2024-2025学年河南省许昌市许昌高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省许昌高级中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知正方体的棱长为，，分别是棱，上的动点，若正方体的外接球的球心是，三棱锥的外接球的球心是，则的最大值是( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.底面圆周长为，母线长为的圆锥内切球的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥在正方体内，，且垂直于圆锥的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
8.三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若的最小正周期是，则
B. 当时，的对称中心的坐标为
C. 当时，
D. 若在区间上单调递增，则
10.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为则( )
A.
B. 估计该年级学生成绩的中位数约为
C. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为
D. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为
11.如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得平面
B. 周长的最小值为
C. 三棱锥的外接球的体积为
D. 平面与平面的夹角正弦值的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某圆锥的体积为侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的体积为______．
13.意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为 ．
14.在四棱锥中，底面是平行四边形，是棱的中点，在棱上，满足，在棱上，满足，，，四点共面，则的值为______．
四、解答题：本题共4小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若函数和的定义域相同，值域也相同，则称和是“同域函数”．
判断函数与是否为“同域函数”，并说明理由；
若函数和，且是“同域函数”，求的值．
16.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点．
证明：平面；
求四棱柱被平面截得的截面周长；
求直线与平面所成角的正切值．
17.本小题分
已知．
求的单调递增区间；
若，，求满足不等式的的取值范围．
18.本小题分
九章算术是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇商功中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点．
证明：平面平面；
求二面角的正切值；
求与平面所成角的正弦值．
参考答案
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15.解：函数与不是“同域函数“，理由如下：
函数的定义域为，的定义域也为，定义域相同；
由，可知的值域为，
由，可知的值域为，
则两函数的值域不相同；
所以函数与不是“同域函数“．
由，得
因为函数在上单调递增，所以，得的值域为．
由题意得的解集为，则，是关于的方程的两个解，
得
解得所以，且．
易得，
当时，函数是增函数，则的值域为，不符合题意．
当时，函数是减函数，则的值域为，
所以，解得．
综上，的值为．
16.解证明：因为四边形是菱形，，为的中点，
所以，
在直四棱柱中，平面平面，
因为平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是矩形，，，，分别为，的中点，
所以，
所以，因为，
所以，
所以，
所以，
因为，且，平面，
所以平面；
因为平面，所以平面与平面的交线与平行，
所以交线为，
连接，，，
则四棱柱被平面截得的截面为四边形，
，，，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以四边形的周长为；
过点作，垂足为，连接，
因为平面，平面，
所以，
因为，
所以平面，因为平面，
所以平面平面，
所以点在平面上的射影必在上，
所以直线与平面所成角为，
因为，，，，
所以，
所以，
即直线与平面所成角的正切值为．
17.解：
，
令，解得，
故的单调递增区间为，．
，
，
令，
则，所以，
不等式可化为，解得，即，
由，解得，
不等式的的取值范围为．
18.解：证明：由已知，，
因为为棱的中点，为棱的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
连接，因为，，
因为为棱的中点，为棱的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，，
又，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又，，平面，
所以平面平面
由已知平面，，平面，
所以，，又，
所以直线，，两两垂直，
以点为原点，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，，
所以，即，取，可得，，所以，
又为平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
所以，
观察可得，所以，
所以，
所以二面角的正切值为．
因为，，
所以，
因为平面平面，为平面的一个法向量，
所以为平面的一个法向量，
设与平面所成角为，
所以，
所以与平面所成角的正弦值为．
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