2024-2025学年广西部分学校高二（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西部分学校高二（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知的三个顶点分别为，，，且，则( )
A. B. C. D.
3.记的内角，，的对边分别为，，，若，则( )
A. B. C. D.
4.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
5.把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，图象的对称轴与图象的对称轴重合，则的值可能为( )
A. B. C. D.
6.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.已知圆锥在正方体内，，且垂直于圆锥的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为，则和可能分别是( )
A. 三棱锥和四棱柱 B. 四棱锥和三棱柱 C. 四棱锥和四棱柱 D. 五棱锥和三棱柱
10.已知复数，则( )
A. B. C. 的虚部为 D.
11.对于直线：与圆：，下列说法不正确的是( )
A. 过定点 B. 的半径为
C. 与可能相切 D. 被截得的弦长最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数是纯虚数，则实数______．
13.已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为______．
14.在四棱锥中，底面为菱形，，点到，的距离均为，则四棱锥的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，直线：．
若，求实数的值；
若，求实数的值．
16.本小题分
已知圆经过三点．
求圆的标准方程；
判断圆：与圆的位置关系．
17.本小题分
在棱长为的正方体中，为的中点求异面直线与所成角的余弦值；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，已知，．
证明；
若，的面积为，求．
19.本小题分
如图，圆台的上底面直径，下底面直径，母线．
求圆台的表面积与体积；
若圆台内放入一个圆锥和一个球，其中在圆台下底面内，当圆锥的体积最大时，求球体积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，
整理得，
解得或．
当时，：，：，，重合；
当时，：，：，符合题意．
故．
因为，所以，
解得或．
16.解：设圆的方程为，
则，
解得，
故圆的方程为，标准方程为．
圆的圆心为，半径为．
圆的圆心为，半径为．
设两圆圆心的距离为，则．
因为，所以圆与圆相交．
17.解：如图，正方体中，
为的中点，连接交于，连接，
根据正方体的性质，知道垂直于上下底面，且，则，，两两垂直，
则以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
由于棱长为，则面对角线为，
所以，，，，
则，，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为．
根据题意，知道，显然，
由正方体结构特征知，面，
则到平面的距离为，
故，
故三棱锥的体积为．
18.解：证明：由，
可得，
即，即，
由正弦定理，可得，
又，故；
由，的面积为，
可得，
由，可得，
由余弦定理，有，
化简得，故，则，
又，所以．
19.解：圆台的上底面直径，下底面直径，母线，
圆台的高为，
圆台的表面积为，
圆台的体积为；
如图，设的中点为，
则当为的中点时，圆锥的体积最大，
由可知，，，
为正三角形，四边形为边长为的菱形，且，
此时体积最大的球的半径即为菱形的内切圆的半径，
，，
所求球体积的最大值为．
第1页，共1页