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第二十一章 一元二次方程（单元重点综合测试）
（考试时间：120分钟；满分：120分）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（ ）
A． B．2 C．2或 D．4或
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得．
故选：A．
2．若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为，把原方程先去括号，然后移项，合并同类项，化为一般式，进而求出a的值，即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，
，
解得：，
∴，
则该方程中的一次项系数为5，
故选A．
3．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记方程的解和解一元二次方程．
【详解】解：把代入一元二次方程得：
，
解得，，
∵，
∴的值为，
故选：．
4．把方程化成的形式，则的值是（ ）
A．9 B．13 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程、代数式求值，先利用配方法求得，，再代入求解即可．
【详解】解：，
移项得，，
配方得，，
得，，
∴，，
∴，
故选：B．
5．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】A
【分析】题考查一元二次方程的解的情况，分为时，是一元一次方程有解，时，方程为一元二次方程，要求，根据两种情况解题即可．
【详解】解：当时，即，这时方程为，解得；
当时，方程为一元二次方程，则，
解得且，
综上所述，m的取值范围是，
故选：A．
6．关于x的一元二次方程（k为常数）的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定根的情况
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
由题意知，，然后判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．14 B．10 C．13 D．16
【答案】B
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及勾股定理的应用，用因式分解法解，解出，，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：
即，
∴，，
∴直角三角形斜边长为，
故选：B．
8．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键；根据，，代入求解即可得到答案；
【详解】解：方程的两个根，，
，，
，
，，
，，
，
解得：，，
，
，
解得：，故，
故选：C.
9．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键．
根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案．
【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为16，大正方形面积为，边长为8，
∴图2是，
即的几何解法，
故选：C．
10．对于多项式记为，即；若令，，即；下面几个结论正确的个数有（ ）个．
（1）存在实数x使成立，则k的取值范围是；
（2）若，则；
（3）若，则或；
（4）存在整数，使成立．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由，得，根据，得，可判断①正确；由，得同号，可判断②错误；由，则可得或，当时，，当时，3，可判断③错误；若，可得，由y为整数，知x不是整数，可判断④错误．
【详解】解：若，则，即，
∵存在实数x使成立，
∴有实数根，即，
∴，
解得，故①正确，符合题意；
若，
∴，
∴同号，
∴或，故②错误，不符合题意；
若；
∴，
∴或，
当时，，
当时，3，
∴③错误，不符合题意；
若 ，则，
∴，
∴ ，
∴，
即，
若y为整数，则x不是整数，
∴不存在整数x、y，使成立，故④错误，不符合题意；
∴正确的有①，共1个；
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．将方程配方成的形式，则 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程．利用配方法解答，即可求解．
【详解】解：，
移项得，
配方得：，
即，
∴，
∴．
故答案为：9
12．若定义，那么满足的x值为 ．
【答案】或3
【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，根据新运算的法则，列出一元二次方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴；
故答案为：或3．
13．已知为方程的根，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．根据一元二次方程的解的定义得到，然后对原式进行化简，再将整体代入即可．
【详解】解：∵a为方程的根，
∴，
∵
，
将代入，则
原式
，
故答案为：．
14．已知，是关于的方程的两个实数根，且满足，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是根据已知条件对足进行变形．根据根与系数的关系得到，，由，得到，从而得到，解得或，然后判断方程的根的情况即可．
【详解】解：，是关于的方程的两个实数根，
，，
，
，
，
，
解得：或，
当时方程为，则，
当时方程为，则，
，
故答案为：．
15．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解题目中的数量关系，设道路的宽为，由此列式求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：设道路的宽为，
∴，整理得，，
∴，
解得，，（不符合题意，舍去），
∴道路的宽为，
故答案为：2 ．
16．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】先利用得到，代入得到化为，然后解方程得，从而得到的值．
【详解】解：，
,
解得，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题10分）解下列方程
(1)（x﹣1）2＝4；
(2)x2﹣4x+2＝0；（配方法）
(3)（x+1）（x﹣2）＝x+1；
(4)2x2+3x﹣1=0 （公式法）
【答案】(1)x1＝3，x2＝﹣1
(2)x1＝2+，x2＝2﹣
(3)x1＝﹣1，x2＝3
(4)x1＝，x2＝
【分析】（1）直接开平方，可得出两个一元一次方程，分别求出解即可；
（2）移项，配方，开方，即可得到两个一元一次方程，分别求出解即可；
（3）移项后分解因式，即可得到两个一元一次方程，分别求出解即可；
（4）求出b2－4ac的值，然后代入公式即可求解；
【详解】（1）解：∵（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
则x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x2-4x+2=0
移项得：x2﹣4x＝-2
x2﹣4x+4＝-2+4
（x﹣2）2＝2，
x﹣2=±
则x1＝2+，x2＝2﹣；
（3）∵（x+1）（x﹣2）＝x+1，
∴（x+1）（x﹣2﹣1）＝0，
则x+1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3；
（4）2x2+3x﹣1=0
解：a＝2，b＝3，c＝-1，
则△＝32﹣4×2×(-1)＝17，
∴x＝＝．
即x1＝，x2＝．
18．（本题9分）阅读下面材料：
小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是将x2-1视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，
解此方程，得．
当时，，，∴．
当时，，∴．
∴原方程的解为．
以上解题方法就叫换元法．
请利用换元法解决以下问题：
(1)直接写出方程的根为___________；
(2)利用换元法解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用换元法解方程即可；
（2）利用换元法解方程即可．
【详解】（1）解：设，则方程化为：，
解得：；
当时，，此方程无解；
当时，，解得：；
故答案为：；
（2）设，则，原方程化为
解得，
当时，无意义，舍去；
当时，，解得；
所以原方程的解为；
19．（本题9分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【答案】（1）进馆人次的月平均增长率为．（2）校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与比较大小即可．
【详解】（1）设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得：
化简得：
，
或（舍）
答：进馆人次的月平均增长率为．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为，
第四个月的进馆人次为：
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
20．（本题10分）关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值；
(3)若方程的两个实数根为，且，求此时的值．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据，解不等式即可得出答案；
（2）求出的值为6，解方程求出，代入方程求出的值即可；
（3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合题意求解即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：∵是符合条件的最大整数，
∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，解得；
当时，，解得，
∵，
∴，
∴的值为．
