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第十一章 三角形（单元重点综合测试）
（考试时间：120分钟；满分：120分）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．现有两根木棒，它们的长度分别为和，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取（ ）
A．的木棒 B．的木棒 C．的木棒 D．的木棒
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，掌握“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”是解题的关键．根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得：
第三边应大于两边之差，即；
第三边应小于两边之和，即．
四个选项中，只有符合条件．
故选B．
2．下面四个图形中，线段能表示△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了三角形的高，从三角形的顶点出发，向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．据此进行判断即可．
【详解】解：A，C，D中线段不能表示△ABC任何边上的高；
B中线段能表示△ABC的高，且表示边上的高．
故选：B．
3．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
【答案】A
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．熟知三角形的稳定性是关键．
【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故其所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：．
4．等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为x和，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．4或7 B．4 C．6 D．7
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的三条边的关系和一元一次方程的应用的问题．
根据三角形的两边之和大于第三边，可得判断出底边是x，腰长是，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：若x是腰，则底边长是，应该满足两腰之和大于底，但是，
所以只能x是底边，则腰长是，
由题意得，
解得，
，
故答案为：D．
5．如图，在△ABC中，、分别是△ABC的角平分线和高，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高线，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．首先求出，再求出，根据角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】解：∵为高线，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：B．
6．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的角平分线把三角形分成面积相等的两部分
B．三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的重心
C．等腰三角形的两边分别为5和7，则它的周长为17或19
D．钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部
【答案】A
【分析】根据三角形角平分线，中线，高的定义和性质即可求解．
【详解】A、三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，结论错误，符合题意．
B、三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的重心，结论正确，不符合
意．
C、等腰三角形的两边分别为5和7，则它的三边长可能为5,5,7或5,7,7，则周长为17或19，结论正确，不符合题意．
D、钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，结论正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的角平分线，中线，高的定义和性质，关键在于理解这三线的定义，属于基础题．
7．如图，是△ABC的中线，是的中线，于点．若，，则长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：是△ABC的中线，
，
是的中线，
，
，
，
，
即，
解得：，
故选：A．
8．如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查折叠，三角形的内角和定理，根据折叠的性质，结合角的和差关系求出，，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：由折叠得，
∵，且∠1=100°，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9．过边形的一个顶点可以画出7条对角线，将它分成个小三角形，则的值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【分析】本题考查多边形的对角线．根据边形过一个顶点能画出对角线的条数为：进行计算即可，对角线将多边形分成个三角形，进行计算出．
【详解】解：由题意可得：，，
，
．
故选：D．
10．如图，在锐角△ABC中，，BD，BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，交BA，BD，BC于点T，G，H，下列结论：
①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】根据三角形角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余等知识，一一判定即可．
【详解】，
，
，
，
，
，故①正确；
∵BE平分，
，，
，
，故②正确；
，
，
，
，
由①得，
，
，
，故③正确；
为锐角，
，
又，
，
，
，故④错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是准确识图，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
【答案】6
【分析】本题考查多边形的内角和公式、多边形外角和为等知识，先设这个多边形的边数为，由题意，结合多边形内角和公式及外角和为列方程求解即可得到答案，熟记多边形的内角和公式、多边形外角和为是解决问题的关键．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
多边形的内角和是外角和的2倍，
，解得，
故答案为：．
12．已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足，且a为方程的解，则△ABC的周长为 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了三角形三边关系以、绝对值的性质和偶次方的性质等知识点，正确求得a的值是解题关键．
利用绝对值的性质以及偶次方的性质可得的值，再解绝对值方程可得或，进而利用三角形三边关系得出a的值，最后求出△ABC的周长即可．
【详解】解：∵，
∴且，
∴，
∵a为方程的解，
∴或，
又∵，不能构成三角形，
∴，
∴△ABC的周长为．
故答案为：9．
13．如图， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， 则的度数为 ．
【答案】/135度
【分析】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得，在中，根据三角形内角和定理求出，得到，即可求解．
【详解】解：∵正五边形的每一个内角为，
将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，
则，
∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，
∴，，
在中，，
，
故答案为：．
14．如图，七边形中，，的延长线交于点O，若，，，的外角和等于，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了多边形内角和问题，熟练掌握多边形的内角和等于是解题的关键．根据题意计算，，，的度数之和，再计算五边形的内角和，即可求解．
【详解】解： ，，，的外角和等于，
，
五边形的内角和为，
．
故答案为：．
15．如图，△ABC是等腰三角形，，，点D是底边边上的任意一点，于点E，于点F．则 cm．
【答案】4
【分析】根据图形可知三角形的面积等于三角形的面积加上三角形的面积，根据面积公式变形计算即可．
【详解】解：连接，如图所示：
，
由图可得：，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：cm，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，三角形的高，能够熟练掌握割补法求面积是解答本题的关键．
16．AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高，且∠B=40°，∠ACD=70°，则∠DAE的度数为 ．
【答案】15°或35°
【详解】试题分析：本题需要分两种情况进行讨论：
如图1所示：根据∠B=40°，∠C=70°可得：∠BAC=70°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=35°，则∠DAE=35°-20°=15°；如图2所示：根据∠B=40°，∠ACD=70°可得：∠BAC=30°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=15°，则∠DAE=15°+20°=35°.
