综合测试 03 曲线运动 万有引力与宇宙航行
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第 I卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的班级、姓
名、学号填写在试卷上。
2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，将答案填在选择题上方的答题表中。
3．回答第II 卷时，将答案直接写在试卷上。
第Ⅰ卷（选择题 共 48 分）
一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分。在每小题给出的四个选项中，第 1-8 题只有一项符合题
目要求，第 9-12 题有多项符合题目要求。全部选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。）
1．“青箬笠，绿蓑衣，斜风细雨不须归”是唐代诗人张志和《渔歌子》中的描写春雨美景的名句。一雨滴由
静止开始下落一段时间后，进入如图所示的斜风区域下落一段时间，然后又进入无风区继续运动直至落
地，不计雨滴受到的阻力，则下图中最接近雨滴真实运动轨迹的是（ ）
A． B．
C． D．
2．甲乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为 v0，船在静水中的速率均为 v，甲乙两船头均与河岸
成q 角，如图所示，已知甲船恰能垂直到达河对岸的 A 点，乙船到达河对岸的 B 点，A、B 之间的距离为
L，则下列判断正确的是（ ）
A．甲船先到达对岸
B．若仅增大河水流速 v0，则两船渡河时间都不变
C．无论水速 v0怎样改变，只要适当改变q 角，甲船总能到达正对岸的 A 点
D．若仅增加水速 v0，则两船到达对岸时，两船之间的距离将增加
3．为了减小关后备箱时箱盖和车体间的冲力，在箱盖和车体间安装液压缓冲杆，其结构如图所示。当液
压杆 AO2 长度为 L 时， AO2 和水平方向夹角为75°， AO1 和水平方向夹角为45°，A 点相对于O1的速度是
vA ，则 A 点相对于O2 的角速度为（ ）
A 3v． A
v
B A C 2v 2v． ． A D． A
2L 2L 2L 3L
4．第 24 届冬季奥运会于 2022 年 2 月在北京召开，如图甲所示为运动员跳台滑雪运动瞬间，运动示意图
如图乙所示，运动员从助滑雪道 AB 上由静止开始滑下，到达 C 点后水平飞出，落到滑道上的 D 点，运动
轨迹上的 E 点的速度方向与轨道 CD 平行，设运动员从 C 到 E 与从 E 到 D 的运动时间分别为 t1与 t2，图
中：EQ 垂直于斜面 CD，垂足为 Q 点。（忽略空气阻力，运动员可视为质点），下列说法正确的是
（ ）
A． t1 > t2 B．CQ : QD = 1: 3
C．若运动员离开 C 点的速度加倍，则落在斜面上距 C 的距离也加倍 D．若运动员离开 C 点的速度加
倍，则空中运动的时间加倍
5．如图所示，光滑水平板开有小孔，顶角q = 60°的光滑圆锥的顶点紧靠着小孔，圆锥的高位于竖直面。
质量相同的小球用穿过小孔的轻绳连接，两球分别位于水平板和圆锥侧面上。为了保证小球 Q 的高度不变
且刚好不脱离圆锥面，让两小球分别做匀速圆周运动。重力加速度为 g，则小球 P、Q 做匀速圆周运动的
向心加速度的差值为（ ）
1
A． g B 3 - 2．
2 g
C．0 D 3． g
2 3
6．2024 年 4 月 3 日，遥感四十二号 01 星在西昌卫星发射中心顺利升空，卫星的轨道如图所示，其中Ⅰ和
Ⅲ为高度不同的圆轨道，椭圆轨道Ⅱ分别与Ⅰ和Ⅲ相切于 P 点和 Q 点。下列说法正确的是（ ）
A．卫星在轨道Ⅱ上从 P 点运动到 Q 点的过程中动能增大
B．卫星在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期
C．卫星在轨道Ⅰ上经过 P 点的速度大于在轨道Ⅱ上经过 P 点的速度
D．卫星在轨道Ⅱ上经过 Q 点的加速度小于在轨道Ⅲ上经过 Q 点的加速度
7．2024 年 2 月 29 日中国在西昌卫星发射中心成功发射了高轨卫星 01 星，标志着中国互联网的效率与质
量将进一步提升。已知高轨卫星 01 星与地球中心的连线在时间 t 内转过的弧度为q ，扫过的面积为 S，地
球的半径为 R，引力常量为 G，则（ ）
A 2S 2Sq．高轨卫星 01 星可以静止在咸宁的正上方 B．地球的质量为
Gt 2
C S
3 S 3
．地球表面的重力加速度为 2 2 D．地球的第一宇宙速度为q R t q Rt 2
8．打篮球是很多同学喜爱的运动项目之一，甲、乙两同学练习投篮，如图，甲同学在 A 点起跳投篮，将
