2024-2025学年广东省东莞外国语学校高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年广东省东莞外国语学校高二（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有女员工人，男员工人，女员工的平均体重为，标准差为，男员工的平均体重为，标准差为则所抽取的所有员工的体重的方差为( )
A. B. C. D.
4.二项式展开式中，含项的系数为( )
A. B. C. D.
5.函数，经过点，则关于的不等式解集为( )
A. B.
C. D.
6.若函数是定义在上的奇函数，，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在两行三列的网格中放入标有数字，，，，，的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为”的不同的排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正数，满足，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
10.从某加工厂生产的产品中抽取件作为样本，将它们进行某项质量指标值测量，并把测量结果用频率分布直方图进行统计如图若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则关于该样本的下列统计量的叙述正确的是( )
A. 指标值在区间的产品约有件
B. 指标值的平均数的估计值是
C. 指标值的第百分位数是
D. 指标值的方差估计值是
11.已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为
D. 若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从正态分布，且，则 ______精确到小数点后第五位
13.已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，则 ______．
14.设，对任意实数，记若至少有个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
若恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
随着中国科技的迅猛发展和进步，中国民用无人机行业技术实力和国际竞争力不断提升，市场规模持续增长为了适应市场需求，我国某无人机制造公司研发了一种新型民用无人机，为测试其性能，对其飞行距离与核心零件损坏数进行了统计，数据如下：
飞行距离千千米
核心零件损坏数个
据关系建立关于的回归模型，求关于的回归方程精确到，精确到．
为了检验核心零件报废是否与保养有关，该公司进行第二次测试，从所有同型号民用无人机中随机选取台进行等距离测试，对其中台进行测试前核心零件保养，测试结束后，有台无人机核心零件报废，其中保养过的占比，请根据统计数据完成列联表，并根据最小概率值的独立性检验，能否认为核心零件的报废与保养有关？
保养 未保养 合计
报废
未报废
合计
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘原理估计公式，，．
参考数据：，，
17.本小题分
甲、乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：一局中赢球的一方作为下一局的开球方若甲开球，则本局甲赢球的概率为，若乙开球，则本局甲赢的概率为，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第一局由甲开球．
Ⅰ求第局甲开球的概率；
Ⅱ设前局中，甲开球的次数为，求的分布列及期望．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
若，求的取值范围．
19.本小题分
无穷数列，，，，的定义如下：如果是偶数，就对尽可能多次地除以，直到得出一个奇数，这个奇数就是；如果是奇数，就对尽可能多次地除以，直到得出一个奇数，这个奇数就是．
写出这个数列的前项；
如果且，求，的值；
记，，求一个正整数，满足．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，定义域为，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值．
因为恒成立，得，，
令，，则，
当，，当时，，
即函数在上递减，在上递增，
因此，则，
所以的取值范围为
16.解：已知，，，
则，
．
关于的线性回归方程为；
设：核心零件是否报废与保养无关，
由题意，保养过的共，未保养的为，补充列联表如下：
保养 未保养 合计
报废
未报废
合计
则：．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为核心零件是否报废与是否保养有关，
此推断的错误概率不大于．
17.解：设第局甲胜为事件，则第局乙胜为事件，其中，，，
则“第局甲开球”为事件，
则；
依题意，，，，
则，
，
，
的分布列为：
则．
18.解：当时，，
，
，
，
曲线在点处的切线方程为，
当时，，当时，，
曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
方法一：由，可得，即，
即，
令，
则，
在上单调递增，
，
即，
令，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，
，
，
故的范围为．
方法二：由可得，，，
即，
设，
恒成立，
在单调递增，
，
，
即，
再设，
，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
，
，
即
，则，
此时只需要证，
即证，
当时，
恒成立，
当时，，此时不成立，
综上所述的取值范围为．
方法三：由题意可得，，
，
易知在上为增函数，
当时，，，
存在使得，
当时，，函数单调递减，
，不满足题意，
当时，，，
，
令，
，
易知在上为增函数，
，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
，
即，
综上所述的取值范围为．
方法四：，，，
，易知在上为增函数，
在上为增函数，在，上为减函数，
与在，上有交点，
存在，使得，
则，则，即，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
设，
易知函数在上单调递减，且，
当时，，
时，，
设，，
恒成立，
在上单调递减，
，
当时，，
，
．
方法五：等价于，该不等式恒成立．
当时，有，其中．
设，则，
则单调增，且．
所以若成立，则必有．
下面证明当时，成立．
，
把换成得到，
，．
．
综上，．
19.解：时，，，，所以；
时，，所以；
时，，，所以；
时，，，所以；
时，，，，，，所以；
时，，所以；
时，，，所以．
由题意知，，均为奇数，不妨设．
当时，因为，所以，所以；
当时，因为，而为奇数，，所以．
又为奇数，，所以存在，使得为奇数．
所以．
而，所以，即，，无解．
所以．
显然，不能为偶数，否则，不满足，所以为正奇数．
又，所以．
设或，．
当时，，不满足；
当时，，即．
所以，取，时，，
即．
第1页，共1页