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题10分）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
(1)这个“多加的锐角”是 度．
(2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
【答案】(1)30
(2)150度
【分析】此题考查了多边形的内角和与外角和的计算，
（1）设这个多边形的边数为n，多加的锐角度数为x，则列得，根据n是正整数，，得到；
（2）利用减去每个外角的度数，求出每一个内角的度数．
【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，多加的锐角度数为x，则
，
∵n是正整数，，
∴，
故答案为30；
（2）由（1）知，这个多边形是正十二边形，
∴这个正多边形的一个内角是．
18．（本题9分）已知，，是三角形的三边长．
(1)化简：；
(2)若，，，求（1）中式子的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形三边关系定理，绝对值的化简，求代数式的值
（1）根据，，是三角形的三边长，得，化简计算即可．
（2）根据，，，代入化简式计算即可．
【详解】（1）∵，，是三角形的三边长，得，
∴
．
（2）当，，时，
原式．
19．（本题9分）若△ABC的三边长分别为m﹣2，2m+1，8．
（1）试确定m的取值范围；
（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长；
（3）若△ABC为等腰三角形，试确定另外两边的长．
【答案】（1）3＜m＜5；（2）△ABC的周长＝19；（3）另外两边的长为和8．
【分析】（1）根据三角形的三边关系，可得①（m-2）+（2m+1）＞8，（2m+1）-（m-2）＜8，解①②组成的不等式组可得；
（2）根据题意和m的取值，即可得出m=4，从而得出边的长，三边相加即可求得三角形的周长；
（3）分三种情况分别讨论即可求得m=，代入m-2，2m+1即可求得另外两边的长．
【详解】（1）根据三角形的三边关系得
，
解得3＜m＜5；
（2）∵△ABC的三边均为整数，
∴m＝4，
∴△ABC的周长＝m﹣2+2m+1+8＝19；
（3）当m﹣2＝2m+1时，
解得m＝﹣3（不合题意，舍去），
当m﹣2＝8时，
解得，m＝10＞5（不合题意，舍去），
当2m+1＝8时，
解得，m＝，
所以若△ABC为等腰三角形，m＝，
则m﹣2＝，2m+1＝8，
所以，另外两边的长为和8．
【点睛】本题考查了三角形三边关系和等腰三角形的性质，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
20．（本题10分）如图，在中，为边上的高，为的平分线，已知，
求的度数；
你发现与、之间有何关系？
若将“题中的条件”改为“”如图，其它条件不变，则与、之间又有何关系？请说明理由．
若将“题目中的条件，”改为“，”，其它条件不变，求、的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）（4），．
【分析】（1）首先根据三角形内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的定义求得∠BAE，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠AED，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；（2）根据（1）即可得出∠EAD与∠B、∠C之间的关系；（3）根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论；（4）根据（3）中结论及三角形内角和定理即可得出答案.
【详解】解：∵，，
∴．
又是的角平分线，
∴，
∴，
又是边上的高，
∴，
由图知，
，
由图知：
，
根据得：，
根据三角形内角和定理得：，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质以及三角形的高的定义，解答的关键是找到已知角和所求角之间的联系，难度适中.