篮球在离地高 h1 的位置以速度 v0斜向上投出，篮球竖直速度为零时打在篮板上离地高 h2 的 B 点，篮球与篮
板碰撞后，平行于篮板的速度分量不变，垂直于篮板的速度分量大小变为碰前的0.8倍，碰撞后篮球与篮
板面的夹角为53o 飞出，被乙同学在离地的 C 点接到篮球，不计篮球与篮板碰撞的时间，篮球未碰篮筐，
已知重力加速度为 g， sin53o = 0.8。则篮球与篮板碰撞后的速度大小为（ ）
A． v20 - 2g(h2 - h1) B
3
． v20 - g(h2 - h1)2
2 2
C 5 v0 - 2g(h2 - h． 1) D v - 2g(h． 0 2 - h1)
34 34
9．如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹
如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为 O，且轨迹交于 P 点，抛出时谷粒 1 和谷粒 2 的
初速度分别为 v1和 v2，其中 v1方向水平， v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列
说法正确的是（ ）
A．谷粒 1 的加速度等于谷粒 2 的加速度
B．谷粒 2 在最高点的速度大于 v1
C．谷粒 2 从 O 到 P 的运动时间小于谷粒 1
D．谷粒 1 从 O 到 P 的平均速度大于谷粒 2
10．如图所示， 两个可视为质点的、相同的木块 A 和 B 放在转盘上且木块 A、B 与转盘中心在同一条直线
上， 两木块用长为 L 的细绳连接， 木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的 k 倍， A 放在距离转轴
L 处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴 O1O2转动，开始时， 绳恰好伸直但无弹力， 现让该装置从静止
转动，角速度缓慢增大， 以下说法不正确的是（ ）
A w kg．当 > 时， 绳子一定有弹力
2L
B w 2kg．当 > 时， A、B 会相对于转盘滑动
3L
C ω w 2kg．当 在 > 范围内增大时， A 所受摩擦力一直变大
3L
D ω kg w 2kg．当 在 < < 范围内增大时， B 所受摩擦力变大
2L 3L
11．某行星的卫星 A、B 绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于 A、B 的引力随时间的变化如图所示，其中
t2 = 2t1，行星到卫星 A、B 轨道上点的距离分别记为 rA、rB。假设 A、B 只受到行星的引力，下列叙述正
确的是（ ）
A．B 与 A 的绕行周期之比为 2 2 :1
B．rB的最大值与 rB的最小值之比为 3：1
C．rA的最大值与 rA的最小值之比为 3：2
D．rB的最小值小于 rA的最大值
12．如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所示，弹簧一端固定在顶
部，另一端与小物块 P 连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，P 拉伸弹簧后使触点 A、B 接触，从而
接通电路使气嘴灯发光。触点 B 与车轮圆心距离为 R，车轮静止且气嘴灯在最低点时触点 A、B 距离为
d，d≤R，已知 P 与触点 A 的总质量为 m，弹簧劲度系数为 k，重力加速度大小为 g，不计接触式开关中的
一切摩擦，小物块 P 和触点 A、B 均视为质点，则（ ）
A．气嘴灯在最低点能发光，其他位置一定能发光
B．气嘴灯在最高点能发光，其他位置一定能发光
C kd．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为
mR
D kd + 2mg．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为
mR
第 II 卷（非选择题 共 52 分）
二、实验题（满分 14 分）
13．某实验小组用图甲、乙所示的装置研究平抛运动的特点。
(1)如图甲所示，让完全相同的小球 a 和 b 从两个相同弧面轨道顶端由静止释放，两弧面轨道末端水平，忽
略空气阻力，多次实验两小球均在水平面上相撞。该现象表明，平抛运动在水平方向的分运动是 运
动；
(2)如图乙所示，当完全相同小球 c、d 处于同一高度时，一名同学用小锤轻击弹性金属片，使球 d 水平飞
出，同时松开球 c 下落，忽略空气阻力，另一名同学在小球触地反弹后迅速抓住小球，重复实验，每次均
只听到一次小球落地的响声。该现象表明，平抛运动在竖直方向的分运动是 运动；
(3)实验小组用频闪照相记录了某小球平抛的四个位置，并建立坐标系如图丙所示，其中正方形小方格边长
