2024-2025学年湖南省长沙市湖南师大附中高二（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南师大附中高二（上）入学数学试卷
一、选择题：本题共11小题，第1-8小题每小题5分，第9-11小题每小题6分，共58分。
1.已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是( )
A. B. C. D.
2.已知为锐角，且，则下列选项中正确的有( )
A. B. C. D.
3.下列命题正确的是( )
A. 若直线，平面，则平面
B. 若直线与异面，则过空间任意一点与和都平行的平面有且仅有一个
C. 三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成个或个区域
D. 已知直线与异面，不同的两点，，不同的两点，，则直线与可能相交
4.“函数在区间上单调递增”的充分必要条件是( )
A. B. C. D.
5.年月日，据央视新闻报道，中国空间站近日完成了一项重要的科学实验空间辐射生物学暴露实验装置的首批样品已经返回地面这项实验旨在研究在太空中长时间存在的辐射对人体和微生物的影响已知某项实验要在中国空间站进行，实验开始时，某物质的含量为，每经过小时，该物质的含量都会减少，若该物质的含量不超过，则实验进入第二阶段，那么实验进入第二阶段至少需要小时？结果取整数，参考数据：，
A. B. C. D.
6.已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则以下关于，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知函数且在上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值不可能是( )
A. B. C. D.
9.下列命题为假命题的是( )
A. 在复数集中，方程有两个根，分别为，
B. 若三个事件，，两两独立，则
C. 若，则是，，，四点共面的充要条件
D. 复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，为半径的圆
10.已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则( )
A.
B. 函数的最小正周期为
C. 若，则
D. 若，则的最大值大于
11.如图，在三棱柱中，，，，，下列结论中正确的有( )
A. 平面平面
B. 直线与所成的角的正切值是
C. 三棱锥的外接球的表面积是
D. 该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的倍
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系中，已知角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点，角满足，则的值为______．
13.某高中有学生人，其中男生人，女生人，现希望获得全体学生的身高信息，按照分层随机抽样的方法抽取了容量为的样本经计算得到男生身高样本均值为，方差为，女生身高样本均值为，方差为则每个女生被抽入到样本的概率均为______，所有样本的方差为______．
14.如图，棱长为的正方体中，为棱上一点，且，为平面内一动点，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）从一张半径为的圆形铁皮中截剪出一块扇形铁皮如图阴影部分，成一个深度为米的圆锥筒如图若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为．
求圆锥筒的容积；
在中的圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱如图，求内接圆柱侧面的最大值以及取最大值时的值．
16.（15分）已为，，分别为三内角，，的对边，且．
求；
若，角的平分线，求的面积．
17.（15分）某高校的特殊类型招生面试中有道题目，获得面试资格的甲同学对一四题回答正确的概率依次是，，，规定按照题号依次作答，并且答对一，二，三，四题分别得，，，分，答错题减分，当累计积分小于分面试失败，不少于分通过面试，假设甲同学回答正确与否相互之间没有影响．
求甲同学回答完前题即通过面试的概率；
求甲同学最终通过面试的概率．
18.（17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点．
求证：平面；
求证：平面平面；
求与平面所成角的正弦值．
19.（17分）已知，定义点集与的图象的公共点为在上的截点．
若，，，在上的截点个数为，求实数的取值范围；
若，，，在上的截点为与．
(ⅰ)求实数的取值范围；
(ⅱ)证明：．
参考答案
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15.解：根据题意，设圆锥筒的半径为，容积为，
所裁剪的扇形铁皮的圆心角为，
，解得，
，
．
故圆锥筒的容积为；
设内接圆柱高为，
则有：，
内接圆柱侧面积，
当时内接圆柱侧面积最大值，且其最大值为
16.解：在中，由正弦定理及得：，
整理得，
而，则，即，
又，有，
解得，所以；
如图，
在中，由余弦定理得：，即，解得，
因平分，即，
在中，，
又，则，
即，而，解得：，有，
所以的面积．
17.解：用表示第个问题回答正确，
记“甲同学回答完前题即通过面试”为事件，则，
则甲同学回答完前题即通过面试的概率为：
；
设“甲同学最终通过面试”为事件，
则，
甲同学最终通过面试的概率为：
．
18.证明：取中点，连接，，
为中点，为中点，
且，
又且，
且，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面；
证明：，
≌，过作于点，，
，，
平面，
平面，平面平面；
解：如图建系，
则，
，
设平面的一个法向量，
，
设与平面所成角为，
．
19.解：当时，，
因为，，在上的截点个数为关于的方程无实数解，
即无实数解，
易知，所以，解
得，
即的取值范围是；
当时，，
因为，，在上的截点为与，
所以关于的方程在上有两个解，，
即在上有两个解，，
不妨设，
令，
因为时，，
所以在上至多一个解，
若，，则，就是的解，
从而，这与题设矛盾．
因此，，
由得，所以，
由得，所以，
当时，方程在上有两个解；
证明：由和消去得，
因为，
所以．
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