21．（本题10分）（1）如图①，的平分线与的平分线交于点，，，，求的大小．
（2）如图②，的平分线与的平分线交于点，，，求的大小．
（3）如图③，的平分线与的平分线交于点，则与、之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请写出你的结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，，证明见解析．
【分析】（1）根据三角形外角性质可得到，，故可得，在根据角平分线性质，消去等角，求出即可；
（2）根据（1）中方法推出，则问题可解；
（3）延长交于点，根据三角形外角性质推出，又由，得到，根据角平分线性质得到，将代入后得到．
【详解】解：（1）平分，平分，
，．
由三角形外角性质可知，
，，
，
，
，
，，
.
（2）由（1）同理，，
，，
.
（3）存在. ．
证明如下：延长交于点，
如图
，
，
平分，平分，
，，
．
即．
【点睛】本题综合考查了角平分线的性质、三角形的外角性质，解答关键是根据图形利用三角形外角性质推出中间结论并加以应用．
22．（本题12分）在学习《三角形》时，某数学学习小组发现：在一个面积为100的长方形中，点 E，F分别在边上，连接 ． 当点F与点C重合时，如图所示，在不求出长方形边长的情况下，可以根据面积公式或三角形全等的性质求出 的面积为定值．
【提出问题】如图，点E，F都不与端点重合，若的面积是否为定值
【特例分析】（1）给和分别赋予不同的数值，通过特殊数值的计算判断的面积是否发生变化．请你根据上述思路，完成下面的表格．
10 5
10 20
41
【得出猜想】（2）通过特例分析，猜想：的面积 定值． （填“是”或“不是”）
【验证猜想】
（3）①方法1： 假设． ，通过计算验证你的猜想．
②方法2： 如图，过点E作，交于点G，将长方形 分成了长方形和长方形 ，连接 ．通过图形割补的方式也可以验证猜想，请将下列部分验证过程补充完整(填数值)．
解：∵等底等高，
．
，
．
．
【拓展应用】（4）在学校游园活动中，数学小组成员计划用三个雪糕简和彩绳在一个长12米，宽 10米的长方形场地中，围出一块三角形区域作为游戏场地．如图，在长方形场地中，三个雪糕筒分别摆放在点B、E、F处，且的长为整数．若围出的游戏场地面积为52平方米，即 请直接写出所有满足条件的长．
【答案】（1）41；（2）是；（3）①见解析；②见解析；（4）长为2或4或8
【分析】题目主要考查三角形面积的计算及二元一次方程的应用，理解题意，结合图形求解是解题已关机
（1）根据题意利用长方形的面积减去三角形的面积即可求解；
（2）结合表格即可得出结果；
（3）①根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可证明；②根据题意结合图形即可求解；
（4）根据题意及（3）①证明方法得出，然后结合题意求解即可
【详解】解：（1）当时，，
∴，
∴，
故答案为：41；
（2）通过特例分析，猜想：的面积是定值；
故答案为：是；
（3）①，，
∴，，
∴；
②解：∵等底等高，
，
．
∵，
．
；
故答案为：50；9；
（4）由（3）①得：，
整理得：，
∵的长为整数．
∴当时，；当时，（舍去）；当时，；当时，；
∴长为2或4或8．
23．（本题12分）（分类讨论思想）的两外角平分线交于点．
(1)如图1，若，则的度数为__________．
(2)如图2，过点作直线，分别交射线于点，若设，，则与的数量关系是__________．
(3)在（2）的条件下，将直线绕点转动．
①如图3，当直线与线段没有交点时，试探索与，之间的数量关系，并说明理由．
②当直线与线段有交点时，试问①中与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)①，见解析；②不成立，或
【分析】（1）由三角形内角和定理可得，从而可得，再由角平分线的定义可得，最后由三角形内角和定理可得，进行计算即可；
（2）由（1）可得由（1）可得，再由代入进行计算即可；
（3）①根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案；②分两种情况进行讨论：根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
和分别是和的平分线，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
由（1）可得，
，
，
即．
（3）解：①当直线与线段没有交点时，，
理由如下：
∵，，
∴，
即；
②当直线与线段有交点时，①中与，之间的数量关系不成立，需分两种情况讨论：
a．如图1，当在线段上，在射线上时，，
，
∵，，
∴，
即，
b．如图2，当在射线上，在线段上时，，
，
∵，，
∴，
即．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平角的定义等知识，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
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第十一章 三角形（单元重点综合测试）
（考试时间：120分钟；满分：120分）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．现有两根木棒，它们的长度分别为和，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取（ ）
A．的木棒 B．的木棒 C．的木棒 D．的木棒
2．下面四个图形中，线段能表示△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