为 1.6cm，重力加速度 g = 10m/s2 ，该小球抛出点的坐标为（ cm， cm）。
14．学习小组用如图甲所示的实验装置来探究在质量和速度一定的条件下向心力与轨迹半径的关系。实验
器材：力传感器（含数据采集器及配套设施）、轻质细绳、小球、刻度尺等。
实验步骤如下：
①小球静止在位置 I 时，记录力传感器的示数F0 ，测出细绳悬点 O 到小球球心的距离为 L；
②将小球拉至位置Ⅱ，测量此时小球的下侧与小球在 I 位置时下侧之间的高度 h， t = 0时刻，将小球由静
止释放；
③通过软件描绘出细绳拉力随时间变化的关系图，如图乙所示，记录拉力的最大值Fm ；
④改变 L 的值，______，将小球由静止释放，记录多组 L、Fm - F0 的值，并汇入表格中，推测Fm - F0 与
L 之间的关系，并作出相应的图像。
（1）本实验采取 （填实验方法）来探究向心力与轨迹半径的关系。
（2）将实验步骤中划线部分填写完整。
（3）学习小组将测得的数据汇入表格中，由数据得出猜想：小球速度一定时，受的向心力与其做圆周运
动的半径成 （填“正比”或“反比”）。
L / m 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80
Fm - F0 / N 2.00 1.67 1.43 1.25 1.11
1
（4）为严格证明猜想的正确性，应作出Fm - F0 与 （填“L”或“ ”）的关系图像，如果图像为 ，L
则可知猜想正确。
三、计算题（满分 38 分）
15．2023 年 5 月，我国神舟十六号宇宙飞船成功发射，三位宇航员与神舟十五号的三位宇航员在中国空间
站成功会师。空间站绕地球运行视为匀速圆周运动，运行周期为 T。若不考虑地球自转，地球表面的重力
加速度为 g，地球半径为 R，万有引力常量为 G。求：
（1）地球的平均密度 r ；
（2）空间站距离地面的高度 h。
16． 2022年 2月15日，17 岁的中国选手苏翊鸣夺得北京冬奥会单板滑雪男子大跳台金牌，为国家争得荣
誉。现将比赛某段过程简化成如图所示的运动，苏翊鸣从倾角为a = 30°的斜面顶端O点以 v0 =10m / s的速
度飞出，且与斜面夹角为q = 60°。图中虚线为苏翊鸣在空中的运动轨迹，且A 为轨迹上离斜面最远的点，
B 为在斜面上的落点，已知苏翊鸣的质量为m = 60kg（含装备）。重力加速度取 g =10m / s2 ，不计空气阻
力。求：
（1）从O运动到A 点所用时间；
（2）OB之间的距离；
17．如图所示的离心装置中，轻质弹簧一端固定在杆的 O 点，另一端与一质量为 M 的方形中空物块 A 连
接，弹簧和物块 A 均套在光滑竖直方形轻杆OC 上，长为 L 的轻杆OB一端通过铰链连在 O 点（轻杆可在
竖直面内转动），另一端固定质量为 m 的小球 B，物块 A 与小球 B 之间用长为 L 的轻质细线连接，物块
A、小球 B 和弹箦均能随竖直轻杆OC 一起绕过 O 点的竖直转轴转动。装置静止时，轻质细线 AB 绷紧，细
杆OB与水平方向的夹角为53o ，现将装置由静止缓慢加速转动，当转速稳定时，细杆与水平方向夹角减小
到37o ，细杆中的力恰好减小到零，重力加速度为 g，取 sin 37o = 0.6， cos37o = 0.8，求：
（1）转速稳定时，弹簧长度 x 及装置转动的角速度w ；
（2）装置静止时，细线张力和弹簧弹力大小。
18．中国国家女子排球队是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一。为备战奥运，2024 年 4 月 3 日下
午，中国女排回漳州体育训练基地展开为期 40 天的集训。已知排球场长 s =18m，宽 L = 9m，球网高
h = 2.2m ，某队员在训练中，从底线中点正上方高H = 3m处将球以 v0的速度水平击出，若球能够进入对方
场内（g 取10m/s2），不计一切阻力。
（1）求 v0的大小范围；
（2）若球恰好擦着球网进入对方场内，求发球的最大速度（不计排球擦网时的阻力）。综合测试 03 曲线运动 万有引力与宇宙航行
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第 I卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的班级、姓
名、学号填写在试卷上。
2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，将答案填在选择题上方的答题表中。
3．回答第II 卷时，将答案直接写在试卷上。
第Ⅰ卷（选择题 共 48 分）
一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分。在每小题给出的四个选项中，第 1-8 题只有一项符合题
