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第二十二章 二次函数（单元重点综合测试）
（考试时间：120分钟；满分：120分）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若函数是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1 B． C． D．或
【答案】B
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数定义可得且，求解即可．
【详解】∵函数是关于x的二次函数，
∴且，
解得，
故选：B．
2．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标是；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，则在对称轴右侧，随的增大而减小，据此可得答案．
【详解】解：抛物线解析式为，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，故①正确，②③错误，
∴当时，随的增大而减小，故④正确，
∴正确的有2个，
故选：B．
3．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移6个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移
【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，先把解析式化成顶点式，然后直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．
【详解】解：∵，
∵将抛物线向左平移3个单位，再向上平移6个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：．
即，
故选：A．
4．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为，下列说法正确的是（ ）
A．篮球出手时离地面的高度是 B．篮圈中心的坐标是
C．此抛物线的顶点坐标是 D．此抛物线的解析式是
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数)、y=ax +k的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意和图象，求出函数解析式，根据图象和解析式逐一判断即可求解，求出二次函数的解析式是解题的关键．
【详解】解：由图和题意可得，抛物线的顶点坐标为， 故错误；
设抛物线的函数解析式为 ，
∵篮圈中心在抛物线上，将它的坐标代入上式，
得，
∴，
∴，故正确；
当时， ，
∴球出手处离地面，故错误；
由图示知，篮圈中心的坐标是，故错误；
∴说法正确的是，
故选：．
5．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数解析式可得对称轴为，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，由此即可求解．
【详解】解：二次函数的对称轴为，，
∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
∵，
∴，
∵，则，，
∴时的函数值与的函数值相等，且，
∴，
∴，
故选：B ．
6．如图，这是一次函数的图象，则二次函数的图象大致为（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象的综合，根据函数图象可得，再由当时，，得到，则二次函数与y轴交于，再求出，即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数的函数图象经过第一、三、四象限，且与y轴交于，
∴，
∵当时，，
∴，
∴二次函数与y轴交于，
∵，
∴二次函数与x轴有两个不同的交点，
∴只有B选项的函数图象符合题意，
故选：B．
7．如图，直线 与抛物线 交于，两点，如果 ，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】根据交点确定不等式的解集、求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式
【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．把代入求出m，再把代入求出n，然后利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式的解集．
【详解】解：．把代入得，
，
∴，
把代入，得
，
∴．
∵直线 与抛物线 交于，两点，
∴关于x的不等式的解集是：或．
故选D．
8．已知抛物线的对称轴为直线，若关于的方程的两根分别为、，则的值为（ ）
A． B．1 C．4 D．7
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程、y=ax +bx+c的图象与性质、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了二次函数的对称轴公式，解一元二次方程，以及代数式求值，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
先根据二次函数的对称轴公式求出b，则得到一元二次方程为，两根即可求解，再代入求值即可，亦可根据根与系数的关系求解．
【详解】解：由题意得，，
∴，
则方程为：，
，
解得：，
∴，
故选：B．
9．函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，，其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、利用不等式求自变量或函数值的范围、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】利用判别式的意义对①进行判断；利用，可对②进行判断；利用，对③进行判断；根据时，可对④进行判断．
本题考查了二次函数与不等式，二次函数图象与系数的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
【详解】解：抛物线与轴没有公共点，
，故①不符合题意；
，，
，
即，故②不符合题意；
，，
，
，故③不符合题意；
时，，
的解集为，故④不符合题意；
故选：．
10．已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】y=ax +k的图象和性质
【分析】本题考查了函数图象，弄清函数图象与方程的关系是解题的关键．分别作出当经过、、、时的图象，再由图象判断出函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解，即可解答此题．
【详解】解：当函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解，
令经过，得，
，
令经过，得，
，
令经过，得，
，
令经过，得，
，
如图，
可以看出经过的和经过的，与函数的图象在有两个交点，
，
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．请你写出一个开口向上，且经过的抛物线的解析式 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】y=ax +k的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，因为一个开口向上，且经过，所以的，据此即可作答．
【详解】解：∵开口向上，
∴的，
∴
∵经过
则时，
∴
故答案为：（答案不唯一）
12．已知抛物线经过，两点，则 ．
【答案】1
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴
【分析】本题考查了二次函数的对称性以及对称轴，观察，，得，关于对称轴对称，据此即可作答．
【详解】解：依题意，因为抛物线经过，两点，且，两点的纵坐标相等
∴与关于对称轴对称，
即，
∴，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
13．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行 秒才能停下来．
【答案】
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式即可求解．
【详解】解：无人机着陆后滑行的距离指的是最大距离，
∴，
∴当时，无人机着陆后滑行的最大距离为米停下，
