选择必修 第二章 2.4.2 圆的一般方程 课件(共26张PPT)
文档属性
| 名称 | 选择必修 第二章 2.4.2 圆的一般方程 课件(共26张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-20 12:28:21 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
选择必修
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解圆的一般方程及其特点，掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件． 1.数学抽象素养和数学建模素养.
2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化. 2.逻辑推理素养、直观想象素养和数学运算素养.
3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题. 3.逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算素养.
温故知新
1.圆的标准方程
判断方法：
待定系数法：
.
2.点与圆的位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
几何法，
代数法.
3.求圆的标准方程
联立方程，求圆心和半径.
几何法：
寻找几何关系，求圆心和半径.
圆心在原点的圆的标准方程
.
新知探究
我们知道 , 方程(x-1)2+(y+2) 2=4表示以(1, -2)为圆心 , 2为半径的圆.可以将此方程变形为
例如 , 对于方程x2+y2-2x-4y+6=0, 对其进行配方 , 得到(x-1)2+(y-2) 2=-1,显然任意一个点的坐标(x, y)都不满足这个方程 , 所以这个方程不表示任何图形 .
所以，形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程. 这表明，形如x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定是圆的方程.
x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0.
一般地 , 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2可以变形为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的形式.
反过来，形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗
新知探究
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 ⑵的左边配方，并把常数项移到右边，得
. ①
⑵当D2+E2-4F=0时，方程⑵只有实数解x=,y=,它表示一个点 ()；
⑴当D2+E2-4F>0时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程⑵表示以()为圆心，为半径的圆；
方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 中的 D， E， F 满足什么条件时，这个方程表示圆？
⑶当D2+E2-4F<0时，方程⑵没有实数解，它不表示任何图形.
新知探究
当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆.我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程(general equation of circle).
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（D2 + E2 – 4F > 0）
圆的一般方程突出了代数结构:
⑴ x2和y2系数相同，且都不等于0;
⑵没有xy这样的二次项；
⑶当 D2+E2-4F>0 时，方程才表示一个圆.
新知探究
圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？
圆的标准方程与圆的一般方程的特点
圆的标准方程 圆的一般方程
方程 (x－a)2 + (y－b)2 = r2 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
（D2 + E2 – 4F > 0）
圆心
半径长
特点
① 易于看出圆心与半径；
② 方程几何特征明显.
① 特殊的二元二次方程；
② 方程代数特征明显.
(a，b)
(，)
r
知新探究
【例1】判断下列二元二次方程是否表示圆．若是，请求出圆的圆心坐标及半径．
⑴x2＋y2－4x＝0； ⑵x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0；
⑶x2＋y2＋2mx－n2＝0； ⑷x2+y2+20x+256=0.
解：
⑴方法1：方程x2＋y2－4x＝0可变形为(x-2)2+y2=22 ,
∴方程x2＋y2－4x＝0表示圆心坐标是(2,0),半径是2的圆.
,2,
∴方程x2＋y2－4x＝0表示圆心坐标是(2,0),半径是2的圆.
方法2：∵D2+E2-4F=(-4)2+02-4×0=16>0,
知新探究
【例1】判断下列二元二次方程是否表示圆．若是，请求出圆的圆心坐标及半径．
⑴x2＋y2－4x＝0； ⑵x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0；
⑶x2＋y2＋2mx－n2＝0； ⑷x2+y2+20x+256=0.
解：
⑵方法1：方程x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0可变形为,
当a＝0时，方程表示点(0,0)；
当a≠0时，方程表示圆心坐标是(2a，a)，半径是|a|的圆.
当a≠0时，方程表示圆心坐标是(2a，a)，半径是|a|的圆.
方法2：∵D2+E2-4F=,,
当a＝0时，方程表示点(0,0)；
知新探究
【例1】判断下列二元二次方程是否表示圆．若是，请求出圆的圆心坐标及半径．
⑴x2＋y2－4x＝0； ⑵x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0；
⑶x2＋y2＋2mx－n2＝0； ⑷x2+y2+20x+256=0.
解：
⑶方法1:方程x2＋y2＋2mx－n2＝0可变形为(x＋m)2＋y2＝m2＋n2,
当m2＋n2＝0时，方程表示点(0,0)；
当m2＋n2≠0时，方程表示圆心坐标是(-m,0)，半径是的圆.
当m2＋n2≠0时，方程表示圆心坐标是(-m,0)，半径是的圆.