目要求，第 9-12 题有多项符合题目要求。全部选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。）
1．“青箬笠，绿蓑衣，斜风细雨不须归”是唐代诗人张志和《渔歌子》中的描写春雨美景的名句。一雨滴由
静止开始下落一段时间后，进入如图所示的斜风区域下落一段时间，然后又进入无风区继续运动直至落
地，不计雨滴受到的阻力，则下图中最接近雨滴真实运动轨迹的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】A．离开斜风区时雨滴的速度斜向左下方，进入无风区后雨滴只受重力，速度和加速度不在一条
直线上，不可能做直线运动，A 错误；
BD．离开斜风区时雨滴的速度斜向左下方，轨迹在速度和重力之间偏向重力一侧，B 正确，D 错误；
C．离开斜风区时雨滴有水平向左的分速度，所以在落地前雨滴的速度不可能竖直向下，C 错误。
故选 B。
2．甲乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为 v0，船在静水中的速率均为 v，甲乙两船头均与河岸
成q 角，如图所示，已知甲船恰能垂直到达河对岸的 A 点，乙船到达河对岸的 B 点，A、B 之间的距离为
L，则下列判断正确的是（ ）
A．甲船先到达对岸
B．若仅增大河水流速 v0，则两船渡河时间都不变
C．无论水速 v0怎样改变，只要适当改变q 角，甲船总能到达正对岸的 A 点
D．若仅增加水速 v0，则两船到达对岸时，两船之间的距离将增加
【答案】B
【详解】AB．将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，因为分运动和合运动具有等时性，
d
可知甲乙两船到达对岸的时间相等。即渡河的时间为 t = 与河水流速 v0无关。若仅增大河水流速 vv sinq 0
，
两船的渡河时间都不变，故 A 错误，B 正确；
C．只有甲船速度大于水流速度时，只要适当改变q 角，甲船才能到达河的正对岸 A 点；当水流速度大于
甲船速度时，无论怎样改变q 角，甲船都不能到达正对岸的 A 点，故 C 错误；
D．若仅是河水流速 v0增大，则两船到达对岸时间不变，根据速度的分解，船在水平方向的分速度仍不
变，则两船之间的距离 x = v0t + v cosq × t - v0t - v cosq × t = 2v cosq × t 两船之间的距离和河水流速 v0无关，
若仅增加水速 v0，则两船到达对岸时，两船之间的距离不变，故 D 错误。故选 B。
3．为了减小关后备箱时箱盖和车体间的冲力，在箱盖和车体间安装液压缓冲杆，其结构如图所示。当液
压杆 AO2 长度为 L 时， AO2 和水平方向夹角为75°， AO1 和水平方向夹角为45°，A 点相对于O1的速度是
vA ，则 A 点相对于O2 的角速度为（ ）
A 3v． A
v
B 2v 2v． A C． A D． A
2L 2L 2L 3L
【答案】A
【详解】将 v 沿着 AO 3v杆和垂直 AO 杆分解，由几何关系可得 v sin 60° = wL 解得w = AA 2 2 A 故选 A。
2L
4．第 24 届冬季奥运会于 2022 年 2 月在北京召开，如图甲所示为运动员跳台滑雪运动瞬间，运动示意图
如图乙所示，运动员从助滑雪道 AB 上由静止开始滑下，到达 C 点后水平飞出，落到滑道上的 D 点，运动
轨迹上的 E 点的速度方向与轨道 CD 平行，设运动员从 C 到 E 与从 E 到 D 的运动时间分别为 t1与 t2，图
中：EQ 垂直于斜面 CD，垂足为 Q 点。（忽略空气阻力，运动员可视为质点），下列说法正确的是
（ ）
A． t1 > t2 B．CQ : QD = 1: 3
C．若运动员离开 C 点的速度加倍，则落在斜面上距 C 的距离也加倍 D．若运动员离开 C 点的速度加
倍，则空中运动的时间加倍
【答案】D
【详解】以 C 点为原点，以 CD 为 x 轴，以 CD 垂直向上方向为 y 轴，建立坐标系如图
A．对运动员的运动进行分解，y 轴方向做类竖直上抛运动，x 轴方向做匀加速直线运动。当运动员速度方
向与轨道平行时，在 y 轴方向上到达最高点，根据竖直上抛运动的对称性，知 t1 = t2 选项 A 错误；
B．由于沿斜面方向有初速度，不满足初速度为零的匀变速直线运动的规律，位移之比不等于 1∶3，选项 B
错误；
CD．将初速度沿 x、y 方向分解为 v1、 v2，将加速度沿 x、y 方向分解为 a1、a2 ，则运动员的运动时间为
t 2 v= 2 1 2
a 落在斜面上的距离 s = v1t + a1t 离开 C 点的速度加倍，则
v1、 v2加倍，t 加倍，由位移公式得 s 不
