2023-2024学年北京市北京交大附中高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年北京交大附中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为( )
A. B. C. D.
2.若角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
3.已知扇形的弧长为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为( )
A. B. C. D.
4.向量正方形网格中的位置如图所示．若向量，则实数( )
A. B. C. D.
5.下列四个函数中以为最小正周期且为奇函数的是( )
A. B. C. D.
6.在中，，，且，则( )
A. B. C. D.
7.函数在区间上的图象为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知向量，，共面，且均为单位向量，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
10.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一，在年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花如图已知正方形的边长为，中心为，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点如图，若点在的中点，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.与向量平行的单位向量是______．
12.已知函数的部分图象如图所示，则______．
13.已知函数的图象过点，则 ______，若将函数图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为______．
14.已知边长为的菱形中，，点满足，点为线段上一动点，则的最大值为______．
15.声音是由物体振动产生的声波我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数音有四要素，音调、响度、音长和音色它们都与函数及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音我们听到的声音对应的函数是给出下列四个结论：
函数不具有奇偶性；
函数在区间上单调递增；
若某声音甲对应的函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音的响度小；
若某声音乙对应的函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在中，，是的中点，设，．
试用，表示，；
若，与的夹角为，求．
17.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
求函数的单调递增区间；
若函数在区间内只有一个零点，直接写出实数的取值范围．
18.本小题分
已知，，，．
若为坐标原点，求与的夹角；
若，求的值．
19.本小题分
已知函数，且图像的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件、条件、条件中选择两个作为一组已知条件．
确定的解析式；
设函数，则是否存在实数，使得对于任意，存在，成立？若存在，求实数的取值范围：若不存在，请说明理由．
条件：的最小值为；
条件：图像的一个对称中心为；
条件：的图像经过点．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
20.本小题分
对于定义在上的函数和正实数，若对任意，有，则为阶梯函数．
分别判断下列函数是否为阶梯函数直接写出结论：
；．
若为阶梯函数，求的所有可能取值；
已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为，，，直接给出一个符合题意的的值，并证明：存在，使得在上有个零点，且．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.或
12.
13.
14.
15.
16.解：在中，，是的中点，设，，
则，
；
已知，与的夹角为，
则，
则．
17.解：因为，
所以函数的最小正周期；
由，，
可得，，
所以函数的单调递增区间是；
由可得，
，
所以，，
因为函数在区间上有且只有一个零点，
所以，
所以实数的取值范围为．
18.解：因为，，，
所以，
所以，
由，得，
结合，解得，
又因为，所以，即，
设与的夹角为，
则，
又因为，故与的夹角为；
由，得，
又因为，，，
所以，，
所以，
所以，
两边同时平方化简可得：，
又因为，所以，
所以，
所以．
19.解：由于函数图像上两相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期，
所以，
此时．
选条件：
因为的最小值为，
所以．
因为函数的图象过点，
则，
所以，即．
因为，所以，
所以，
所以，
所以．
选条件：
因为函数的一个对称中心为，
所以，
所以．
因为，所以，此时．
所以．
因为函数的图象过点，
所以，
所以，，
所以，
所以．
选条件：
因为的最小值为，所以．
因为图象的一个对称中心为，
所以，
所以，，
因为，所以，此时，
所以．
综上，不论选哪两个条件，．
由知，，由得：，
，因此，
由得：，，
因此，从而，
由得：，
假定存在实数，使得对，，成立，
即存在实数，使得对，，成立，则，
于是得，解得，
因此存在实数，使得对，，成立，
所以实数的取值范围是．
20.解：因为，所以，
所以不是阶梯函数；
因为，所以，
所以是阶梯函数；
因为为阶梯函数，
所以对任意有：
，
所以，对任意，，
因为是最小正周期为的周期函数，
又因为，所以，；
．
证明：函数，则有：
，
．
取，则有：
，，
由于在上单调递减，因此在上单调递减，
结合，则有：在上有唯一零点，在上有唯一零点．
又由于，则对任意，有：，，
因此，对任意，在上有且仅有两个零点：，．
综上所述，存在，使得在上有个零点：
，，，，，，，
其中，．
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