方法2：∵D2+E2-4F=,,
当m2＋n2＝0时，方程表示点(0,0)；
知新探究
【例1】判断下列二元二次方程是否表示圆．若是，请求出圆的圆心坐标及半径．
⑴x2＋y2－4x＝0； ⑵x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0；
⑶x2＋y2＋2mx－n2＝0； ⑷x2+y2+20x+256=0.
解：
⑷方法1:方程x2+y2+20x+256=0可变形为(x＋10)2＋y2＝-156<0,
∴方程x2+y2+20x+256=0不表示任何图形．
∴方程x2+y2+20x+256=0不表示任何图形．
方法2：∵D2+E2-4F=202+02-4×256=-624<0,
初试身手
1.判断方程x2 + y2 – 4mx + 2my + 20m – 20 = 0能否表示圆. 若能表示圆，求出圆心和半径.
解：
方法1：∵原方程可化为(x – 2m)2 + (y + m)2 = 5(m – 2)2，
当m = 2时，它表示点(4,-2);
方法2：∵D2+E2-4F=(-4m)2+(2m)2-4(20m-20)=20(m-2)2,,
当m ≠ 2时，此方程表示圆心坐标是(2m,-m),半径是|m-2|的圆.
当m = 2时，它表示点(4,-2);
当m ≠ 2时，此方程表示圆心坐标是(2m,-m),半径是|m-2|的圆.
知新探究
【例2】求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心的坐标.
解：
设所求圆的方程是 x2 +y2+Dx+Ey+F=0 ①
因为O , M1 , M2 都在圆上 , 它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①可以得到关于D, E , F的一个三元一次方程组
,
分析：将点O，M1，M2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.
解得,
∴所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0.
由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标为(4, -3)，
半径=5.
与上节例题比较，你有什么体会？
新知探究
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.
如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,
一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出系数D,E,F.
知新探究
求圆的方程常用的待定系数法，其大致步骤是：
⑴根据题意, 选择标准方程或一般方程；
⑵根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组；
⑶解出 a，b，r 或 D，E，F 得到标准方程或一般方程.
初试身手
设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，P(1,1)，O(0,0)在圆上，
又圆心()在直线2x＋3y＋1＝0上，
由①②③解得，
2.求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的一般方程．
∴圆的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
∴.
∴.
即2D+3E-2=0. ③
解：
知新探究
【例3】已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x + 1)2 +y2 = 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：
设点M的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，
于是有
由于点B坐标为(4，3)，M线段AB的中点，所以
x= ，y= ，
分析：如图，点A的运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，即点A的坐标满足圆的方程(x+1)2 +y2 =4；建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，从而求出点M的轨迹方程.
x
y
o
B
A
M
x0 =2x – 4，y0 =2y – 3 ①
点M的轨迹方程是指点M的坐标(x , y)满足的关系式 .
轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形 . 在解析几
何中 , 我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.
.
知新探究
【例3】已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x + 1)2 +y2 = 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：
因为点A在圆(x + 1)2 +y2 =4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即(x0 +1)2 +y02 =4 ②，
(2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4，
由于点B坐标为(4，3)，M线段AB的中点，所以
把①代入②，得
x
y
o
B
A
M
整理，得
(x – )2 + (y – )2 = 1.
x0 =2x – 4，y0 =2y – 3 ①
这就是点M的轨迹方程，它表示以(, )为圆心，半径为1的圆.
知新探究
相关点法求曲线轨迹方程
1.设动点P坐标为( ， )(求谁设谁)，与其相关的动点Q坐标设为(x0，y0)；
2.找出P(x，y)和Q(x0，y0)之间的关系，用动点坐标把相关点的坐标表示出来；
3.把相关点的坐标代入已知的轨迹方程；
O
x
y
B (4，3)
A (x0，y0)
M (x，y)
4.化简整理，得到动点的轨迹方程.
初试身手
解：
以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图),
则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC的中点为D(x0，y0)，连接AD，
化简整理得 (x＋6)2＋y2＝36．
∴ , ①
3.已知△ABC的边AB的长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
∵|AD|＝3，
∴[x0－(－2)]2＋(y0－0)2＝9.②
将①代入②，得
，
初试身手
解：
∵点C不能在x轴上,
∴y≠0,
∴点C的轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
∴点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉
(－12,0)和(0,0)两点．
3.已知△ABC的边AB的长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
课堂小结
1.圆的一般方程
2.用待定系数法求圆的方程的步骤
3.相关点法求曲线轨迹方程的步骤
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（D2 + E2 – 4F > 0）
作业布置
作业： P88 练习 第1⑴，2⑴,⑶，3题
P88-89 习题2.4 第4，7,8题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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选择必修
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解圆的一般方程及其特点，掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件． 1.数学抽象素养和数学建模素养.
