2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市桃李高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市桃李高级中学高二（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共11小题，第1-8小题每小题5分，第9-11小题每小题6分，共58分。
1.甲、乙、丙人投篮，投进的概率分别为，，，现人各投篮次，是否投进互不影响，则人都投进的概率为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
3.青岛二中戏剧节中，个除人文有两个节目参加决赛外，其他各有一个节目参加决赛，一共个节目，在决赛中，要从这支队伍中随机抽取两支队伍比赛，则人文两支队伍不同时被抽到的概率为( )
A. B. C. D.
4.如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
6.的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，，则有两解
C. 若为钝角三角形，则
D. 若，，则面积的最大值为
7.在中，，，分别是角，，的对边，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知，为直线，为平面，下列结论正确的是( )
A. 若 ，，则 B. 若 ，，则
C. 若 ，，则 D. 若 ，，则
9.在等腰直角中，，，是的中点，若点为线段的三等分点，则的值可能为( )
A. B. C. D.
10.高一某次数学考试中，某班学生原始成绩最高分为分，最低分为分，现将每个学生的原始分数按为常数，进行转换，是转换后的分数，转换后，全班最高分为分，最低分为分，则下列结论正确的是( )
A. 转换后分数的众数的个数不变
B. 转换后分数的标准差是原始分数标准差的倍
C. 转换后分数的平均数一定大于原始分数的平均数
D. 转换后分数的中位数一定大于原始分数的中位数
11.已知，是两个随机事件，且，下列命题正确的是( )
A. 若相互独立， B. 若事件，则
C. 若是对立事件，则 D. 若是互斥事件，则
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.______．
13.棱长都是的三棱锥的高等于______．
14.平面向量与的夹角为，，，则等于 ．
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）用平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为，圆锥母线的长为．
建立与的函数关系式，并写出的取值范围；
圆锥的轴截面为正三角形，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米．
16.（15分）已知向量满足．
若，求与的夹角；
若与共线，求的坐标．
17.（15分）在中，已知内角、、成等差数列，边设内角，的周长为．
求函数的解析式和定义域；
求的最大值．
18.（17分）某高校为了解即将毕业的男大学生的身体状况，检测了名男大学生的体重单位：，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示，图中从左到右的前个小组的频率之比为：：．
求这名男大学生中，体重小于的男大学生的人数；
从体重在范围的男大学生中用分层抽样的方法选取名，再从这名男大学生中随机选取名，记“至少有一名男大学生体重大于”为事件，求事件发生的概率．
19.（17分）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，．
求的长；
证明：．
参考答案
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15.解：根据题意，因为圆锥的表面积，，
，
，解得，
即，．
圆锥的轴截面为正三角形，设圆锥高为，
则，，
，
由知，即，
解得，
．
16.解：，
则，
设与的夹角为，，
，，
则，解得，
故；
与共线，，
则，
，
故，解得，
故或．
17.解角、、成等差数列
又由，，得，即
由正弦定理得：
当，即时，
18.解：根据直方图中各个矩形的面积之和为，第和第组的频率和为，
可知前个小组的频率之和为，
从左到右的前个小组的频率之比为：：，
则前组的频率为，
故体重小于的高三男生人数为，
的学生数是人，
的学生数是人，
从体重在范围的男大学生中用分层抽样的方法选取名，
故中抽出名，中抽出名，
再从这名男大学生中随机选取名，共种方法，
至少有一名男大学生体重大于有种，
．
19.解：
，
．
，
，即．
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