2024-2025学年湖北省襄阳五中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省襄阳五中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数( )
A. B. C. D.
3.平行六面体中，底面为正方形，，，为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
4.有张相同的卡片，分别标有数字，，，，从中有放回地随机取两次，每次取张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为”，则( )
A. 与为相互独立事件 B. 与为互斥事件
C. 与为相互独立事件 D. 与为对立事件
5.构造法是数学中一种常见的解题方法，请结合三角形的正、余弦定理，构造出恰当的图形解决问题：( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，，为上一点，且，若，，则的值为( )
A. B.
C. D.
7.已知在钝角中，是钝角，，点是边上一点，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.排球比赛一般采用五局三胜制，第一局比赛用抽签的方式，等可能地决定首先发球的球队，在每局比赛中，发球方赢得此球后可获得下一球的发球权，否则交换发球权甲、乙两队进行排球比赛，若甲队发球，则甲队赢得此球的概率为，若乙队发球，则甲队赢得此球的概率为则在第一局比赛中，甲队获得第三个球的发球权的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从某校随机抽取名学生参加某项知识测试，得分十分制如图所示，则下列选项错误的是( )
A. 这名学生测试得分的中位数为 B. 这名学生测试得分的众数与中位数相等
C. 这名学生测试得分的极差为 D. 这名学生测试得分的平均数比中位数大
10.不透明盒子里装有除颜色外完全相同的个黑球、个白球，现从盒子里随机取出个小球，记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件“两个球中至多一个黑球”，事件“两个球均为白球”，则( )
A. B. C. D.
11.已知棱长为的正方体，点是中点，点在上，满足，则下列表述正确的是( )
A. 时，平面
B. 时，平面平面
C. 任意，三棱锥的体积为定值
D. 过点，，的平面分别交，于，，则的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若点关于平面的对称点为，则，两点间的距离为______．
13.抛两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为，，则，，能够构成三角形三边长的概率为______．
14.如图，在平面四边形中，，，，，若，则四边形的面积为______；若的大小可变化，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求的大小；
若面积为，外接圆面积为，求周长．
16.本小题分
近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式某直播平台有个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取个直播商家进行问询交流．
应抽取小吃类商家多少家？
在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的个商家的平均日利润进行了统计单位：元，所得频率直方图如图所示．
估计该直播平台商家平均日利润的第百分位数；
若将平均日利润超过元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．
17.本小题分
如图，以棱长为的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在线段上，点在线段上．
当，且点关于轴的对称点为点时，求的长度；
当点是面对角线的中点，点在面对角线上运动时，探究的最小值．
18.本小题分
目前羽毛球混双世界排名第一，第三，第四分别是中国的“雅思组合”，韩国的“肉丁组合”，中国的“凤凰组合”据统计，每场比赛“雅思组合”战胜“肉丁组合”的概率为，“凤凰组合”战胜“肉丁组合”的概率为，同一赛事的每场比赛结果互不影响已知三个组合参加单循环赛参加比赛的组合均能相遇一次，“雅思组合”，“凤凰组合”同时战胜“肉丁组合”的概率为，有一个组合战胜“肉丁组合”的概率为．
求和的值；
三个组合参加双循环赛参加比赛的组合均能相遇两次，求“雅思组合”比“凤凰组合”战胜“肉丁组合”的次数多的概率．
19.本小题分
刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且．
证明：平面；
若，求二面角的余弦值；
表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：利用此定理试证明：简单多面体的总曲率多面体有顶点的曲率之和是常数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：利用正弦定理得，
，
，
，
．
由，得，
，
解得．
，
，
又，所以，
故，
所以周长．
16.解：根据分层抽样知：
应抽取小吃类家，
应抽取小吃类家；
根据题意可得，
解得，
设百分位数为，，
，
解得，
该直播平台商家平均日利润的百分位数为元；
，
估计该直播平台“优秀商家”的个数为．
17.解：以棱长为的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
点在线段上，点在线段上．
由题意知点，，，，
当时，，，
．
当点是面对角线中点时，点，
点在面对角线上运动，设点，，
则，
当时，取得最小值为，此时点
18.解：设事件“雅思组合、凤凰组合均战胜肉丁组合”，
“雅思组合与凤凰组合只有一个组合战胜肉丁组合”，
由于每场比赛结果互不影响，所以，
，
由题意可得，解得或，
因为，所以；
设事件“雅思组合胜肉丁组合场”，
事件“凤凰组合胜肉丁组合场”，，，，
事件“雅思组合比凤凰组合战胜肉丁组合的次数多”，
所以，
，
所以，
，
所以“雅思组合”比“凤凰组合”战胜“肉丁组合”的次数多的概率．
19.解：证明：因为在直三棱柱中，平面，，平面，
所以，，
所以点的曲率为，得，
因为，所以为等边三角形，
因为为的中点，
所以，因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面；
取的中点，连接，，
因为为等边三角形，所以，
因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面平面，
因为平面平面，平面，
所以平面，
因为，平面，所以，，
设，则，，，
所以，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
所以为二面角的平面角，
因为，，
所以在中；
所以二面角的余弦值为；
证明：设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为，，，号，
设第号多边形有条边，
则多面体共有条棱，
由题意，多面体共有个顶点，
号多边形的内角之和为，
所以所有多边形的内角之和为，
所以多面体的总曲率为
．
所以简单多面体的总曲率为．
第1页，共1页