2 2
是加倍关系，选项 C 错误，D 正确。故选 D。
5．如图所示，光滑水平板开有小孔，顶角q = 60°的光滑圆锥的顶点紧靠着小孔，圆锥的高位于竖直面。
质量相同的小球用穿过小孔的轻绳连接，两球分别位于水平板和圆锥侧面上。为了保证小球 Q 的高度不变
且刚好不脱离圆锥面，让两小球分别做匀速圆周运动。重力加速度为 g，则小球 P、Q 做匀速圆周运动的
向心加速度的差值为（ ）
1
A． g B 3 - 2． g C 3．0 D．2 g2 3
【答案】D
【详解】由圆周运动可知，对小球 P 有FT = ma1对小球 Q 有FT cos 60° = ma2 ，FT sin 60° = mg 联立解得
a a 31 - 2 = g 故选 D。3
6．2024 年 4 月 3 日，遥感四十二号 01 星在西昌卫星发射中心顺利升空，卫星的轨道如图所示，其中Ⅰ和
Ⅲ为高度不同的圆轨道，椭圆轨道Ⅱ分别与Ⅰ和Ⅲ相切于 P 点和 Q 点。下列说法正确的是（ ）
A．卫星在轨道Ⅱ上从 P 点运动到 Q 点的过程中动能增大
B．卫星在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期
C．卫星在轨道Ⅰ上经过 P 点的速度大于在轨道Ⅱ上经过 P 点的速度
D．卫星在轨道Ⅱ上经过 Q 点的加速度小于在轨道Ⅲ上经过 Q 点的加速度
【答案】B
【详解】A．卫星在椭圆轨道Ⅱ上经过 P 点时的速度是近地点速率大于远地点速率即经过 Q 点时的速度，
故从 P 点运动到 Q 点的过程中动能减小，故 A 错误；
a3B．根据开普勒第三定律 2 = k 轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅲ的轨道半径，可知卫星在轨道Ⅱ上运行的周期T
小于在轨道Ⅲ上运行的周期，故 B 正确；
C．卫星在轨道Ⅰ上经过 P 点加速后做离心运动，故卫星在轨道Ⅰ上经过 P 点的速度小于在轨道Ⅱ上经过
P 点的速度，故 C 错误；
Mm
D．无论是在那个轨道上运行，都是只受地球的万有引力作用，由牛顿第二定律有G 2 = ma 可得加速度r
大小 a = G
Mm
2 可知在同一位置，卫星的加速度大小相等，故 D 错误。故选 B。r
7．2024 年 2 月 29 日中国在西昌卫星发射中心成功发射了高轨卫星 01 星，标志着中国互联网的效率与质
量将进一步提升。已知高轨卫星 01 星与地球中心的连线在时间 t 内转过的弧度为q ，扫过的面积为 S，地
球的半径为 R，引力常量为 G，则（ ）
A 2S 2Sq．高轨卫星 01 星可以静止在咸宁的正上方 B．地球的质量为
Gt 2
S 3C S
3
．地球表面的重力加速度为 2 2 D．地球的第一宇宙速度为q R t q Rt 2
【答案】B
【详解】A．高轨卫星 01 星绕地心做匀速圆周运动，轨道平面必过地心，在赤道正上方，因此不可能静止
在咸宁的正上方。，故 A 错误；
Mm q q
B．由题意可知，高轨卫星 01 2 2星万有引力提供向心力G 2 = mrw 又 S = p r ，w = 综合解得r 2p t
M 2S 2Sq= 故 B2 正确；Gt
Mm
C．在地表处G 2 = mg
2S 2Sq
得地球表面的重力加速度 g = 故 C 错误；
R t 2R2
2
D G Mm v= m 1 v 2S 2Sq．贴近地球表面，由万有引力提供向心力，可得 2 得地球的第一宇宙速度为 1 = 故R R t 2R
D 错误。故选 B。
8．打篮球是很多同学喜爱的运动项目之一，甲、乙两同学练习投篮，如图，甲同学在 A 点起跳投篮，将
篮球在离地高 h1 的位置以速度 v0斜向上投出，篮球竖直速度为零时打在篮板上离地高 h2 的 B 点，篮球与篮
板碰撞后，平行于篮板的速度分量不变，垂直于篮板的速度分量大小变为碰前的0.8倍，碰撞后篮球与篮
板面的夹角为53o 飞出，被乙同学在离地的 C 点接到篮球，不计篮球与篮板碰撞的时间，篮球未碰篮筐，
已知重力加速度为 g， sin53o = 0.8。则篮球与篮板碰撞后的速度大小为（ ）
A． v2 30 - 2g(h2 - h ) B． v
2
1 0 - g(h2 2
- h1)
2
C 5 v0 - 2g(h2 - h ) v
2
． 1 D． 0 - 2g(h2 - h1)
34 34
【答案】C
o
【详解】设篮球与篮板碰撞后的速度大小为 v，则平行篮板面的速度为 v1 = v cos53 垂直篮板面的速度为
o
v2 = v sin 53
o v sin 53
篮球与篮板碰撞前在垂直篮板面的速度为 v2 = = v 篮球与篮板碰撞前的速度为0.8
v 34v= v2 21 + v2 = 在 A 点水平方向的分速度为 vA∥ = v∥在竖直方向的分速度为 v∥ 5 A^
= 2g(h2 - h1) 则在 A