故答案为： ．
14．已知二次函数，当时，函数的最大值为 ．
【答案】5
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值
【分析】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．根据二次函数的图象，结合当时函数图象的增减情况，即可解决问题．
【详解】解：由二次函数的表达式为可知，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
所以当时，函数取得最小值，且，
则当时，，
当时，，
∴在中，函数的最大值为，
故答案为：．
15．我们把a，b两个数的较大数记作，一次函数与函数的图象有且只有2个交点，则m的取值或范围为 ．
【答案】/
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集
【分析】本题主要考查二次函数与一元一次不等式间的关系，根据题意判断直线的位置是关键，学会用转化的思想解决问题，结合x的范围画出函数的图象，由直线与该函数图象只有两个交点且，判断直线的位置得直线经过点时可以求出m；即找到临界点即可求解．
【详解】解：根据题意的：即，
解得：，
故当时，；当或时，；
函数图象如下：
由图象可知，
∵直线与函数的图象有且只有2个交点，且，
直线经过点时，
，
此时直线与函数的图象有且只有1个交点；
根据图象得：
当时，此时直线与函数的图象有且只有2个交点；
综上，时，一次函数与函数的图象有且只有2个交点，
故答案为：．
16．在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．
【答案】或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与y轴的交点坐标、坐标与图形、矩形性质理解
【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】由，当时，，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，
①当抛物线经过时，将点，代入，
∴
解得：
②当抛物线经过点时，将点,代入，
∴
解得：
综上所述，或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题8分）若函数是以x为自变量的二次函数．
(1)求k的值；
(2)当函数值时，求自变量x的值．
【答案】(1)3
(2)，
【知识点】根据二次函数的定义求参数、已知二次函数的函数值求自变量的值
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，求二次函数的自变量；
（1）根据二次函数的定义得出，求出k的值即可；
（2）把代入函数解析式中得出，再把代入得出，解关于x的方程即可．
解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，一般地,我们把形如 (其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数．
【详解】（1）解：依题意有，
解得：，
∴k的值为3；
（2）解：把代入函数解析式中得：，
当时，，
解得：，．
18．（本题10分）已知二次函数．
(1)用配方法求函数的顶点坐标；
(2)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象．
x …… 0 1 ……
y …… 0 5 9 ……
(3)根据图象回答下列问题：
①当x________时，y随x的增大而减小；
②当x________时，函数y有最________值，是________；
③当时，x的取值范围是________；
④当时，y的取值范围是________．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)①；②，大，9；③；④
【知识点】把y=ax +bx+c化成顶点式、y=ax +bx+c的图象与性质、画y=ax +bx+c的图象
【分析】本题考查了作二次函数的图象以及图象性质，运用数形结合思想是解题的关键．
（1）依题意，，即可作答；
（2）运用二次函数的对称性，并补齐表格以及作图，进行作答即可；
（3）结合（2）的图象，运用数形结合思想进行作答即可．
【详解】（1）解：依题意，
∴函数的顶点坐标
（2）解：依题意，
∵
∴函数的对称轴是
和关于对称轴直线对称
以及和关于对称轴直线对称
∴当，则；当，则
补全表格，
x …… 0 1 ……
y …… 0 5 9 5 0 ……
并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象．如图所示：
（3）解：根据图象回答下列问题：
①当时，y随x的增大而减小；
②当时，函数y有最大值，是9；
③当时，x的取值范围是
④当时，，
当，则；当，则；
当时，y的取值范围是
19．（本题10分）如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，且．
(1)求二次函数的解析式．
(2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为，若当时函数的最大值为7，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】y=ax +bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h） +k的图象和性质、二次函数图象的平移
【详解】（1）解∶当时，
即，解得，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
当时，．
∵，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）由题意可知， ，
∵将函数图象平移后，顶点坐标为，
∴平移后的函数解析式为，
∴平移后的函数的对称轴为直线．
当，时函数取得最大值，
即，解得或，均不符合题意，舍去；
当，时函数取得最大值，
即，解得，符合题意．
综上所述，的值为．
20．（本题10分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x（元）( x≥30)满足一次函数关系m＝162﹣3x．（提示：注意m的取值范围．）
(1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式(写出自变量x的取值范围)．
(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
【答案】(1)（30≤x≤54）
(2)商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润＝（销售价 进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．
（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．
【详解】（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m（x﹣30），
又∵m＝162﹣3x，
∴y＝（x﹣30）（162﹣3x），
即，
∵x≥30．
又m≥0，
∴162﹣3x≥0，即x≤54．
∴30≤x≤54．
∴所求关系式为（30≤x≤54）
（2）由（1）得，
所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．
∵500＞432，
∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．
21．（本题10分）如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点在二次函数图象上，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点的坐标，进而求出的面积，则由三角形面积公式可求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可．
本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，灵活运用所学知识是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意，把，代入中，
得，
，
二次函数解析式为；
（2）解：当时，则，
解得或，
，
，，
，
，
，
，
，
当时，
解得，
即；
当时，
解得或，
即或；
综上所述，点的坐标为或或．
22．（本题12分）
阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材1】某公园计划修建一个如图1所示的喷水池，其示意图如图2，水池中心处立着个实心石柱，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇合，且在过的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，且离池面的高度为．
【素材2】距离池面的位置，围绕石柱还修了一个半径为的圆形小水池，此时小水池恰好不影响水流．
【任务解决】
(1)请结合题意写出下列点的坐标：B________、C________．
(2)求实心石柱的高度．
(3)为了节约水资源，水流在喷水池中循环使用，喷水池的半径至少为多少米？
【答案】(1)，
(2)实心石柱的高度为；
(3)喷水池的半径至少为米．
【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，数形结合和准确计算是解题的关键．
（1）根据题意写出点的坐标即可；
（2）设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可；
（3）令，解方程求得的值即可求解．
【详解】（1）解：由题意得点B的坐标为，点C的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：设抛物线的解析式为，
把点C的坐标为代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴实心石柱的高度为；
（3）解：令，即，
解得，
答：喷水池的半径至少为米．
23．（本题12分）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求的值；
(2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值；
(3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，此时
(3)存在，或或
【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）方法一：连接，，通过表示出函数关系，利用函数的性质进行求解；方法二：作于Q，交于点D，，求得函数关系式，进行求解即可；
（3）分两种情况，当四边形为平行四边形时或当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：把点和点代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：当时，，
∴，
∴，
方法一：如图1，
连接，
设点，
∴，
∴
，
∴当时，，此时；
方法二：如图2，
作于Q，交于点D，设解析式为：
∵，则，解得
∴直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，此时；
（3）解：如图3，
当四边形为平行四边形时，，
∵抛物线对称轴为直线：，
∴点的坐标：
如图4，当四边形为平行四边形时，，
作于G，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
当时，，
∴，，
∴，，
综上所述：或或．
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第二十二章 二次函数（单元重点综合测试）
（考试时间：120分钟；满分：120分）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若函数是关于x的二次函数，则a的值是（ ）
A．1 B． C． D．或
2．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标是；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移6个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为，下列说法正确的是（ ）
A．篮球出手时离地面的高度是 B．篮圈中心的坐标是
C．此抛物线的顶点坐标是 D．此抛物线的解析式是
5．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系（ ）
A． B． C． D．
6．如图，这是一次函数的图象，则二次函数的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
7．如图，直线 与抛物线 交于，两点，如果 ，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
8．已知抛物线的对称轴为直线，若关于的方程的两根分别为、，则的值为（ ）
A． B．1 C．4 D．7
9．函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，，其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
10．已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．请你写出一个开口向上，且经过的抛物线的解析式 ．
12．已知抛物线经过，两点，则 ．
13．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行 秒才能停下来．
14．已知二次函数，当时，函数的最大值为 ．
15．我们把a，b两个数的较大数记作，一次函数与函数的图象有且只有2个交点，则m的取值或范围为 ．
16．在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题8分）
若函数是以x为自变量的二次函数．
(1)求k的值；
(2)当函数值时，求自变量x的值．
18．（本题10分）
已知二次函数．
(1)用配方法求函数的顶点坐标；
(2)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象．
x …… 0 1 ……
y …… 0 5 9 ……
(3)根据图象回答下列问题：
①当x________时，y随x的增大而减小；
②当x________时，函数y有最________值，是________；
③当时，x的取值范围是________；
④当时，y的取值范围是________．
19．（本题10分）
如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，且．
(1)求二次函数的解析式．
(2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为，若当时函数的最大值为7，求的值．
20．（本题10分）
某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x（元）( x≥30)满足一次函数关系m＝162﹣3x．（提示：注意m的取值范围．）
(1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式(写出自变量x的取值范围)．
(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
21．（本题10分）
如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点在二次函数图象上，且，求点的坐标．
22．（本题12分）
阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材1】某公园计划修建一个如图1所示的喷水池，其示意图如图2，水池中心处立着个实心石柱，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇合，且在过的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，且离池面的高度为．
【素材2】距离池面的位置，围绕石柱还修了一个半径为的圆形小水池，此时小水池恰好不影响水流．
【任务解决】
(1)请结合题意写出下列点的坐标：B________、C________．
(2)求实心石柱的高度．
(3)为了节约水资源，水流在喷水池中循环使用，喷水池的半径至少为多少米？
23．（本题12分）
如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求的值；
(2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值；
(3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
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