2024-2025学年江苏省南通市如东高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市如东高级中学高二（上）开学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D. 不存在
2.已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为( )
A. B.
C. D.
3.已知直线：和直线：，则“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.设点、，若直线与线段有交点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知直线：与直线：交于点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，且有，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线：就是其中之一如图，给出下列三个结论：
曲线所围成的“心形”区域的面积大于；
曲线恰好经过个整点；即横、纵坐标均为整数的点
曲线上任意一点到原点的距离都不超过．
其中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线：，：以下说法正确的有( )
A. 的充要条件是 B. 当时，
C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为
10.设圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有( )
A. 的取值范围为 B. 四边形面积的最小值为
C. 存在点使 D. 直线过定点
11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是( )
A. 若点，，则
B. 若点，，则在轴上存在点，使得
C. 若点，点在直线上，则的最小值是
D. 若点在上，点在直线上，则的值可能是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆与圆的位置关系为______．
13.经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为______．
14.已知圆：圆：，则下列结论正确的是______．
无论取何值，圆心始终在直线上；
若圆与圆有公共点，则实数的取值范围为；
若圆与圆的公共弦长为，则或；
与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程：
已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于，，当时，求直线的方程．
以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程．
16.本小题分
已知直线：．
求证：直线过定点；
若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；
若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程．
17.本小题分
已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点．
Ⅰ求证：的面积为定值．
Ⅱ设直线与圆交于点，，若，求圆的方程．
Ⅲ在Ⅱ的条件下，设，分别是直线：和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标．
18.本小题分
已知圆过点，且与圆：关于直线对称．
判断圆与圆的位置关系，并说明理由；
过点作两条相异直线分别与相交于，．
若直线和直线互相垂直，求的最大值；
若直线和直线与轴分别交于点、，且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由．
19.本小题分
某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲若点在矩形区域内包含边界，则挑战成功，否则挑战失败已知米，为中点，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为．
若，足够长，机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？
若机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，应如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲？
参考答案
1.
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11.
12.外离
13.或
14.
15.易知到直线的距离为圆半径，所以，则圆方程为，
过做，由垂径定理可知，且，
在中由勾股定理易知，
当动直线斜率不存在时，设直线的方程为，
经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知，显然合题意，
当动直线斜率存在时，过点，设方程为：，
由到距离为知，解得，代入得到直线的方程为，
所以或即为所求．
两圆的圆之心之间的距离为．
当两圆外切时，圆的半径为；
当两圆内切时，圆的半径为．
圆的方程为或．
故答案为：或．
16.解：由直线方程变形可得
则有，解得，所以直线过定点．
结合图像：
当直线斜率不存在时，即时，直线：符合题意；
当直线斜率存在时，，解得；
综上可得，实数的取值范围为．
已知直线：，
令，得，得．
令，得，得，
则，当时，取到最大值．
此时，直线的方程为：．
17.【解答】
Ⅰ证明：由题意可得：圆的方程为：，
可化为：，与坐标轴的交点分别为：，
，为定值．
Ⅱ解：，原点在线段的垂直平分线上，
设线段的中点为，则，，三点共线，
的斜率，，解得，
可得圆心
圆的方程为：．
Ⅲ解：由Ⅱ可知：圆心，半径，
点关于直线的对称点为，
则，
又点到圆上点的最短距离为，
则的最小值为．
直线的方程为：，此时点为直线与直线的交点，
故所求的点
18.解设圆心，则，解得分
则圆的方程为，将点的坐标代入得，故圆的方程为
，又两半径之和为，圆与圆外切．分
令、即，为过点的两条弦
设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，，因为四边形是矩形，
所以，即，化简得分
从而，时取等号，此时直线，必有一条斜率不存在
综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为分
另解：若直线与中有一条直线的斜率不存在，
则，此时分
若直线与斜率都存在，且互为负倒数，故可设：，即，
点到的距离为，同理可得点到的距离为，
分
， 分
综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为分
直线和平行，理由如下：
由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，故可设：，
：，由，得
因为的横坐标一定是该方程的解，故可得分
同理，所以，分
所以，直线和一定平行．分
说明：解答题方法不唯一时，评分参照执行．
19.解：根据题意，在中，可得，，
根据正弦定理，可得，可得，
因为为锐角，所以，
所以应在矩形区域内，按照与夹角为的方向释放机器人乙，才能挑战成功．
以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，设，
根据题意得，所以，整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆的上半圆含端点．
为使点落在矩形区域内的，则必须使米．
综上所述，当米时，能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲．
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