苏科版数学八年级上册第一章测试卷
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2024八上·海曙开学考）下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．同旁内角相等，两直线平行
C．全等三角形的对应边相等 D．如果，那么
2．（2023八上·云龙期中）如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·广州开学考）如图，是的角平分线，，垂足为，//交的延长线于点，若恰好平分，．给出下列四个结论：①；②//；③；④．其中正确的结论共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2019八上·永定月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE、CF是中线，则由（ ）可得△AFC≌△AEB．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
5．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·开福开学考）如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，在三边都不相等的中，，垂足为M，，垂足为N，且，Q在AC上，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，已知中，，，是高和的交点，则线段的长度为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．不能确定
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2024八上·广州开学考）如图，在中，，D，E分别是，上的点．若，则 ．
10．（2020八上·镇江期中）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB=DE，请添加一个条件 ，使△ABC≌△DEF.
11．如图，，点A，D，B，C分别在直线MN与PQ上，点在AB上，，，则 .
12．（2024八上·赣州期末）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 （用三个字母表示）．
13．（2021八上·松桃期末）如图，在 △ABC 中，BE平分 ∠ABC ， AE⊥BE 于点E， △BCE 的面积为2，则 △ABC 的面积是 .
14．（2023八上·新邵期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 ．
15．（2021八上·台安月考）如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ ．
16．（2024八上·遵义期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝1.3cm，则BF＝ cm．
三、作图题（8分）
17．（2023八上·福州开学考）如图，在中，．
（1）尺规作图，在上求作一点，使不要求写作法，保留作图痕迹；请你根据所学的三角形全等的有关知识，作图依据是 提示：、、、
（2）若(1)中，，求的度数．
四、解答题（共2题，共16分）
18．（2023八上·榆树月考）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，
（1）如图1，求证：BE＝CD．
（2）如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的全等三角形．
19．（2023八上·衡阳期中）如图，，垂足分别为．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
五、综合题（共5题，共44分）
20．（2022八上·龙华期中）如图，中，，，，，的角平分线交于点G，作，
（1）求证：
（2）如图连接交于E.求证：
（3）若，，求的面积.
21．（2021八上·景县期末）如图，在 中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；再以点N为圆心，MN长为半径作弧交前面的弧于点F，作射线BF交AC的延长线于点E．
②以点B为圆心，BA长为半径作弧交BE于点D，连接CD．请你观察图形，解答下列问题．
（1）由尺规作图可证得 ，依据是 ；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求∠ACB的度数．
22．（2022八上·双辽期中）如图，在中，，，为边的中点，过点A作交的延长线于点平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：
（1） ；
（2） ．
23．（2022八上·大安期末）在中，，，过点C作直线，于点M，于点N．
（1）若在外（如图1），求证：；
（2）若与线段相交（如图2），且，，则 ．
24．（2023八上·开州期中）
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；绝对值的概念与意义；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、假命题，故A不符合题意
B、假命题，故B不符合题意
C、真命题，故C符合题意
D、假命题，故D不符合题
故选：C．
【分析】A、 相等的角不一定是对顶角
B、 同旁内角互补，两直线平行
C、根据全等三角形的性质可得： 全等三角形的对应边相等
D、 如果，那么且 ．
2．【答案】A
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在和中，
，，AC=AC
∴
∴
∴是角平分线
故选：A．
【分析】先证明（SSS），可得即可求解．
3．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵BF∥AC，
∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故③正确；
在△CDE与△DBF中，
∴△CDE≌△DBF（ASA），
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，
∵AB=AC，
∴AB=3BF，故④正确；
若EF∥AB，则
∵AD是△ABC的角平分线，
都是等腰直角三角形，
∵//，恰好平分，
也都是等腰直角三角形，
这与矛盾，故②错误，
综上，正确的有①③④，共3个.
故答案为：B．
【分析】由角平分线的性质定义，平行线的性质可得出∠C=∠ABC，有等角对等边得AB=AC，再根据等腰三角形的三线合一得到AD⊥BC，BD=CD，据此可判断③；用ASA判断出△CDE≌△DBF，由全等三角形的对应边相等得得出DE=DF，CE=BF，可判断①④；若EF∥AB，根据平行线的性质可判断出△ADB、△ACD、△DBF、△CDE、△ADE都是等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质推出BF=FD=DE=CE=AE，从而与AE=2BF矛盾，据此判断②.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】根据BE、CF是中线，则AF=AE，根据AB=AC以及∠A=∠A，我们就可以根据SAS来判定△AFC和△AEB全等.
