2024-2025学年广东省广州大学附中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州大学附中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知是方程的根，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，，则( )
A.
B. 的图象向左平移个单位长度后关于轴对称
C. 在上单调递减
D.
6.在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过个小时才会“药物失效”参考数据：
A. B. C. D.
7.已知圆台的体积为，母线长为，高为，则圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
8.已知为的内心，角为锐角，，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
10.如图，已知棱长为的正方体中，点在线段上运动，现给出下列结论：则正确的选项为( )
A. 直线与直线所成角的大小不变
B. 平面平面
C. 点到平面的距离为定值
D. 存在一点，使得直线与平面所成角为
11.一个同学投掷次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中可能出现点数的有( )
A. 平均数为，中位数为 B. 中位数为，众数为
C. 平均数为，方差为 D. 中位数为，方差为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从高三抽出名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这名学生成绩的分位数为______分
13.已知的内角，，的对边分别为，，，是的中线若，且，则面积的最大值为______．
14.设函数的定义域关于原点对称且满足：
；
(ⅱ)存在正常数使．
则函数的一个周期是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象过，两点，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象．
求函数的解析式；
若函数，求函数的单调区间．
16.本小题分
已知斜三角形．
借助正切和角公式证明：．
并充分利用你所证结论，在中选择一个求值：
，
；
若，求的最小值．
17.本小题分
如图，在平行四边形中，，垂足为为中点，
若，求的长；
设，，，，求的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，．
证明：平面；
当二面角的正切值为时，求直线与平面所成角的大小．
19.本小题分
已知有序数对：，有序数对：，定义“变换”：，，，可以将有序数对转化为有序数对．
对于有序数对：，不断进行“变换”，能得到有序数对吗？请说明理由．
设有序数对：经过一次“变换”得到有序数对：，且有序数对的三项之和为，求的值．
在的条件下，若有序数对经过次“变换”得到的有序数对的三项之和最小，求的最小值．
参考答案
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15.解：因为函数的图象过，两点，
所以，，即，，
解得，
因为，所以，
则，
所以，即，
又，所以，
所以，
将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，
再将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
故．
由题可知，则，
所以，
当，时，单调递增，
当，时，单调递减，
所以的单调递增区间为，，
单调递减区间为，．
16.解：证明：，
，
，
，
；
；
；
，且，，
，
，解得，
的最小值为．
17.解：，是在方向上的投影向量，
，即．
在中，，
，，
，所以，，，，
以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建系如图：
易知，，，，因为为中点，
，
，，，
，，
，解得，所以．
18.解：在中，由余弦定理得，
显然，则，即，
由，，，
得≌，则，即，
又，，平面，
所以平面；
取中点，连接，，
如图，
由，，则，，
即为二面角的平面角，
由知，平面，平面，则，，
于是，，
而，
，，，
于是，又，，，平面，
因此平面，又，
则平面，
过作于点，平面，于是，
而，，平面，
则平面，
因此直线与平面夹角即为，
在中，，，
且，则，
所以直线与平面夹角为．
19.解：对于有序数对：，不断进行“变换”，
得到的有序数对分别为，，，，，，
以下重复出现，所以不能得到有序数对．
易知，，，
因为有序数对的三项之和为，且，
所以，，
所以，故最大，
即或．
当时，可得，
由，得，即，所以，
故．
当时，可得，
由，得，即，所以，
故．
综上，．
有序数对：，将有序数对经过次“变换”得到的有序数对分别为：
，，，，，，
由此可见，经过次“变换”后得到的有序数对也是形如的有序数对，
与有序数对“结构”完全相同，但最大项减小，
因为，
所以将有序数对经过次“变换”后得到的有序数对为．
接下来经过“变换”后得到的有序数对分别为，，，，，，
从以上分析可知，以后数对循环出现，所以有序数对各项之和不会更小，
所以当时，经过次“变换”得到的有序数对的三项之和均最小，为，
所以的最小值为．
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