2
2
v2 = v2 + v2
34v
= 2g(h - h ) + v 5 v0 - 2g(h2 - h )点有 10 A^ A∥ 2 1 5 ÷÷
求得 = 故选 C。
è 34
9．如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹
如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为 O，且轨迹交于 P 点，抛出时谷粒 1 和谷粒 2 的
初速度分别为 v1和 v2，其中 v1方向水平， v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列
说法正确的是（ ）
A．谷粒 1 的加速度等于谷粒 2 的加速度
B．谷粒 2 在最高点的速度大于 v1
C．谷粒 2 从 O 到 P 的运动时间小于谷粒 1
D．谷粒 1 从 O 到 P 的平均速度大于谷粒 2
【答案】AD
【详解】A．抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒 1 的加速度等于谷粒
2 的加速度。故 A 正确；
C．在竖直方向上谷粒 2 做竖直上抛运动，谷粒 1 做自由落体运动，从 O 到 P 两者竖直位移相同，所以谷
粒 2 运动时间较长。故 C 错误；
B．谷粒 2 做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度，从
O 到 P 与谷粒 1 水平位移相同，但运动时间较长，所以谷粒 2 水平方向上的速度较小，即最高点的速度小
于 v1。故 B 错误；
D．两谷粒从 O 点到 P 点的合位移相同，运动时间谷粒 1 较短，所以谷粒 1 的平均速度大于谷粒 2。故 D
正确。故选 AD。
10．如图所示， 两个可视为质点的、相同的木块 A 和 B 放在转盘上且木块 A、B 与转盘中心在同一条直线
上， 两木块用长为 L 的细绳连接， 木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的 k 倍， A 放在距离转轴
L 处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴 O1O2转动，开始时， 绳恰好伸直但无弹力， 现让该装置从静止
转动，角速度缓慢增大， 以下说法不正确的是（ ）
A kg．当w > 时， 绳子一定有弹力
2L
B w 2kg．当 > 时， A、B 会相对于转盘滑动
3L
C ω w 2kg．当 在 > 范围内增大时， A 所受摩擦力一直变大
3L
D kg 2kg．当 ω 在 < w < 范围内增大时， B 所受摩擦力变大
2L 3L
【答案】CD
【详解】开始角速度较小，两木块都靠静摩擦力提供向心力，B 先到达最大静摩擦力，角速度继续增大，
则绳子出现拉力，角速度继续增大，A 的静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，开始发生相对滑动。
B．当 A 所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B 相对于转盘会滑动，对 A 有 kmg -T = mLw2 对 B 有
kmg +T = m·2Lw2 解得w 2kg 2kg= 当w > 时，A、B 相对于转盘会滑动，故 B 正确；
3L 3L
A kg kg．当 B 达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力 kmg = m·2Lw2 解得w = 知w > 时，绳子具有弹
2L 2L
力，故 A 正确；
D kg kg．角速度0 < w < ，B 所受的摩擦力变大，在 < w 2kg< 范围内增大时，B 所受摩擦力不变，
2L 2L 3L
故 D 错误；
C kg 2kg．当在 < w < 范围内增大时，A 所受摩擦力一直增大，故 C 错误。本题选不正确的，故选 CD。
2L 3L
11．某行星的卫星 A、B 绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于 A、B 的引力随时间的变化如图所示，其中
t2 = 2t1，行星到卫星 A、B 轨道上点的距离分别记为 rA、rB。假设 A、B 只受到行星的引力，下列叙述正
确的是（ ）
A．B 与 A 的绕行周期之比为 2 2 :1
B．rB的最大值与 rB的最小值之比为 3：1
C．rA的最大值与 rA的最小值之比为 3：2
D．rB的最小值小于 rA的最大值
【答案】ABD
T 2t 2 2
【详解】A．由图可知，A、B 的周期为TA = t1 TB = 2t2 所以 B 与 A 的绕行周期之比为 B = 2 = 故 A 正TA t1 1
