2023-2024学年广东省珠海市珠海一中高三（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省珠海一中高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则在复平面对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列推断正确的是( )
A. 若，与相交，则与异面
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
4.设等比数列的前项积为，设甲：为递增数列，乙：为递增数列，则( )
A. 甲是乙的充要条件
B. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
C. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5.( )
A. B. C. D.
6.已知直角三角形的面积为，，，、分别在边、上，满足，若，则( )
A. B. C. D.
7.若整数，，，满足，则满足条件“，，，”的数组的个数为( )
A. B. C. D.
8.若动直线交曲线于点，交直线于点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.称，则( )
A. 的最小正周期为 B.
C. D.
11.已知，，，的内切圆为，为坐标原点设在和上的切点为，直线，分别交直线于点，是上一动点，则( )
A. B. 的最大值为
C. D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ______．
13. ______．
14.一圆锥的底面圆圆心为，半径为，侧面积为，过且平行于圆锥的一条母线的平面与圆锥的交线为曲线，已知是抛物线，其焦点为，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，圆柱的轴截面是正方形，，在底面圆上，，点是的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
中，角，，的对边分别为，，，满足，．
证明：；
求的取值范围．
17.本小题分
．
若在点处的切线与直线平行，求的极值；
讨论的零点个数．
18.本小题分
有个上锁的箱子，对应有把钥匙，但不知道它们的对应关系现通过如下方式打开所有箱子：选定一把钥匙，用它逐个尝试打开某个未打开的箱子，直至打开它对应的箱子每次尝试不论是否打开了箱子，都记为一次操作设打开所有箱子时，共进行了次操作．
求随机变量的取值范围；
证明：对任意离散型随机变量，，，，有；
求．
19.本小题分
已知圆，圆过且与圆外切，点的轨迹为曲线．
求的离心率；
斜率为的动直线与交于，两点．
若的中点为，求点的轨迹方程；
若，，在直线，上的投影分别为，，的中点为是否存在定点，使为定值？若存在，求出该定值；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.证明：取的中点，由条件是的中位线，，且，
又正方形，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
而平面，平面，
故EG平面；
解：由是的中位线知，
同理，又，则，
又平面，则，，
以，，所在的直线分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意，，，，
则，，，
设平面的一个法向量，
则，即，
令，可得，
设所求的线面角为，
则，．
16.解：证明：因为，
则由正弦定理可得：，
再由余弦定理可得：，
化简可得，则或，
又，则，所以不成立，则，即；
由余弦定理可得：，
又且，解得，
令，则函数在上单调递增，所以
所以
故的取值范围为．
17.解：由，得，
由题意，故，
则在上递减，在上递增，
所以的极小值为，无极大值．
令．
，易得单调递增，时，，时，，
则在上有唯一零点，
在上递减，在上递增，
因为，
且时，，时，
，即或或只有一个零点；
，即，
由的单调性知，，则没有零点；
，即或，
则在上和上各有唯一零点，有两个零点；
，时，时．
若没有极值点，则，只能单调递增，
在上有唯一零点若存在极值点，
设其中最大的为，由式知的任何极值都小于，
则当时必有，否则在有某个极大值大于等于，
故在上有唯一零点；
，有一个零点，
综上，时有个零点；
时有个零点；
时有个零点．
18.解：当所有尝试均一次成功打开箱子时，，分
而选定第把钥匙开始尝试时，已经打开了个箱子，剩余个未打开的箱子，故至多要操作次，
所以，分
另一方面，对于操作了次的情况，每增加一次未打开箱子的操作就会使得增加，
故的取值范围是分
证明：先证明时命题成立．
设，；，，
则分
分
，分
假设时命题已成立，即，
则当时有
即对任意命题均成立．分
设在尝试打开第个箱子时操作了次，，
第把钥匙对应的箱子等可能地是剩余个箱子中的任何一个，
则，，分
故E，分
由得分
19.解：设圆的半径为，由题意知，，，
所以，所以曲线是以，为焦点的双曲线的右支，
离心率为；
由得曲线中，，，所以，
所以曲线的标准方程为：，
设，，：，
联立，消去得，
由题意知，该方程有两正根，即，
解得，又，
又的中点为，则，
消去，得点的轨迹方程是；
设直线的方程为：，直线的方程为：，
联立，消去得，解得，
同理，，所以直线的斜率为，
显然，、在以为直径的圆上，
联立，消去得，解得，
同理，，所以直线的斜率为；
所以直线的方程为，整理得，
令，解得，由知直线过定点，
因为、、、四点共圆，圆心为坐标原点，所以，
所以点在以为直径的圆上，即存在点，使得为定值．
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