【分析】掌握全等三角形SAS的判定方法。
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，在上取点使，
∵平分，∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，，③正确，故符合题意；
∵，∴，
∴，②正确，故符合题意；
∴，①正确，故符合题意；
∵，，
∴，④错误，故不符合题意；
综上：正确的有①②③，共3个，
故选：C．
【分析】在上取点使，证得，求得，可得，得出，，可判断③；由，求得，可判断②；由，可判断①的正误；由，，可得，可判断④的正误.
7．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，∴，∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∵，∴，
∵，∴，
∴，故④错误；
故选：C．
【分析】先证明得到，再由等边对等角推出，得到，据此可判断①②；再根据，即可判断③；由平行线的性质得到，由，得到，据此可判断④．
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴AD=BD，∠ADC=∠BDH=90°，
∵∠AHE+∠DAC=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠AHE=∠BHD=∠C，∴△ADC≌△BDH，∴BH=AC=4．
故选：B．
【分析】根据已知条件AAS易证△ADC≌△BDH，根据全等三角形的对应边相等即可得BH=AC=4
9．【答案】30°
【知识点】直角三角形的性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：30°．
【分析】根据全等三角形的对应角相等得∠ABD=∠CBD=∠C，进而根据直角三角形的两个锐角互余列式解答即可．
10．【答案】∠A=∠D或BC=EF或BE=CF或∠ACB=∠F
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：添加AB=DE.
∵BE=CF，
∴BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
故答案为：AB=DE（答案不唯一）.
【分析】利用平行线的性质可证得∠B=∠DEF，由一边一角对应相等，利用全等三角形的判定定理，可得到可以添加的条件： ∠A=∠D或BC=EF或BE=CF或∠ACB=∠F .
11．【答案】7
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵MN//PQ，AB⊥PQ，
∴∠DAE＝∠EBC=90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL），
∴AE＝BC，
∵AD＋BC＝7，
∴AB＝AE＋BE＝BC＋AD＝7.
故答案为：7.
【分析】先利用HL证出Rt△ADE≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得AE＝BC，进而根据线段的和差及等量代换即可求出AB的值.
12．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示
AB与DE相交于C
故答案为：
【分析】从已知条件入手，题中给定两组对应边分别相等，根据证明两三角形全等的定理，还缺少一组边相等或者夹角相等的条件，观察图形可发现夹角是对顶角而对顶角相等，故可由SAS定理判定全等。
13．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长AE交BC于D，
∵BE平分
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在
和
中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴
故答案为：4.
【分析】延长AE交BC于D，根据ASA证明
，可得
，根据等底同高可得
，
，从而得出
，即可得解.
14．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： BE⊥AD，CF⊥AD，∠BEA=∠AFC= 90°，∠BAE+∠ABE= 90°，
∠BAC=90°，
∠BAE+∠FAC= 90°，∠FAC=∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
∠BEA=∠AFC，∠ABE=∠FAC，AB= AC，
△ABE≌△CAF (AAS)，
AF= BE，AE= CF，
BE=4， CF= 1，
AF= BE=4，AE= CF= 1，EF= AF- AE=4-1=3，
故答案为： 3.
【分析】先证明△ABE≌△CAF (AAS)，再根据全等三角形的性质得AF= BE=4，AE= CF=1，进一步可求出EF的长.
15．【答案】55°
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt△BDE与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CFD（HL），
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∴∠EDF =180°-90°-35°=55°．
故答案是：55°．
【分析】先利用HL得出Rt△BDE≌Rt△CFD，再由全等三角形的对应角相等得出∠BED=∠CDF，根据∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，求出∠CFD的度数，得出∠BED的度数，即可求出∠EDF的度数。
16．【答案】2.6
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC，
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），
∴S△ABC=2S△ABD=2×AB×DE=AB×DE=3AB，
∵S△ABC=AC×BF，
∴AC×BF=3AB，
∵AB=AC，
∴BF=1.3，
解得：BF=2.6，
故答案为：2.6.
【分析】先利用“HL”证出Rt△ADB≌Rt△ADC可得S△ABC=2S△ABD=2×AB×DE=AB×DE=3AB，再结合S△ABC=AC×BF，AB=AC，求出BF的长即可.
17．【答案】（1）解：作图如下，
作图依据：SSS.
