2024-2025学年山东省滨州市北镇中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省滨州市北镇中学高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知向量分别是直线，的一个方向向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知圆关于直线对称，则实数( )
A. B. C. D.
4.在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.已知棱长为的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.若圆上恰有三点到直线的距离为，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
7.已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知点在直线上，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，点在圆：上，则点到直线距离的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中正确的命题是( )
A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面
C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D. 已知向量，，则在上的投影向量为
10.下列四个选项中，说法错误的是( )
A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B. 直线与直线互相平行，则
C. 过，两点的所有直线的方程为
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为．
11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯约公元前前发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线：，则( )
A. 直线过定点
B. 动点的轨迹方程为
C. 动点到直线的距离的最大值为
D. 若点的坐标为，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，平行六面体各条棱长均为，，，则线段的长度为______．
13.当直线：被圆：截得的弦长最短时，实数的值为______．
14.已知点为直线：上的动点，过点作圆：的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点，，，设，．
已知，求的值；
若，且，求的坐标．
16.本小题分
已知两直线：，：．
求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
已知两点，，动点在直线上运动，求的最小值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且．
求圆的标准方程；
若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程．
19.本小题分
已知两个定点，，动点满足设动点的轨迹为曲线，直线：．
Ⅰ求曲线的轨迹方程；
Ⅱ若与曲线交于不同的，两点，且为坐标原点，求直线的斜率；
Ⅲ若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线，，切点为，，探究：直线是否过定点．
参考答案
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15.解：空间中三点，，，
设，，
由题知，，
，
，，
解得．
，，
，
，，解得，
或．
16.解：联立，解得，，
因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为，
故所求直线方程为，即；
设点关于直线对称的点为，
，解得，
则，
故的最小值为．
17.证明：因为，分别为，的中点，
所以，
又平面，平面，
故平面；
解：由于，，，，平面，
所以平面，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
故，
，，，
所以，，
设直线与平面所成角为，
所以，，
故直线与平面所成角的正弦值为；
因为，
又平面的法向量为，
所以点到平面的距离为．
18.解：设圆心，，
由于，所以，所以，
即圆心的坐标为，则圆的方程为；
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
圆心到直线的距离，此时满足直线和圆相切；
若直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，
即，
因为直线和圆相切，
所以圆心到直线的距离，
即，平方得，
即，此时直线的方程为，即，
所以直线的方程为或；
如图所示，圆关于轴的对称方程是，
设的方程为，即，由于对称圆心到的距离为圆的半径，
则，
从而可得，故光线所在直线的方程是或．
19.解：设点坐标为，
由，得：，
平方可得，
整理得：曲线的轨迹方程为；
直线的方程为，
依题意可得三角形为等腰直角三角形，
圆心到直线的距离为，
则，
；
由题意可知：，，，四点共圆且在以为直径的圆上，
设，
以为直径的圆的方程为，
即：，
又，在曲线：上，
可得的方程为，
即，由得，
直线过定点．
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