2024-2025学年广东省河源市紫金县佑文中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省河源市紫金县佑文中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，全集为，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数，为虚数单位，则为( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，已知等于( )
A.
B.
C.
D.
5.设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
6.已知内角，，所对边的长分别为，，，，则形状一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
7.已知，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.的内角，，的对边分别为，，，且，，，则下列命题成立的是( )
A. ：：：：
B. ：：：：
C. 最大内角是最小内角的倍
D. 为直角三角形
10.某社团开展“建党周年主题活动学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则( )
A. 两人均获得满分的概率 B. 两人至少一人获得满分的概率
C. 两人恰好只有甲获得满分的概率 D. 两人至多一人获得满分的概率
11.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则( )
A. 平面
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 平面与平面的夹角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是______．
14.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度约等于______用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：，，，，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设的三个角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，求的面积．
16.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式．
求函数的单调区间．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，分别为，，的中点，点在上，且．
求证：平面；
求证：平面．
18.本小题分
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
求样本成绩的第百分位数；
已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．
19.本小题分
已知函数
若不等式的解集为，求的取值范围；
解关于的不等式；
若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
参考答案
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15.解：因为，由正弦定理可得，
又为三角形内角，，
所以，即，
又，
所以；
因为，，
由余弦定理，可得，即，解得或舍去，
所以的面积．
16.解：由函数的部分图象知，，，所以，
又因为，所以，；
解得，；
又因为，所以，
所以
令，；
解得，；
所以函数的单调增区间为，．
令，；
解得，；
所以函数的单调减区间为，．
17.证明：，分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面；
，为的中点，
，
侧面底面，侧面底面，
侧面，
，
，
，
，，
平面．
18.解：每组小矩形的面积之和为，
，
．
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第百分位数为，
由，得，故第百分位数为；
由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故．
所以两组市民成绩的总平均数是，
，
所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是．
19.解：当即时，，不合题意； 分
当即时，，即，分
，
分
即
即
当即时，解集为分
当即时，，
，
解集为或分
当即时，，
，
解集为分
，即，
恒成立，
分
设，则，，
，
，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
当时，，
分
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