（2）解：∵∠A=65°，∠ACB=75°
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=40°
∴∠BCD=40°
∴∠ADC=∠B+∠BCD=40°+40°=80°
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）利用基本作图，作一个角等于已知角实际上是作三边对应相等的两个三角形，然后根据全等三角形的性质得到对应角相等；
（2）先根据三角形内角和计算出∠B=40°，则∠BCD=40°，然后根据三角形外角性质计算∠ADC的度数。
18．【答案】（1）证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AE＝AD，
∵AC＝AB，
∴AC-AD＝AB-AE，
即BE＝DC；
（2）解：△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SAS）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）由（1）可得： △ABD≌△ACE（AAS）， BE=DC，
∴∠B=∠C，AD=AE，
∵∠BFE=∠CFD，
∴△BEF≌△CDF，
∴BF=CF，EF=DF，
∴△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SAS） .
【分析】（1）根据垂直求出 ∠ADB＝∠AEC＝90°， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出∠B=∠C，AD=AE，再求出△BEF≌△CDF，最后利用全等三角形的判定方法证明求解即可。
19．【答案】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）；
（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，
∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC＝AB BC＝×4×3＝6，
∴S△ADC＝6，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，
答：四边形ABCD的面积是12．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）即可求解；
（2）根据三角形全等的性质得到BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，进而结合题意运用S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可求解。
20．【答案】（1）证明：∵，的角平分线交于点G，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠DCG=∠BCG=45°，则∠A=∠DCG，由已知条件可知AD=CD，∠FDA=∠BDC，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AF=CG，利用SAS证明△ACF≌△CBG，得到∠ACF=∠CBG，结合∠ACF+∠BCE=90°可得∠BEC=90°，据此证明；
（3）根据全等三角形的性质可得CF=BG=10，然后根据三角形的面积公式进行计算.
21．【答案】（1）SSS
（2）证明：由（1）得 ．
∵AB＝DB，BC＝BC，
∴△ABC≌△DBC（SAS）；
（3）解：∵∠BAC＝100°，∠E＝50°，
∴∠ABE＝30°，
∵△MBN≌△FBN，
∴∠ABC=∠DBC，
∴ ，
∴∠ACB＝∠DBC＋∠E＝15°＋50°＝65°．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】（1）根据基本作图，得BM=BF，BN=BN，MN=NF，符合SSS原理，
故应该填SSS；
【分析】(1)根据同圆的半径相等，BM=BN=BF，MN=FN，符合了SSS；(2)根据(1)知，∠ABC=∠DBC，BC是公共边，BA=BD，符合SAS原理； (3)△ABE中，求出∠ABD=30°，从而求得∠ABC=15°，利用三角形外角和定理即可得到答案.
22．【答案】（1）证明： ， ，
，
平分 ，
，
，
在 与 中，
，
；
（2）证明： 为 边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
由（1）可得： ，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先证明，利用“ASA”证明 即可；
（2）先利用“ASA”证明 ，可得AD=CG，再利用，可得，即可得到。
23．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴
∴，，
∵，
∴；
（2）1.5
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：1.5．
【分析】（1）先利用“AAS”证明，可得，，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）先利用“AAS”证明，可得，，再利用线段的和差及等量代换可得。
24．【答案】（1）EF＝BE+FD
（2）解：（1）中的结论仍然成立，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠3＝∠2，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠3+∠4＝∠EAF，
∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，
在△MAE和△FAE中，
，
∴△MAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EM，
∵EM＝BM+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD；
（3）解：（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD，
理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH，
同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF，
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∴∠HAE＝∠FAE，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EH，
∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）EF＝BE+FD，
理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EG，
∵EG＝BG+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD；
【分析】（1）延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，可证明△ABG≌△ADF（SAS），利用三角形全等的性质得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再证明△GAE≌△FAE（SAS），利用三角形全等的性质得到EF=EG，结合图形即可求解；
（2） 延长CB至M，使BM＝DF，连接AM， 先证明 △ABM≌△ADF（SAS）， 利用三角形全等的性质得到 AM＝AF，∠3＝∠2， 再证明 △MAE≌△FAE（SAS）， 可得 EF＝EM，从而得到EM＝BM+BE，进一步得出结论；
（3） 在EB上截取BH＝DF，连接AH， 先证明 △ABH≌△ADF， 利用三角形全等的性质得到 AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∠HAE＝∠FAE， 进一步证明 △HAE≌△FAE（SAS）， 利用三角形全等的性质得到 EF＝EH， 从而求解.
