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第十二章 全等三角形（单元重点综合测试）
（考试时间：120分钟；满分：120分）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图所示，△ABC平移得到△DEF，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全等三角形的性质、利用平移的性质求解、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理，根据平移的性质可得，即可得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：∵△ABC平移得到△DEF，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
2．数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是△ABC和全等．请思考：所用的判定定理是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等．
【详解】解：由题意知，，
在和△ABC中，
，
．
故选：C
3．如图，在△ABC和中，已知，添加一个条件，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：，
当添加时，无法判断，故A选项符合题意；
当添加，则可根据判断，故B选项不符合题意；
当添加，则可根据判断，故C选项不符合题意；
当添加，则，则可根据判断，故D选项不符合题意；
故选：A．
4．如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（ ）
A．带③去 B．带②去 C．带①去 D．带①②去
【答案】A
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据图形，第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则根据全等三角形的判定，利用“”来配一块一样的玻璃．
【详解】解：③中含原三角形的两角及夹边，根据“”，能够唯一确定三角形．其它两个不行．
故选：A．
5．在△ABC中，，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】作角平分线(尺规作图)、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查作图—基本作图，三角形内角和定理，与角平分线相关的角的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：由作图知，平分，
，
，
，
，
故选：B．
6．已知，△ABC，，的相关数据如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等三角形的性质
【分析】根据全等三角形的判定与性质，逐一判断即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：A、，，和不一定相等，
和不一定全等，
故A不符合题意；
B、，，
，
，，
，，
，
，
故B符合题意；
C、和不一定全等，
和不一定相等，
故C不符合题意；
D、，，
，
，，
，，
和不一定相等，
和不一定全等，
和不一定相等，
故D不符合题意；
故选：B．
7．如图，在△ABC中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．32
【答案】B
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查作图基本作图、角平分线的性质．过点作于点，由题意得，为的平分线，即可得，利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：过点作于点，
由题意得，为的平分线，
，
，
的面积为．
故选：B．
8．如图，已知△ABC的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．18
【答案】B
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三角形中线求面积
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．延长交于E，根据已知条件证得，根据全等三角形性质得到，得出，推出．
【详解】解：延长交于E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
9．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形折叠中的角度问题、根据平行线的性质求角的度数、全等三角形的性质
【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出，利用平行线的性质可得出，则即可求．
【详解】解：沿线段DE折叠，使点B落在点F处，
∴，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
10．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形是一个筝形，其中，，、交于点O，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③；④四边形的面积．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】先证明与全等，再证明与全等即可判断．
【详解】解：在与中，
，
∴，故③正确；
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
故①②正确；
四边形的面积，
故④错误；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．如图，平分．请添加一个条件 ，使得．（填一个答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．根据全等三角形全等的方法判断即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴根据判定，可以添加，
根据判定，可以添加，
根据判定，可以添加，
故答案为：（答案不唯一）．
12．如图，点P是的平分线上一点，于点B，且，，点E是上的一动点，则的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理
【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，过P作于H，利用角平分线的性质定理得到即可，根据垂线段最短得到时最小，进而可求解．
【详解】解：过P作于H，
∵点P是的平分线上一点，于点B，，，
∴，
∵当时，的值最小，最小值为的长，
∴的最小值为3，
故答案为：3．
13．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等．若，，，则 m．
【答案】18
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）
【分析】先根据“HL“定理判断出，再根据全等三角形的性质求出，即可求出．
【详解】解：由题意知，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，，
∴，
∴,
∴．
故答案为：18．
14．如图所示，要测量河岸相对的两点，之间的距离，先从处出发与成角方向，向前走米到处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走米到处，在处转沿方向再走米，到达处，通过目测发现，与在同一直线上，那么，之间的距离为 米．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】根据已知条件证得，再利用全等三角形对应边相等的性质即可求得．
【详解】解：先从处出发与成角方向，
，
，，，
，．
，
，
．
沿方向再走米，到达处，即，
米．
故答案为：．
15．如图，在△ABC中，点、分别在边、上，如果，那么的大小为 ．
【答案】/度
【知识点】利用邻补角互补求角度、三角形内角和定理的应用
【分析】先根据三角形内角和定理得到，再根据平角的定义得到，由此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．直线经过等腰直角三角形的直角顶点，且，分别过和作于点，于点，若，，则的长为 ．
【答案】3或13/13或3
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．先根据题意画出图形，然后根据全等三角形的判定与性质求解即可．
【详解】是经过等腰直角三角形直角顶点的直线，所在存在如图所示的四种情况：
，，
只有图（1）和图（2）符合题意．
如图（1），点是直角三角形的顶点，
，
．
于点，于点，
，
，
．
在和中，
，
，，
．
如图（2），点是直角三角形的顶点，
，
．
于点，于点，
，
，
．
在和中，
，，
．
综上，的长为13或3．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题10分）如图，在 △ABC 中，，， 过点 ，，，垂足分别为点 ，．求证：．
【答案】证明见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、垂直定义以及同角的余角相等，证得是解答本题的关键．由已知条件易得，，从而可得，进而可证得，由此可得．
【详解】证明：∵，，，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