确；
Mm
B．由图可知，当 rB最小时卫星 B 受到的万有引力最大，有9F = G r 2 当 rB最大时卫星 B 受到的引力最Bmin
Mm rBmax 3
小，有F = G r 2 所以 rB的最大值与 rB的最小值之比为
= 故 B 正确；
Bmax rBmin 1
Mm
C．同理，当 rA最小时卫星 A 受到的万有引力最大，，有8F = G r 2 当 rA最大时卫星 A 受到的引力最小，，Amin
有 2F G
Mm rAmax 2=
r 2 所以 rA的最大值与 rA的最小值之比为
= 故 C 错误；
Amax rAmin 1
rBmin + rBmax
(TD B )2
r 3
．根据开普勒第三定律，有 = ( 2 )3 Bminr + r 解得
=
r 4 所以 rB的最小值小于 rA的最大值，故 D 正TA Amin Amax Amax
2
确。故选 ABD。
12．如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所示，弹簧一端固定在顶
部，另一端与小物块 P 连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，P 拉伸弹簧后使触点 A、B 接触，从而
接通电路使气嘴灯发光。触点 B 与车轮圆心距离为 R，车轮静止且气嘴灯在最低点时触点 A、B 距离为
d，d≤R，已知 P 与触点 A 的总质量为 m，弹簧劲度系数为 k，重力加速度大小为 g，不计接触式开关中的
一切摩擦，小物块 P 和触点 A、B 均视为质点，则（ ）
A．气嘴灯在最低点能发光，其他位置一定能发光
B．气嘴灯在最高点能发光，其他位置一定能发光
C kd．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为
mR
D kd + 2mg．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为
mR
【答案】BCD
【详解】AB．气嘴灯在最低点能发光，对 P 与触点 A 作为整体进行分析可知，最小需要提供的向心力为
F = kd
向 气嘴灯在最高点能发光，对 P 与触点 A 作为整体进行分析可知，最小需要提供的向心力为
F =kd + 2mg 明显F > F 得气嘴灯在最高点能发光，其他位置一定能发光，故 A 错误，B 正确；
向 向 向
C．当气嘴灯运动到最低点时发光，此时对应车轮做匀速圆周运动的角速度最小，根据受力分析，向心力
由弹簧的弹力与重力的合力提供，又因为初始时弹簧弹力等于重力，所以在最低点是增大的弹力提供向心
力即 kd=mω2R kd得w = 故 C 正确；
mR
D kd + 2mg．当气嘴灯运动到最高点时能发光，则 kd + 2mg = mRw 2 得w = 故 D 正确。故选 BCD。
mR
第 II 卷（非选择题 共 52 分）
二、实验题（满分 14 分）
13．某实验小组用图甲、乙所示的装置研究平抛运动的特点。
(1)如图甲所示，让完全相同的小球 a 和 b 从两个相同弧面轨道顶端由静止释放，两弧面轨道末端水平，忽
略空气阻力，多次实验两小球均在水平面上相撞。该现象表明，平抛运动在水平方向的分运动是 运
动；
(2)如图乙所示，当完全相同小球 c、d 处于同一高度时，一名同学用小锤轻击弹性金属片，使球 d 水平飞
出，同时松开球 c 下落，忽略空气阻力，另一名同学在小球触地反弹后迅速抓住小球，重复实验，每次均
只听到一次小球落地的响声。该现象表明，平抛运动在竖直方向的分运动是 运动；
(3)实验小组用频闪照相记录了某小球平抛的四个位置，并建立坐标系如图丙所示，其中正方形小方格边长
为 1.6cm，重力加速度 g = 10m/s2 ，该小球抛出点的坐标为（ cm， cm）。
【答案】(1)匀速直线(2)自由落体(3) 1.6 1.4
【详解】（1）该现象表明，平抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动；
（2）平抛运动在竖直方向的分运动是自由落体运动；
a Dx= 2 -1 1.6 10
-2
（3）[1]根据 2 得 g = 解得T = 0.04s 小球的初速度为T T 2
v 2L 2 1.6 10
-2 L + 2L
0 = = m/s = 0.8m/s 设从抛出点到 B 点的时间为 t = gt 解得 t = 0.06s 抛出点的横坐T 0.04 2T
标为 x = 4L - v0t =1.6cm
1
[2] y = 2L - gt 2抛出点的纵坐标为 =1.4cm
2
14．学习小组用如图甲所示的实验装置来探究在质量和速度一定的条件下向心力与轨迹半径的关系。实验
器材：力传感器（含数据采集器及配套设施）、轻质细绳、小球、刻度尺等。