1 / 1苏科版数学八年级上册第一章测试卷
一、选择题（每题2分，共16分）
1．（2024八上·海曙开学考）下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．同旁内角相等，两直线平行
C．全等三角形的对应边相等 D．如果，那么
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；绝对值的概念与意义；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、假命题，故A不符合题意
B、假命题，故B不符合题意
C、真命题，故C符合题意
D、假命题，故D不符合题
故选：C．
【分析】A、 相等的角不一定是对顶角
B、 同旁内角互补，两直线平行
C、根据全等三角形的性质可得： 全等三角形的对应边相等
D、 如果，那么且 ．
2．（2023八上·云龙期中）如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在和中，
，，AC=AC
∴
∴
∴是角平分线
故选：A．
【分析】先证明（SSS），可得即可求解．
3．（2024八上·广州开学考）如图，是的角平分线，，垂足为，//交的延长线于点，若恰好平分，．给出下列四个结论：①；②//；③；④．其中正确的结论共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵BF∥AC，
∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故③正确；
在△CDE与△DBF中，
∴△CDE≌△DBF（ASA），
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，
∵AB=AC，
∴AB=3BF，故④正确；
若EF∥AB，则
∵AD是△ABC的角平分线，
都是等腰直角三角形，
∵//，恰好平分，
也都是等腰直角三角形，
这与矛盾，故②错误，
综上，正确的有①③④，共3个.
故答案为：B．
【分析】由角平分线的性质定义，平行线的性质可得出∠C=∠ABC，有等角对等边得AB=AC，再根据等腰三角形的三线合一得到AD⊥BC，BD=CD，据此可判断③；用ASA判断出△CDE≌△DBF，由全等三角形的对应边相等得得出DE=DF，CE=BF，可判断①④；若EF∥AB，根据平行线的性质可判断出△ADB、△ACD、△DBF、△CDE、△ADE都是等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质推出BF=FD=DE=CE=AE，从而与AE=2BF矛盾，据此判断②.
4．（2019八上·永定月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BE、CF是中线，则由（ ）可得△AFC≌△AEB．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】根据BE、CF是中线，则AF=AE，根据AB=AC以及∠A=∠A，我们就可以根据SAS来判定△AFC和△AEB全等.
【分析】掌握全等三角形SAS的判定方法。
5．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
6．（2024八上·开福开学考）如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，在上取点使，
∵平分，∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，，③正确，故符合题意；
∵，∴，
∴，②正确，故符合题意；
∴，①正确，故符合题意；
∵，，
∴，④错误，故不符合题意；
综上：正确的有①②③，共3个，
故选：C．
【分析】在上取点使，证得，求得，可得，得出，，可判断③；由，求得，可判断②；由，可判断①的正误；由，，可得，可判断④的正误.
7．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，在三边都不相等的中，，垂足为M，，垂足为N，且，Q在AC上，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，∴，∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∵，∴，
∵，∴，
∴，故④错误；
故选：C．
【分析】先证明得到，再由等边对等角推出，得到，据此可判断①②；再根据，即可判断③；由平行线的性质得到，由，得到，据此可判断④．
8．（2024八上·哈尔滨开学考）如图，已知中，，，是高和的交点，则线段的长度为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．不能确定
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴AD=BD，∠ADC=∠BDH=90°，
∵∠AHE+∠DAC=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠AHE=∠BHD=∠C，∴△ADC≌△BDH，∴BH=AC=4．
故选：B．
【分析】根据已知条件AAS易证△ADC≌△BDH，根据全等三角形的对应边相等即可得BH=AC=4
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2024八上·广州开学考）如图，在中，，D，E分别是，上的点．若，则 ．
【答案】30°
【知识点】直角三角形的性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：30°．
【分析】根据全等三角形的对应角相等得∠ABD=∠CBD=∠C，进而根据直角三角形的两个锐角互余列式解答即可．
10．（2020八上·镇江期中）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB=DE，请添加一个条件 ，使△ABC≌△DEF.
【答案】∠A=∠D或BC=EF或BE=CF或∠ACB=∠F
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：添加AB=DE.
∵BE=CF，
∴BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
故答案为：AB=DE（答案不唯一）.
【分析】利用平行线的性质可证得∠B=∠DEF，由一边一角对应相等，利用全等三角形的判定定理，可得到可以添加的条件： ∠A=∠D或BC=EF或BE=CF或∠ACB=∠F .
