2024-2025学年湖南省长沙市明德中学高二（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市明德中学高二（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数为虚数单位的实部和虚部互为相反数，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知函数，定义域为，则下列说法正确的是( )
A. 函数的最大值是 B. 函数的最小值是 C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是
4.在中，点是的中点，设，，则( )
A. B.
C. D.
5.在平面直角坐标系中，角与角绕顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边构成一条直线，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知，是球的球面上的两点，，点为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，函数图象与相邻两个交点的距离为，若任意恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数是上的偶函数，对于都有成立，且，当，，且时，都有则给出下列命题：
；
函数图象的一条对称由为；
函数在上为减函数；
方程在上有个根；
其中正确的命题个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则．
A. 这名高中学生每天的平均学习时间为小时的人数有人
B. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为小时
C. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为小时
D. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为小时
10.在中，设角，，所对的边分别为，，，则下列命题一定成立的是( )
A. 若，则是锐角三角形
B. 若，，，则有唯一解
C. 若是锐角三角形，，，设的面积为，则
D. 若是锐角三角形，则
11.如图，在棱长为的正方体中，是侧面上的一个动点，点为线段上，且，则以下命题正确的是( )
A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离是
B. 保持与垂直时，点的轨迹长度为
C. 若保持，则的轨迹长度为
D. 平面被正方体截得截面为等腰梯形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的______条件“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”．
13.已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数的取值范围是______．
14.已知，，，记，，有下面四个结论：
若，则的最大值为；
若，则的最小值为；
若，则的最大值为；
若，则的最大值为．
则错误结论的序号是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
平面内给定两个向量．
求；
求．
16.本小题分
记的内角、、的对边分别为、、，已知，．
求角的大小；
求的面积．
17.本小题分
如图，在长方形中，，，为的中点，以为折痕，把折起为，且平面平面如图．
求证：
求四棱锥的体积；
在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求出点的位置，不存在，说明理由．
18.本小题分
象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力近年来，象棋也继围棋、国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的名同学分为组，每组共名同学进行单循环比赛已知甲、乙、丙、丁名同学所在小组的赛程如表：
第一轮 甲乙 丙丁
第二轮 甲丙 乙丁
第三轮 甲丁 乙丙
规定；每场比赛获胜的同学得分输的同学不得分，平局的名同学均得分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名抽签的胜者排在负者前面，且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲、乙、丙名同学水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，丁同学的水平较弱面对任意一名同学时自己胜、负、平的概率都分别为每场比赛结果相互独立．
求丁同学的总分为分的概率；
已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率．
19.本小题分
对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．
若集合，，求集合相对的“余弦方差”；
若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；
若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值．
参考答案
1.
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4.
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7.
8.
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10.
11.
12.充分不必要
13.
14.
15.解：向量，
所以，，
所以．
由题得：，
所以．
16.解：因为，
即，即，
在中，，
所以，
而，可得；
因为，，
由余弦定理可得，
即，
解得，
所以．
17.解：证明：在长方形中，和为等腰直角三角形，
，，即分
平面平面，且平面平面，
平面，平面
分
取中点，连接，则
平面平面，
且平面平面，平面，
分
解：如图，连接交于，连接，
若平面
平面
平面平面
分
在中，，在梯形中
，即
在棱上存在一点，且，使得平面分
18.解：丁同学总分为分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，
记第轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，，丁
同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为，则，
由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁名同学是平局，则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，
故丁同学的总分为分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得分，分、分，若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名．
若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，甲同学的总分为分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率．
若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙名同学平局，第三轮比赛中乙、丙名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为分，排第二名，可以获得奖励，
此时的概率．
若第一轮比赛中甲、乙名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，第三轮比赛中当乙、丙名同学平局时，甲同学的总分为分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率；
第三轮比赛中当乙，丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为分，需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励，
此时的概率．
综上，甲同学能获得奖励的概率．
19.解：当集合为，时，
集合相对的“余弦方差；
当集合时，
集合相对于常数的“余弦方差”
此时“余弦方差”是一个常数，且常数为；
当集合，，时，
集合相对于任何常数的“余弦方差”
要是上式是一个常数，则且
由，取，可满足上式．
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