18．（本题9分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求点的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)．
【知识点】坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）作出如图的辅助线，再根据“”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再结合图形，即可求出B点的坐标；
（2）根据，代入数据即可求解．
【详解】（1）解：过点作轴垂线垂足为，过点作轴垂线垂足为．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：
．
19．（本题9分）如图，是AD中点，平分．
(1)若，求证：平分．
(2)若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】角平分线的判定定理、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、角平分线的性质定理
【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键．
（1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论；
（2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论．
【详解】（1）证明：过点E作，垂足为H，
∵平分，，
∴，
又∵是中点，即，
∴，
∵，，
∴：平分．
（2）解：如图：在上截取，连接．
平分，
．
在和中，
，
，．
是的中点，
．
又，
，
，
，
在和中
．
，
，
，
∴
20．（本题10分）如图，已知三角形，点E是上一点．
(1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、过直线外一点作这条直线的平行
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平行线的尺规作图：
（1）如图所示，过点E作交于F，点F即为所求；
（2）根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点E作交于F，点F即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
21．（本题10分）在△ABC中，D是边上的点(点D不与点B，C重合)，连接．
(1)如图1，当D是边的中点时，___________．
(2)如图2，当是的平分线时，若，， ___________．
(3)如图3，平分，延长到，使得，连接，如果，，，那么△ABC的面积是多少？
【答案】(1)1
(2)2
(3)15
【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
（1）过作于，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过作于，于，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案．
【详解】（1）解：过作于，如图，
点是边上的中点，
，
（2）解：过作于，于，
为的角平分线，
，
∵，，
；
（3）解：，
由（1）知：，
，
，
，，平分，
由（2）知：，
，
．
22．（本题12分）
如图1，和中，，，，连、．
(1)求证：；
(2)如图2，延长交于F，连，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键；
（1）根据得到，证明即可得到答案；
（2）过A作，交的延长线于M，于N，根据，得到，根据得到，从而得到，即可得到即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中
∵，
∴，
∴；
（2）解：设交于O，过A作，交的延长线于M，于N，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
23．（本题12分）【问题背景】
如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________．
【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【学以致用】
如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长
．
【答案】【问题背景】；【探索延伸】成立；见解析；【学以致用】10
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（2）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（3）延长，截取，连接，根据定理可得出，故可得出，，再由，可得出，故，由定理可得，故，故的周长，由此可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，延长到点G，使，连接，
在和中，
∵，
，
，，
∵，，
，
在和中，
∵，
，
，
，
；
故答案为：．
（2）解：结论仍然成立；
理由：如图2，延长到点G．使．连接，
，，
在和中，
∵，
，
，，
，
，
，
在和中，
∵，
，
，
，
；
（3）解：如图3，延长到点G，截取，连接，
在与中，
，
，
，．
，，
，
．
在与中，
，
，
，
的周长．
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第十二章 全等三角形（单元重点综合测试）
（考试时间：120分钟；满分：120分）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图所示，△ABC平移得到△DEF，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是△ABC和全等．请思考：所用的判定定理是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC和中，已知，添加一个条件，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（ ）
A．带③去 B．带②去 C．带①去 D．带①②去
5．在△ABC中，，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，△ABC，，的相关数据如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在△ABC中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．32
8．如图，已知△ABC的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．18
9．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形是一个筝形，其中，，、交于点O，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；
②；③；④四边形的面积．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．如图，平分．请添加一个条件 ，使得．（填一个答案即可）
12．如图，点P是的平分线上一点，于点B，且，，点E是上的一动点，则的最小值为 ．
13．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等．若，，，则 m．
14．如图所示，要测量河岸相对的两点，之间的距离，先从处出发与成角方向，向前走米到处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走米到处，在处转沿方向再走米，到达处，通过目测发现，与在同一直线上，那么，之间的距离为 米．
15．如图，在△ABC中，点、分别在边、上，如果，那么的大小为 ．
16．直线经过等腰直角三角形的直角顶点，且，分别过和作于点，于点，若，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题8分）如图，在 △ABC 中，，， 过点 ，，，垂足分别为点 ，．求证：．
18．（本题10分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求点的坐标；
(2)求的面积．
19．（本题10分）如图，是AD中点，平分．
(1)若，求证：平分．
(2)若，求证：．
20．（本题10分）如图，已知三角形，点E是上一点．
(1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数．
21．（本题10分）在△ABC中，D是边上的点(点D不与点B，C重合)，连接．
(1)如图1，当D是边的中点时，___________．
(2)如图2，当是的平分线时，若，， ___________．
(3)如图3，平分，延长到，使得，连接，如果，，，那么△ABC的面积是多少？
22．（本题12分）
如图1，和中，，，，连、．
(1)求证：；
(2)如图2，延长交于F，连，求的度数．
23．（本题12分）【问题背景】
如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________．
【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【学以致用】
如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长
．
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