11．如图，，点A，D，B，C分别在直线MN与PQ上，点在AB上，，，则 .
【答案】7
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵MN//PQ，AB⊥PQ，
∴∠DAE＝∠EBC=90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL），
∴AE＝BC，
∵AD＋BC＝7，
∴AB＝AE＋BE＝BC＋AD＝7.
故答案为：7.
【分析】先利用HL证出Rt△ADE≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得AE＝BC，进而根据线段的和差及等量代换即可求出AB的值.
12．（2024八上·赣州期末）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 （用三个字母表示）．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示
AB与DE相交于C
故答案为：
【分析】从已知条件入手，题中给定两组对应边分别相等，根据证明两三角形全等的定理，还缺少一组边相等或者夹角相等的条件，观察图形可发现夹角是对顶角而对顶角相等，故可由SAS定理判定全等。
13．（2021八上·松桃期末）如图，在 △ABC 中，BE平分 ∠ABC ， AE⊥BE 于点E， △BCE 的面积为2，则 △ABC 的面积是 .
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长AE交BC于D，
∵BE平分
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在
和
中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴
故答案为：4.
【分析】延长AE交BC于D，根据ASA证明
，可得
，根据等底同高可得
，
，从而得出
，即可得解.
14．（2023八上·新邵期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 ．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： BE⊥AD，CF⊥AD，∠BEA=∠AFC= 90°，∠BAE+∠ABE= 90°，
∠BAC=90°，
∠BAE+∠FAC= 90°，∠FAC=∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
∠BEA=∠AFC，∠ABE=∠FAC，AB= AC，
△ABE≌△CAF (AAS)，
AF= BE，AE= CF，
BE=4， CF= 1，
AF= BE=4，AE= CF= 1，EF= AF- AE=4-1=3，
故答案为： 3.
【分析】先证明△ABE≌△CAF (AAS)，再根据全等三角形的性质得AF= BE=4，AE= CF=1，进一步可求出EF的长.
15．（2021八上·台安月考）如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ ．
【答案】55°
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt△BDE与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CFD（HL），
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∴∠EDF =180°-90°-35°=55°．
故答案是：55°．
【分析】先利用HL得出Rt△BDE≌Rt△CFD，再由全等三角形的对应角相等得出∠BED=∠CDF，根据∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，求出∠CFD的度数，得出∠BED的度数，即可求出∠EDF的度数。
16．（2024八上·遵义期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝1.3cm，则BF＝ cm．
【答案】2.6
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC，
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），
∴S△ABC=2S△ABD=2×AB×DE=AB×DE=3AB，
∵S△ABC=AC×BF，
∴AC×BF=3AB，
∵AB=AC，
∴BF=1.3，
解得：BF=2.6，
故答案为：2.6.
【分析】先利用“HL”证出Rt△ADB≌Rt△ADC可得S△ABC=2S△ABD=2×AB×DE=AB×DE=3AB，再结合S△ABC=AC×BF，AB=AC，求出BF的长即可.
三、作图题（8分）
17．（2023八上·福州开学考）如图，在中，．
（1）尺规作图，在上求作一点，使不要求写作法，保留作图痕迹；请你根据所学的三角形全等的有关知识，作图依据是 提示：、、、
（2）若(1)中，，求的度数．
【答案】（1）解：作图如下，
作图依据：SSS.
（2）解：∵∠A=65°，∠ACB=75°
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=40°
∴∠BCD=40°
∴∠ADC=∠B+∠BCD=40°+40°=80°
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）利用基本作图，作一个角等于已知角实际上是作三边对应相等的两个三角形，然后根据全等三角形的性质得到对应角相等；
（2）先根据三角形内角和计算出∠B=40°，则∠BCD=40°，然后根据三角形外角性质计算∠ADC的度数。
四、解答题（共2题，共16分）
18．（2023八上·榆树月考）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，
（1）如图1，求证：BE＝CD．
（2）如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的全等三角形．
【答案】（1）证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AE＝AD，
∵AC＝AB，
∴AC-AD＝AB-AE，
即BE＝DC；
（2）解：△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SAS）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）由（1）可得： △ABD≌△ACE（AAS）， BE=DC，
∴∠B=∠C，AD=AE，
∵∠BFE=∠CFD，
∴△BEF≌△CDF，
∴BF=CF，EF=DF，
∴△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SAS） .
