2023-2024学年福建省福州市金山中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省福州市金山中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，，则在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在中，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
4.如图所示，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为的正方形，则原四边形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知正方体的棱长为，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面面积是( )
A. B. C. D.
6.已知不共线的向量、，若向量与共线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，若，则的值为( )
A. B.
C. D.
8.桂林日月塔又称金塔银塔、情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称如图，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的，两点处进行测量，如图已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，，则该塔的高度( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数的虚部不为零，同时满足，则( )
A. B. 为纯虚数
C. 在复平面内对应的点在实轴上 D. 的最大值为
10.已知、、是任意的非零向量，则下列结论正确的是( )
A. 非零向量、，满足且与同向，则
B.
C. 若，则不与垂直
D.
11.在中，内角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若是锐角三角形，恒成立
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，，则是等边三角形
12.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的是( )
A. 该圆台轴截面面积为
B. 该圆台的体积为
C. 该圆台的表面积为
D. 沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若是实系数方程的一个根，则______．
14.如图为了测量，两点间的距离，选取同一平面上，两点，测出四边形的各边的长度单位：：，如图所示，且、、、四点共圆，则的长为 ．
15.已知一个正四棱锥的底面边长为，高为，则该正四棱锥的表面积为______．
16.已知梯形中，，，，，点，在线段上移动，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆柱高为，母线与侧面展开图的对角线成角，求该圆柱的体积．
18.本小题分
若复数，复数．
若，求实数的值；
若，求．
19.本小题分
已知向量，．
若，求与夹角的正弦值；
若，求向量的坐标．
20.本小题分
已知中，内角，，所对边分别为，，，若．
求角的大小；
若，求的取值范围．
21.本小题分
已知在圆锥中，底面的直径，的面积为．
求圆锥的表面积；
一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间．
22.本小题分
如图，在中，已知，，，边上的中点为，边上的中点为，，相交于点．
求；
求与夹角的余弦值；
过点作直线交边，于点，，求该直线将分成的上下两部分图形的面积之比的取值范围．
参考答案
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17.解：设圆柱的底面半径为，则侧面展开图是一个长为，宽为的矩形，
依题意，即，
所以该圆柱的体积为：．
18.解：由已知，则，解得．
当时，．
19.解：因为，，所以，
又，所以，即，所以，
设与夹角为，则，又，
所以，即与夹角的正弦值为；
设，因为，则，
又，所以，解得
或，所以或．
20.解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
由，，
可得：，
又，
，即，
又，
的周长的范围为．
21.解：设圆锥的母线长为，底面的直径为，所以，
因为的面积为，所以，解得，
由勾股定理，可得母线，
由圆锥的表面积公式有：；
如图所示，作出圆锥的轴截面，球与圆锥侧面相切，设球心为，
则于，其中为球的半径，
则∽，可得：：，即，解得，
所以球的体积，圆锥的体积，
圆锥体剩余的空间体积为．
22.解：在中，且，，由余弦定理得，解得，负根舍去，故．
以为原点，建立平面直角坐标系，易知，，
如图所示：
设，由两点间距离公式得，解得，，负根舍去，
故，由中点坐标公式得，，
故，，设与的夹角为，
故．
易知由于边上的中点为，边上的中点为，而是两条中线的交点，故是的重心，所以，
设，，，
由于在直线上，所以，即，
而，，所以，，
故得，
所以，，
故得；
所以上下两部分的面积之比为，
因为，所以上下两部分的面积之比的取值范围是．
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