高中数学必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式 复习与测试（含答案）

高中数学必修一第二章
一、单选题
1．已知a≥0，b≥0，且a+b=2，则（　　）
A．ab≤ B．ab≥ C．a2+b2≥2 D．a2+b2≤3
2．已知正数 满足 ，则 的最小值为（　　）
A．9 B．10 C．6 D．8
3．在实数集上定义运算 ：x y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a） （x+a）＜1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，1） B．（0，2） C． D．
4．已知 ，则 的取值范围是 （　　）
A． B． C． D．
5．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．若，则x，y满足（　　）
A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x=y
7．正数 满足 ，若 对任意正数 恒成立，则实数x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．设正数 ， 满足 ，若关于 的不等式 的解集中的整数解恰有4个，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数最小值为2的是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知 ， .若 ，则（　　）
A． 的最小值为9 B． 的最小值为9
C． 的最大值为 D． 的最大值为
11．已知 ，则下列式子一定成立的有（　　）
A． B．
C． D．
12．已知正数满足，下列结论中正确的是（　　）
A．的最小值为 B．的最小值为2
C．的最小值为 D．的最大值为1
三、填空题
13．设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为 ，则ab的值是　 　．
14．已知 为正实数，且 ，则 的最小值为　 　.
15．已知实数 满足 ，则 的最大值为　 　
16．已知实数x，y，z满足： ，则 的最大值为　 　.
四、解答题
17．已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18．求证下列问题：
（1）已知均为正数，求证：.
（2）已知，求证： 的充要条件是.
19．已知不等式组的解集为，集合．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
20．已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 ， 的最大值；
（2）令 ，求证：对任意给定的非零实数 ，存在惟一的实数 使得 成立的充要条件是 ．
21．若函数.
（1）讨论的解集；
（2）若时，总，对，使得恒成立，求实数b的取值范围.
22．已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）设函数 ，当 时，函数 的最小值为 ，且 ，求 的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】A,C
10．【答案】B,C
11．【答案】A,D
13．【答案】6
14．【答案】3
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】（1）解：集合，．
或，
时，，
（2）解：若，则，
当时，，解得，成立；
当时，，
解得，
综上实数的取值范围为
18．【答案】（1）证明：
，
当且仅当，即时等号成立.
（2）证明：依题意，则或，
所以：，
所以：的充要条件是.
19．【答案】（1）解：由，得，得，
所以．
（2）解：由，得，所以，
得，故的取值范围为．
20．【答案】（1）解：当 时，函数 ， ，
令 ，则 ，
此时 ，由 ，
即 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
综上，当 时， 最大值是 ．
（2）解：充分性：当 时， ，
当 时， 在 单调递增，且 ，
当 时， 在 单调递减，且 ，
若 ，则存在惟一的 ，使得 ，同理 时也成立，
必要性：当 时， ，
当 时， 在 上的值域为 ，显然不符合题意，因此 ，
当 时， 在 的取值集合 ，
， 的对称轴 ， 在 上递减， ，所以 的取值集合 ，
①若 ， 且在 上单调递增，要使 ，
则 ，且 ，有 ．
②若 ， 且在 上单调递减，要使 ，
则 ，且 ，有 ．
综上： ．
21．【答案】（1）已知，
①当时，时，即；
②当时，，
若，，解得 ，
若，，解得或，
若，，解得，
若时，，解得或，
综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为.
（2）若，则，，
令，原题等价于，对使得恒成立，
令，是关于的减函数，
对，恒成立，
即，
又，，
即，
故，解得或.
22．【答案】解：（Ⅰ）当 时， 化为 ，
当 时，不等式化为 ，解得 ；
当 时，不等式化为 ，解得 ；
当 时，不等式化为 ，解得 ，
综上不等式 的解集是
（Ⅱ）当 时， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以，函数 的最小值 ，
所以 ， ．
，
当且仅当 即 时等号成立，
所以 的最小值为 ．
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