【分析】（1）根据垂直求出 ∠ADB＝∠AEC＝90°， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出∠B=∠C，AD=AE，再求出△BEF≌△CDF，最后利用全等三角形的判定方法证明求解即可。
19．（2023八上·衡阳期中）如图，，垂足分别为．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）；
（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，
∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC＝AB BC＝×4×3＝6，
∴S△ADC＝6，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，
答：四边形ABCD的面积是12．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）即可求解；
（2）根据三角形全等的性质得到BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，进而结合题意运用S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可求解。
五、综合题（共5题，共44分）
20．（2022八上·龙华期中）如图，中，，，，，的角平分线交于点G，作，
（1）求证：
（2）如图连接交于E.求证：
（3）若，，求的面积.
【答案】（1）证明：∵，的角平分线交于点G，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠DCG=∠BCG=45°，则∠A=∠DCG，由已知条件可知AD=CD，∠FDA=∠BDC，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得AF=CG，利用SAS证明△ACF≌△CBG，得到∠ACF=∠CBG，结合∠ACF+∠BCE=90°可得∠BEC=90°，据此证明；
（3）根据全等三角形的性质可得CF=BG=10，然后根据三角形的面积公式进行计算.
21．（2021八上·景县期末）如图，在 中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；再以点N为圆心，MN长为半径作弧交前面的弧于点F，作射线BF交AC的延长线于点E．
②以点B为圆心，BA长为半径作弧交BE于点D，连接CD．请你观察图形，解答下列问题．
（1）由尺规作图可证得 ，依据是 ；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求∠ACB的度数．
【答案】（1）SSS
（2）证明：由（1）得 ．
∵AB＝DB，BC＝BC，
∴△ABC≌△DBC（SAS）；
（3）解：∵∠BAC＝100°，∠E＝50°，
∴∠ABE＝30°，
∵△MBN≌△FBN，
∴∠ABC=∠DBC，
∴ ，
∴∠ACB＝∠DBC＋∠E＝15°＋50°＝65°．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】（1）根据基本作图，得BM=BF，BN=BN，MN=NF，符合SSS原理，
故应该填SSS；
【分析】(1)根据同圆的半径相等，BM=BN=BF，MN=FN，符合了SSS；(2)根据(1)知，∠ABC=∠DBC，BC是公共边，BA=BD，符合SAS原理； (3)△ABE中，求出∠ABD=30°，从而求得∠ABC=15°，利用三角形外角和定理即可得到答案.
22．（2022八上·双辽期中）如图，在中，，，为边的中点，过点A作交的延长线于点平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）证明： ， ，
，
平分 ，
，
，
在 与 中，
，
；
（2）证明： 为 边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
由（1）可得： ，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先证明，利用“ASA”证明 即可；
（2）先利用“ASA”证明 ，可得AD=CG，再利用，可得，即可得到。
23．（2022八上·大安期末）在中，，，过点C作直线，于点M，于点N．
（1）若在外（如图1），求证：；
（2）若与线段相交（如图2），且，，则 ．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴
∴，，
∵，
∴；
（2）1.5
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：1.5．
【分析】（1）先利用“AAS”证明，可得，，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）先利用“AAS”证明，可得，，再利用线段的和差及等量代换可得。
24．（2023八上·开州期中）
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）EF＝BE+FD
（2）解：（1）中的结论仍然成立，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠3＝∠2，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠3+∠4＝∠EAF，
∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，
在△MAE和△FAE中，
，
∴△MAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EM，
∵EM＝BM+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD；
（3）解：（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD，
理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH，
同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF，
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∴∠HAE＝∠FAE，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EH，
∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）EF＝BE+FD，
理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EG，
∵EG＝BG+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD；
【分析】（1）延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，可证明△ABG≌△ADF（SAS），利用三角形全等的性质得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再证明△GAE≌△FAE（SAS），利用三角形全等的性质得到EF=EG，结合图形即可求解；
（2） 延长CB至M，使BM＝DF，连接AM， 先证明 △ABM≌△ADF（SAS）， 利用三角形全等的性质得到 AM＝AF，∠3＝∠2， 再证明 △MAE≌△FAE（SAS）， 可得 EF＝EM，从而得到EM＝BM+BE，进一步得出结论；
（3） 在EB上截取BH＝DF，连接AH， 先证明 △ABH≌△ADF， 利用三角形全等的性质得到 AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∠HAE＝∠FAE， 进一步证明 △HAE≌△FAE（SAS）， 利用三角形全等的性质得到 EF＝EH， 从而求解.
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