4．等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为x和，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．4或7 B．4 C．6 D．7
5．如图，在△ABC中，、分别是△ABC的角平分线和高，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的角平分线把三角形分成面积相等的两部分
B．三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的重心
C．等腰三角形的两边分别为5和7，则它的周长为17或19
D．钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部
7．如图，是△ABC的中线，是的中线，于点．若，，则长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．过边形的一个顶点可以画出7条对角线，将它分成个小三角形，则的值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
10．如图，在锐角△ABC中，，BD，BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，交BA，BD，BC于点T，G，H，下列结论：
①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
12．已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足，且a为方程的解，则△ABC的周长为 ．
13．如图， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， 则的度数为 ．
14．如图，七边形中，，的延长线交于点O，若，，，的外角和等于，则的度数为 ．
15．如图，△ABC是等腰三角形，，，点D是底边边上的任意一点，于点E，于点F．则 cm．
16．AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高，且∠B=40°，∠ACD=70°，则∠DAE的度数为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题10分）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
(1)这个“多加的锐角”是 度．
(2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
18．（本题9分）已知，，是三角形的三边长．
(1)化简：；
(2)若，，，求（1）中式子的值．
19．（本题9分）若△ABC的三边长分别为m﹣2，2m+1，8．
（1）试确定m的取值范围；
（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长；
（3）若△ABC为等腰三角形，试确定另外两边的长．
20．（本题10分）如图，在中，为边上的高，为的平分线，已知，
求的度数；
你发现与、之间有何关系？
若将“题中的条件”改为“”如图，其它条件不变，则与、之间又有何关系？请说明理由．
若将“题目中的条件，”改为“，”，其它条件不变，求、的度数．
21．（本题10分）（1）如图①，的平分线与的平分线交于点，，，，求的大小．
（2）如图②，的平分线与的平分线交于点，，，求的大小．
（3）如图③，的平分线与的平分线交于点，则与、之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请写出你的结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．
22．（本题12分）在学习《三角形》时，某数学学习小组发现：在一个面积为100的长方形中，点 E，F分别在边上，连接 ． 当点F与点C重合时，如图所示，在不求出长方形边长的情况下，可以根据面积公式或三角形全等的性质求出 的面积为定值．
【提出问题】如图，点E，F都不与端点重合，若的面积是否为定值
【特例分析】（1）给和分别赋予不同的数值，通过特殊数值的计算判断的面积是否发生变化．请你根据上述思路，完成下面的表格．
10 5
10 20
41
【得出猜想】（2）通过特例分析，猜想：的面积 定值． （填“是”或“不是”）
【验证猜想】
（3）①方法1： 假设． ，通过计算验证你的猜想．
②方法2： 如图，过点E作，交于点G，将长方形 分成了长方形和长方形 ，连接 ．通过图形割补的方式也可以验证猜想，请将下列部分验证过程补充完整(填数值)．
解：∵等底等高，
．
，
．
．
【拓展应用】（4）在学校游园活动中，数学小组成员计划用三个雪糕简和彩绳在一个长12米，宽 10米的长方形场地中，围出一块三角形区域作为游戏场地．如图，在长方形场地中，三个雪糕筒分别摆放在点B、E、F处，且的长为整数．若围出的游戏场地面积为52平方米，即 请直接写出所有满足条件的长．
23．（本题12分）（分类讨论思想）△ABC的两外角平分线交于点．
(1)如图1，若，则的度数为__________．
(2)如图2，过点作直线，分别交射线于点，若设，，则与的数量关系是__________．
(3)在（2）的条件下，将直线绕点转动．
①如图3，当直线与线段没有交点时，试探索与，之间的数量关系，并说明理由．
②当直线与线段有交点时，试问①中与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．
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