2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化. 2.逻辑推理素养、直观想象素养和数学运算素养.
3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题. 3.逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算素养.
温故知新
1.圆的标准方程
判断方法：
待定系数法：
.
2.点与圆的位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
几何法，
代数法.
3.求圆的标准方程
联立方程，求圆心和半径.
几何法：
寻找几何关系，求圆心和半径.
圆心在原点的圆的标准方程
.
新知探究
我们知道 , 方程(x-1)2+(y+2) 2=4表示以(1, -2)为圆心 , 2为半径的圆.可以将此方程变形为
例如 , 对于方程x2+y2-2x-4y+6=0, 对其进行配方 , 得到(x-1)2+(y-2) 2=-1,显然任意一个点的坐标(x, y)都不满足这个方程 , 所以这个方程不表示任何图形 .
所以，形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程. 这表明，形如x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定是圆的方程.
x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0.
一般地 , 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2可以变形为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的形式.
反过来，形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗
新知探究
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 ⑵的左边配方，并把常数项移到右边，得
. ①
⑵当D2+E2-4F=0时，方程⑵只有实数解x=,y=,它表示一个点 ()；
⑴当D2+E2-4F>0时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程⑵表示以()为圆心，为半径的圆；
方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 中的 D， E， F 满足什么条件时，这个方程表示圆？
⑶当D2+E2-4F<0时，方程⑵没有实数解，它不表示任何图形.
新知探究
当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆.我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程(general equation of circle).
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（D2 + E2 – 4F > 0）
圆的一般方程突出了代数结构:
⑴ x2和y2系数相同，且都不等于0;
⑵没有xy这样的二次项；
⑶当 D2+E2-4F>0 时，方程才表示一个圆.
新知探究
圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？
圆的标准方程与圆的一般方程的特点
圆的标准方程 圆的一般方程
方程 (x－a)2 + (y－b)2 = r2 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
（D2 + E2 – 4F > 0）
圆心
半径长
特点
① 易于看出圆心与半径；
② 方程几何特征明显.
① 特殊的二元二次方程；
② 方程代数特征明显.
(a，b)
(，)
r
知新探究
【例1】判断下列二元二次方程是否表示圆．若是，请求出圆的圆心坐标及半径．
⑴x2＋y2－4x＝0； ⑵x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0；
⑶x2＋y2＋2mx－n2＝0； ⑷x2+y2+20x+256=0.
解：
⑴方法1：方程x2＋y2－4x＝0可变形为(x-2)2+y2=22 ,
∴方程x2＋y2－4x＝0表示圆心坐标是(2,0),半径是2的圆.
,2,
∴方程x2＋y2－4x＝0表示圆心坐标是(2,0),半径是2的圆.
方法2：∵D2+E2-4F=(-4)2+02-4×0=16>0,
知新探究
【例1】判断下列二元二次方程是否表示圆．若是，请求出圆的圆心坐标及半径．
⑴x2＋y2－4x＝0； ⑵x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0；
⑶x2＋y2＋2mx－n2＝0； ⑷x2+y2+20x+256=0.
解：
⑵方法1：方程x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0可变形为,
当a＝0时，方程表示点(0,0)；
当a≠0时，方程表示圆心坐标是(2a，a)，半径是|a|的圆.
当a≠0时，方程表示圆心坐标是(2a，a)，半径是|a|的圆.
方法2：∵D2+E2-4F=,,
当a＝0时，方程表示点(0,0)；
知新探究
【例1】判断下列二元二次方程是否表示圆．若是，请求出圆的圆心坐标及半径．
⑴x2＋y2－4x＝0； ⑵x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0；
⑶x2＋y2＋2mx－n2＝0； ⑷x2+y2+20x+256=0.
解：
⑶方法1:方程x2＋y2＋2mx－n2＝0可变形为(x＋m)2＋y2＝m2＋n2,
当m2＋n2＝0时，方程表示点(0,0)；
当m2＋n2≠0时，方程表示圆心坐标是(-m,0)，半径是的圆.
当m2＋n2≠0时，方程表示圆心坐标是(-m,0)，半径是的圆.
