率；
求乙通过初赛的概率；
求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率．
17.本小题分
某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在的有个．
求和乙样本直方图中的值；
试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第百位数同一组中的数据用该组区间中点值为代表；
采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取人，并从这人中任取人，求这两人分数都在中的概率．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，．
求的面积；
若，求．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，．
证明：平面；
若二面角的余弦值为，求异面直线与所成角的正切值．
参考答案
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15.解：，，
，
又，
，即，
．
，
，
，
，，
设向量与的夹角为，，
，，，
则，
当时，，，
当时，，，
与的夹角为或．
16.解：根据题意，甲第二次答题通过初赛，即甲第一次没有通过初赛，
则；
设乙通过初赛为事件，对立事件为乙最终没有通过初赛，即乙连续三次答题错误，
则，
则；
因为甲、乙、丙每人通过初赛的概率为，未通过的概率为，
则可设甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛为事件，
则．
17.解：由直方图可知，乙样本中数据在的频率为，
则，解得；
由乙样本数据直方图可知，，
解得；
甲样本数据的平均值估计为，
乙样本数据直方图中前组的频率之和为，
前组的频率之和为，
所以乙样本数据的第百位数在第组，设第百位数为，
，
解得，
所以乙样本数据的第百位数为，
即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第百位数为；
由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取人和人，
将从分数在中抽取的名学生分别记为，，
从分数在中抽取的名学生分别记为，，，，
则从这人中随机抽取人的基本事件有：
，共个，
所抽取的两人分数都在中的基本事件有个，
即这两人分数都在中的概率为．
18.解：，
，
又，
，
，
根据正弦定理可得，
又，
，
，
，
又，
，
，
则．
因为，由正弦定理可得又，
由，
所以，
解得或舍去，所以，
所以．
因为，
所以．
所以．
所以
．
19.解：证明：在四棱锥中，由底面为矩形，得，
由侧面底面，侧面底面，平面，
得平面，
又平面，则，
又侧面是正三角形，是的中点，则，
又，平面，平面，
所以平面．
如图，
在正三角形内，过点作，垂足为，所以，
因为，侧面底面，面面，面，
所以底面，底面，则，
过作，垂足为，连接，，
，平面，
则平面，而平面，
所以，
则即为二面角的平面角，即，
所以，
所以，
在中，，即，
由，，得四边形为平行四边形，所以，
由，得为异面直线与所成角，
由知平面，则为直角三角形，
，
所以异面直线与所成角的正切值为．
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