2023-2024学年湖南省益阳市高一（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年湖南省益阳市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，在其定义域上是减函数的是( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.的值是( )
A. B. C. D.
5.已知：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则它的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
8.若，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则( )
A. B. C. D.
10.下列等式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
11.已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则下列说法正确的是( )
A. B. 是奇函数
C. D. 是周期为的周期函数
12.已知函数，则( )
A. ，
B. ，
C. ，则
D. ，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则 ______．
14.已知，则______．
15.若是锐角，，则 ______．
16.已知函数，，的零点分别为，，，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知全集，集合，．
求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，．
若，求使的的取值范围；
当时，设，求在区间上的最小值．
19.本小题分
已知函数的部分图象如下图所示，根据图中信息解答下列问题．
求函数的最小正周期；
写出函数的单调递减区间；
求函数的解析式．
20.本小题分
已知函数．
求的值；
若，求的值域；
若关于的方程有三个连续的实数根，，，且，，求的值．
21.本小题分
医生将一瓶含量的药在内匀速注射到患者的血液中称为药的一次注射在注射期间，患者血液中药的注入量与注射用时的关系是，当时，血液中的药注入量达到，此后，注入血液中的药以每小时的速度减少．
求的值；
患者完成药的首次注射后，血液中药含量不低于的时间可以维持多少？精确到
患者首次注射后，血液中药含量减少到时，立即进行第二次注射，首次注射的药剩余量继续以每小时的速度减少，已知注射期间能保持患者血液中的药含量不低于，那么，经过两次注射，患者血液中药的含量不低于的时间是否可以维持？参考数据：，，
22.本小题分
已知函数，其中，且为奇函数．
求的值；
若，，，求集合；
若函数，讨论函数为常数的零点个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：因为全集，集合，
所以或；
因为，所以，
故实数的取值范围是．
18.解：当时，，可得，
即，
解得，
所以满足条件的的取值范围是；
因为，所以，
所以当时，，
当且仅当，即时取等号，
所以．
19.解：由图可知：，
所以函数的最小正周期；
由图可知，函数的单调递减区间为：；
由图可知；
又，又，故 ；
由图象过点得：，，
又，故，
于是函数的解析式为．
20.解：，
；
，设，则，
在上单调递增，在上单调递减，
且，，则，
的值域为；
如图，
的周期为，
由题意可知：，代入得：．
由，，可得，．
由，，代入，解得，．
，，
当，时，，；
当，时，，．
故的值为．
21.解：依题意，，解得，所以的值为．
血液中的药含量达到后，经过小时患者血液中药含量为．
由，得，两边取对数得：，
解得，
所以患者完成药的首次注射后，血液中药含量不低于的时间可以维持．
设第一次注射开始后经过患者血液中药的含量为，即，
记第二次注射完成后患者血液中药的含量为，其中为第一次注射开始后经过的时间，
则
，
由，得，即，两边取对数得：
，解得，又，
所以经过两次注射后，患者血液中药的含量不低于的时间可以维持．
22.解：因为函数为奇函数，
，
，
解得，
又，，
经检验，符合题意；
由得，则，
由，因函数为奇函数，
，
即为奇函数，
又，
因在上单调递减且为正数，
又在定义域内为增函数，
则在上单调递减，
故在上单调递减，
由，
，解得：，
故集合；
，且，
，且，
令，
当时，有，
，
由得，即
当时，方程在无实数解，
当时，由得，
由，
解得，
即当时，，
而当时，，
所以当或或时，函数在只有一个零点，
当且时，
函数在有两个零点：和，
当时，有，，
当时，函数在没有零点，
当时，，
由得或，
所以当或时，函数在有一个零点，
当时，函数在没有零点，
综上所述，当时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点．
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