2023-2024学年北京市清华大学附中高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年北京市清华大学附中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.已知复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线：的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则( )
A. B. C. D.
5.设，若，则( )
A. B. C. D.
6.“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出庄子天下，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完一尺约等于厘米若剩余的棍棒长度小于厘米，则需要截取的最少次数为( )
A. B. C. D.
7.已知直线：与：交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.设表示与的最大值若，都是正数，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.将的图像向左平移个单位后得到的图像，当时，，则( )
A. B. C. D.
10.边长为的正方形的中心为，将其沿对角线折成直二面角设为的中点，为的中点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查参加活动的甲、乙两班的人数之比为：，其中甲班中女生占，乙班中女生占，则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为______．
12.设函数，若的最小值为，则的值为______．
13.已知数列满足，，设，则 ____；的最小值为____．
14.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 ______．
15.平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度如：圆越小，曲率越大，圆越大，曲率越小定义函数的曲率函数其中是的导数，是的导数，函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数给出下列四个结论：
函数在无数个点处的曲率为；
函数的曲率恒为；
函数的曲率半径随着变大而变大；
若函数在与处的曲率半径相同，则．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在五面体中，平面，平面．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数，其中，若在上单调递减，且，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ当时，函数恰有一个零点，求的取值范围．
条件：；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ问得分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了所学校进行研究，得到如下数据：
Ⅰ从这所学校中随机选取所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过人，求该校参与“单板滑雪”超过人的概率；
Ⅱ已知参与“自由式滑雪”人数超过人的学校评定为“基地学校”现在从这所学校中随机选取所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望；
Ⅲ现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这个动作技巧进行集训并专门对这个动作进行了多轮测试规定：在一轮测试中，这个动作中至少有个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”在此集训测试中，李华同学个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到次，那么至少要进行多少轮测试？结论不要求证明
19.本小题分
已知椭圆：的右焦点坐标为，两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形．
Ⅰ求椭圆的方程和离心率；
Ⅱ若过点与点的直线交椭圆于，两点过点且与直线平行的直线交轴于点，直线与直线于点，求的值．
20.本小题分
已知函数，其中．
Ⅰ若在处取得极值，求的单调区间；
Ⅱ若对于任意，都有，求的值．
21.本小题分
已知：，，，为有穷实数数列对于实数，若中存在，，，，，使得，则称为连续可表数，将所有连续可表数构成的集合记作．
Ⅰ设数列：，，，写出，并写出一个与不同的数列使得；
Ⅱ求所有的整数，使得存在数列满足；
Ⅲ设数列：，，，与数列：，，，满足，，，，证明：．
参考答案
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16.Ⅰ证明：因为平面，平面，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面平面，
所以，
因为，所以．
Ⅱ解：因为，
设，则，，，
所以，即，
因为平面，，平面，
所以，，
如图，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设直线与平面所成角为，
则，．
17.解：Ⅰ函数，
因为上单调递减，所以，即，
可得，解得，
若选条件，则，即，
又，即，，
两式相加得，，即，，与矛盾，故条件不符合题意；
若选条件，则，
即，，又，
即，
两式相减得，，，
即，，，
又，所以，则；
若选条件，则，所以的图象关于直线对称，
则，，
又，即，
两式相减得，，即，与矛盾，故条件不符合题意，
综上，；
Ⅱ由Ⅰ得，当时，则，
则，
令，则，
当，且时，有两个函数值，
当时，单调递减，
且，
当时，，
所以函数恰有一个零点，
所以．
18.解：Ⅰ设参与“自由式滑雪”人数超过人的学校为事件，参与“单板滑雪”超过人的学校为事件，则，，，
所以；
Ⅱ由题知，“基地学校”有个，则的可能取值为，，，
所以，
，，
所以的分布列为


所以；
Ⅲ因为李华同学一次测试达到优秀的概率，
则设李华同学测试获得优秀的次数为，则，
因为，解得，
因为，所以至少要进行轮测试．
19.解：Ⅰ由题意得，解得，，
所以椭圆的方程为，离心率为．
Ⅱ设直线方程为：，
设，，，
则联立：，消去得：，
，，，
即，．
联立，，
，，
，由，得，
得，因为，，
故点为线段的中点，则有．
20.解：Ⅰ，
若在处取得极值，则，得，，
所以，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以在处取得极大值，符合题意，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
Ⅱ若对于任意，都有，则若对于任意，都有，
即，
令，，，则，
，
令，，，
则开口向下，对称轴为，，
所以存在，使得，即，
即，，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，
，，，
又由可得，，
，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
，
又，
所以，
代入得，．
21.解：因为数列：，，，所有连续可表数构成的集合，
所以，，，
所以，，，
所以．
令数列：，，，所有连续可表数构成的集合，
设，，，
则，，，
所以．
而数列是一个与不同的数列，且满足．
答案不唯一，还可以是：：，，；：，，；：，，，；：，，，；：，，，；：，，，；：，，，，
若数列：，，，满足，
不妨设，假设数列只有两项，则中至多个元素，
这与中有项矛盾，故假设错误，
所以数列至少项，即，．
当时，由得：，
且，
解得，所以，又因为，所以．
当，即时，由得：，
且，解得，
所以，又因为，所以．
当时，由得：，，，．
综上所述，可能的取值有，，，，，．
当时，令数列：，，，，满足；
当时，令数列：，，，，满足；
当时，令数列：，，，，满足；
当时，令数列：，，，，满足；
当时，令数列：，，，，满足；
当时，令数列：，，，，满足；
综上所述，满足题意所有的整数有，，，，，．
证明：，，
由题意可知：中最小和最大元素分别为和；
中最小和最大元素分别为和．
因为，所以，，
所以，
由可得：，
因为，由可得：，
又因为，是连续项之和中最大的连续可表数．
故中比大，且比小的元素只可能是连续项之和或，
由，可得：
，
所以，
即，
所以，
由知：，而，
所以，所以．
故得证
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