方法2：∵D2+E2-4F=,,
当m2＋n2＝0时，方程表示点(0,0)；
知新探究
【例1】判断下列二元二次方程是否表示圆．若是，请求出圆的圆心坐标及半径．
⑴x2＋y2－4x＝0； ⑵x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0；
⑶x2＋y2＋2mx－n2＝0； ⑷x2+y2+20x+256=0.
解：
⑷方法1:方程x2+y2+20x+256=0可变形为(x＋10)2＋y2＝-156<0,
∴方程x2+y2+20x+256=0不表示任何图形．
∴方程x2+y2+20x+256=0不表示任何图形．
方法2：∵D2+E2-4F=202+02-4×256=-624<0,
初试身手
1.判断方程x2 + y2 – 4mx + 2my + 20m – 20 = 0能否表示圆. 若能表示圆，求出圆心和半径.
解：
方法1：∵原方程可化为(x – 2m)2 + (y + m)2 = 5(m – 2)2，
当m = 2时，它表示点(4,-2);
方法2：∵D2+E2-4F=(-4m)2+(2m)2-4(20m-20)=20(m-2)2,,
当m ≠ 2时，此方程表示圆心坐标是(2m,-m),半径是|m-2|的圆.
当m = 2时，它表示点(4,-2);
当m ≠ 2时，此方程表示圆心坐标是(2m,-m),半径是|m-2|的圆.
知新探究
【例2】求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心的坐标.
解：
设所求圆的方程是 x2 +y2+Dx+Ey+F=0 ①
因为O , M1 , M2 都在圆上 , 它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①可以得到关于D, E , F的一个三元一次方程组
,
分析：将点O，M1，M2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.
解得,
∴所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0.
由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标为(4, -3)，
半径=5.
与上节例题比较，你有什么体会？
新知探究
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.
如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,
一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出系数D,E,F.
知新探究
求圆的方程常用的待定系数法，其大致步骤是：
⑴根据题意, 选择标准方程或一般方程；
⑵根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组；
⑶解出 a，b，r 或 D，E，F 得到标准方程或一般方程.
初试身手
设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，P(1,1)，O(0,0)在圆上，
又圆心()在直线2x＋3y＋1＝0上，
由①②③解得，
2.求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的一般方程．
∴圆的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
∴.
∴.
即2D+3E-2=0. ③
解：
知新探究
【例3】已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x + 1)2 +y2 = 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：
设点M的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，
于是有
由于点B坐标为(4，3)，M线段AB的中点，所以
x= ，y= ，
分析：如图，点A的运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，即点A的坐标满足圆的方程(x+1)2 +y2 =4；建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，从而求出点M的轨迹方程.
x
y
o
B
A
M
x0 =2x – 4，y0 =2y – 3 ①
点M的轨迹方程是指点M的坐标(x , y)满足的关系式 .
轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形 . 在解析几
何中 , 我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.
.
知新探究
【例3】已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x + 1)2 +y2 = 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：
因为点A在圆(x + 1)2 +y2 =4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即(x0 +1)2 +y02 =4 ②，
(2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4，
由于点B坐标为(4，3)，M线段AB的中点，所以
把①代入②，得
x
y
o
B
A
M
整理，得
(x – )2 + (y – )2 = 1.
x0 =2x – 4，y0 =2y – 3 ①
这就是点M的轨迹方程，它表示以(, )为圆心，半径为1的圆.
知新探究
相关点法求曲线轨迹方程
1.设动点P坐标为( ， )(求谁设谁)，与其相关的动点Q坐标设为(x0，y0)；
2.找出P(x，y)和Q(x0，y0)之间的关系，用动点坐标把相关点的坐标表示出来；
3.把相关点的坐标代入已知的轨迹方程；
O
x
y
B (4，3)
A (x0，y0)
M (x，y)
4.化简整理，得到动点的轨迹方程.
初试身手
解：
以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图),
则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC的中点为D(x0，y0)，连接AD，
化简整理得 (x＋6)2＋y2＝36．
∴ , ①
3.已知△ABC的边AB的长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
∵|AD|＝3，
∴[x0－(－2)]2＋(y0－0)2＝9.②
将①代入②，得
，
初试身手
解：
∵点C不能在x轴上,
∴y≠0,
∴点C的轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
∴点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉
(－12,0)和(0,0)两点．
3.已知△ABC的边AB的长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
课堂小结
1.圆的一般方程
2.用待定系数法求圆的方程的步骤
3.相关点法求曲线轨迹方程的步骤
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（D2 + E2 – 4F > 0）
作业布置
作业： P88 练习 第1⑴，2⑴,⑶，3题
P88-89 习题2.4 第4，7,8题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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