（3）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵；
∴的值为．
21．（本题10分）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
(1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；
(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
(3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
【答案】(1)，
(2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元；
(3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答；
（3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答．
【详解】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，．
（2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵需要让利于顾客，
∴．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
（3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元．
22．（本题12分）
【综合与实践】某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
【探究发现】
【猜想结论】
如果，那么存在（当且仅当时，等号成立）．
【证明结论】（补全横线上的说理过程）
因为，
所以①当且仅当，即时，
，所以；
②当，即时，______．
综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）．
【应用结论】
（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
【拓展应用】（3）如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为米，求为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？
【答案】【证明结论】见解析；【应用结论】（1）当时，函数的值最小，最小值是2；（2）当时，函数的值最小，最小值是7；【拓展应用】（3）米，米
【分析】本题考查了完全平方公式、算术平方根、利用平方根解方程、解分式方程等知识点，熟练掌握完全平方公式和算术平方根是解题关键，规律的总结和应用，能够结合实际问题熟练应用规律是解决本题的关键．
证明结论：根据题目中思路解答即可；
应用结论：（1）根据题目中给的结论将函数式进行变式，即可求出最小值；
（2）先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，求出最值；
（3）由题意得：篱笆的总长度为米，先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，求出最值，可求出钢丝网的最短长度．
【详解】解：证明结论：，所以．
应用结论：
（1）根据结论可知，
所以函数的最小值为2，
此时，
解得：或（舍去），
所以，当时，函数的值最小，最小值是2．
（2）根据结论可知，
所以函数的最小值为7，
此时，，解得，或4（舍去），
所以当时，函数的值最小，最小值是7．
（3）由题意得：篱笆的总长度为米．
因为，
所以蓠笆总长度最短为米，
此时，，
所以，
答：为米时，所用篱笆总长度最短，最短长度为米．
23．（本题12分）请阅读以下材料：
①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）．
②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请解决下列问题：
(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程）
【答案】(1)是，理由见解析
(2)2
(3)或
【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键．
（1）解该一元二次方程，得出，再根据“限根方程”的定义判断即可；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；
（3）解该一元二次方程，得出或．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：，
，
∴或，
∴．
∵，，
∴此方程为“限根方程”；
（2）解：∵方程的两个根分比为，
∴， ．
∵，
∴，
解得：，．
分类讨论：①当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程是“限根方程”，
∴符合题意；
②当时，原方程为，
∴，，
∴，，
∴此时方程不是“限根方程”，
∴不符合题意．
综上可知k的值为2；
（3）解：，
，
∴或，
∴或．
∵此方程为“限根方程”，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
∴，即，
∴且．
分类讨论：①当时，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②当时，
∴，
∵，
∴，
解得：．
综上所述，m的取值范围为或．
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第二十一章 一元二次方程（单元重点综合测试）
（考试时间：120分钟；满分：120分）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（ ）
A． B．2 C．2或 D．4或
2．若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（ ）
A．5 B．3 C． D．
3．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
4．把方程化成的形式，则的值是（ ）
A．9 B．13 C． D．
5．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
6．关于x的一元二次方程（k为常数）的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定根的情况
7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．14 B．10 C．13 D．16
8．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．对于多项式记为，即；若令，，即；下面几个结论正确的个数有（ ）个．
（1）存在实数x使成立，则k的取值范围是；
（2）若，则；
（3）若，则或；
（4）存在整数，使成立．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．将方程配方成的形式，则 ．
12．若定义，那么满足的x值为 ．
13．已知为方程的根，那么的值为 ．
14．已知，是关于的方程的两个实数根，且满足，则的值为 ．
15．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为 ．
16．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题10分）解下列方程
(1) ； (2) （配方法）；
(3) ； (4) （公式法）
18．（本题9分）阅读下面材料：
小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是将x2-1视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，
解此方程，得．
当时，，，∴．
当时，，∴．
∴原方程的解为．
以上解题方法就叫换元法．
请利用换元法解决以下问题：
(1)直接写出方程的根为___________；
(2)利用换元法解方程：．
19．（本题9分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
20．（本题10分）关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值；
(3)若方程的两个实数根为，且，求此时的值．
21．（本题10分）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
(1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；
(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
(3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
22．（本题12分）
【综合与实践】某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
【探究发现】
【猜想结论】
如果，那么存在（当且仅当时，等号成立）．
【证明结论】（补全横线上的说理过程）
因为，
所以①当且仅当，即时，
，所以；
②当，即时，______．
综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）．
【应用结论】
（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
【拓展应用】（3）如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为米，求为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？
23．（本题12分）请阅读以下材料：
①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）．
②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请解决下列问题：
(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程）
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