2024-2025学年安徽省滁州市定远三中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省滁州市定远三中高二（上）开学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.若，，则( )
A. B. C. D.
4.以边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为( )
A. B. C. D.
5.已知空间向量，若共面，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6.对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )
A. B. C. D.
7.某学校有男生人，女生人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为小时，方差为，女生每天睡眠时间的平均数为小时，方差为若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为( )
A. B. C. D.
8.在正三棱锥中，，点，分别是棱，的中点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对任意的，下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
10.如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则( )
A. 若，则点的轨迹为线段
B. 若，则点的轨迹为线段
C. 存在，，使得
D. 存在，，使得平面
11.已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且，则( )
A. B. 为偶函数
C. D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积，且，则外接圆的面积为______．
13.的值为______．
14.在棱长为的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点不包括端点，且，则线段的长度的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，正方体的棱长为．
用空间向量方法证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
袋子中有个大小质地完全相同的小球，其中红球有个，编号分别为，；白球有个，编号分别为，，，，不放回地随机摸出两个球．
求摸出的两个球中有红球的概率；
记事件为“摸出的两个球全是白球”，为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，判断事件，是否相互独立．
17.本小题分
已知函数，．
判断函数的奇偶性并予以证明；
若存在使得不等式成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在平行六面体中，四边形与四边形均为菱形，，．
证明：平面平面；
求二面角的正弦值．
19.本小题分
如果三角形的一个内角等于另外一个内角的两倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，如在中，若，则为倍角三角形，其中角叫做倍角，角叫做倍角．
利用正，余弦定理证明下面的倍角定理：在倍角三角形中，倍角所对边的平方等于倍角所对边乘以该边与第三边之和；
记的内角，，的对边分别为，，，已知，且的面积为，求的周长．
参考答案
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15.证明：由题，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
正方体的棱长为，
，，，，，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则可得，，即；
，
，又平面，
平面；
，，
，
由知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
，
即直线与平面所成角的正弦值为．
16.解：从个球中不放回地随机摸出两个球，总共有种情况．
假设摸出的两个球中没有红球，则列举出所有组合情况，
即，，，，，，共种．
则摸出的两个球全是白球概率为：．
所以摸出的两个球中有红球的概率为．
由前面知道，事件为“摸出的两个球全是白球”，概率为．
事件为“摸出的两个球的编号之和为偶数”．
两个球的编号之和为偶数，有两类情况：两球均为奇数或两球均为偶数．
两球均为奇数的情况有，，，种，
两球均为偶数的情况有，，，种．总共种．则．
即摸出的两个球全是白球且编号之和为偶数，有，，共种．则概率为．
因为不成立，所以事件，不相互独立．
17.解：函数为偶函数，
证明：因为函数，，
所以，
又因为的定义域为，对于，都有，
而且，
所以为偶函数．
因为存在使得不等式成立，
所以有，
由基本不等式可得，
所以当且仅当时，等号成立．
所以，
则，
所以实数的取值范围为．
18.解：证明：连接，，因为四边形与四边形均为菱形，且，
所以与均为等边三角形，
取的中点，连接，，则，，
设，则，
在中，由及余弦定理，
得，
即，
所以舍去．
所以，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
由可知，，，两两垂直，以为原点，以，，
所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
，
设平面的一个法向量，
则，由得
取，解得，，
故，
设平面的一个法向量，
则，由得
取，解得，
故，
所以，
设二面角的大小为，
所以．
19.证明：设，可得，
由正弦定理可得，再由余弦定理可得，
则，即，
当时，则，由，得，所以，则，
由勾股定理可得：，
当时，，两边同时除以可得：，
由上可知，当时，；
解：由正弦定理得，由倍角定理得，
即，
即，所以，
由余弦定理可得，
则，
由的面积为，
解得，则，，
故的周长为．
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