实验步骤如下：
①小球静止在位置 I 时，记录力传感器的示数F0 ，测出细绳悬点 O 到小球球心的距离为 L；
②将小球拉至位置Ⅱ，测量此时小球的下侧与小球在 I 位置时下侧之间的高度 h， t = 0时刻，将小球由静
止释放；
③通过软件描绘出细绳拉力随时间变化的关系图，如图乙所示，记录拉力的最大值Fm ；
④改变 L 的值，______，将小球由静止释放，记录多组 L、Fm - F0 的值，并汇入表格中，推测Fm - F0 与
L 之间的关系，并作出相应的图像。
（1）本实验采取 （填实验方法）来探究向心力与轨迹半径的关系。
（2）将实验步骤中划线部分填写完整。
（3）学习小组将测得的数据汇入表格中，由数据得出猜想：小球速度一定时，受的向心力与其做圆周运
动的半径成 （填“正比”或“反比”）。
L / m 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80
Fm - F0 / N 2.00 1.67 1.43 1.25 1.11
1
（4）为严格证明猜想的正确性，应作出Fm - F0 与 （填“L”或“ ”）的关系图像，如果图像为 ，L
则可知猜想正确。
【答案】 控制变量法 保持释放位置小球的下侧与小球在 I 位置时下侧之间的高度 h 一定 反
1
比 一条过原点的倾斜的直线
L
1 [1] F = mg mgh 1 v
2
【详解】（ ） 实验时需要保持小球静止释放时，根据 0 ， = mv2，Fm - mg = m 则有2 L
F F 2mghm - 0 = 可知，为了研究Fm - F0 与 L 之间的关系，必需确保释放位置与小球在 I 位置时下侧之间的L
高度 h 一定，即实验采用了控制变量法。
（2）[2]根据上述可知，实验步骤中划线部分的操作为保持释放位置小球的下侧与小球在 I 位置时下侧之间
的高度 h 一定。
（3）[3]根据表中数据可知，L 与Fm - F0 的乘积在误差允许范围内为定值，表明小球速度一定时，受的向
心力与其做圆周运动的半径成反比。
（4）[4]根据上述，小球速度一定时，受的向心力与其做圆周运动的半径成反比，即Fm - F0 与 L 的图像为
1 1
一条曲线，为了能够精准反映两者的关系，应作出Fm - F0 与 的关系，Fm - F0 与 成正比，两者图像是L L
一条过原点的倾斜的直线；
[5]根据上述上述可知，如果图像为一条过原点的倾斜的直线，则可知猜想正确。
三、计算题（满分 38 分）
15．2023 年 5 月，我国神舟十六号宇宙飞船成功发射，三位宇航员与神舟十五号的三位宇航员在中国空间
站成功会师。空间站绕地球运行视为匀速圆周运动，运行周期为 T。若不考虑地球自转，地球表面的重力
加速度为 g，地球半径为 R，万有引力常量为 G。求：
（1）地球的平均密度 r ；
（2）空间站距离地面的高度 h。
3g 2 2
【答案】（1） ；（2 gR T） 3
4 GR 2 - Rp 4p
GMm M 4 3 3g
【详解】（1）在地球表面 2 = mg 根据密度公式 r = ，V = πR 解得 r =R V 3 4πGR
GMm 2 2p GMm
（2）空间站绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 2 = m ÷ R + h T 在地球表面 = mg R + h è R2
gR2T 2
解得 h = 3 2 - R 。4π
16． 2022年 2月15日，17 岁的中国选手苏翊鸣夺得北京冬奥会单板滑雪男子大跳台金牌，为国家争得荣
誉。现将比赛某段过程简化成如图所示的运动，苏翊鸣从倾角为a = 30°的斜面顶端O点以 v0 =10m / s的速
度飞出，且与斜面夹角为q = 60°。图中虚线为苏翊鸣在空中的运动轨迹，且A 为轨迹上离斜面最远的点，
B 为在斜面上的落点，已知苏翊鸣的质量为m = 60kg（含装备）。重力加速度取 g =10m / s2 ，不计空气阻
力。求：
（1）从O运动到A 点所用时间；
（2）OB之间的距离；
【答案】（1）1s；（2） 20m
【详解】（1）由题意可知，将运动的运动情况分解，如图所示
从O点到A 点过程中，运动员在垂直斜面方向上有 vy = v0 cosa ， vy = gt cosa 联立代入数据可得 t =1s
1
（2 2）由对称性可知，从O到 B 点的时间为2t ，则从O到 B 过程有 x = 2v0t sina + g(2t) sina 代入数据解2
得 x = 20m
17．如图所示的离心装置中，轻质弹簧一端固定在杆的 O 点，另一端与一质量为 M 的方形中空物块 A 连
接，弹簧和物块 A 均套在光滑竖直方形轻杆OC 上，长为 L 的轻杆OB一端通过铰链连在 O 点（轻杆可在
竖直面内转动），另一端固定质量为 m 的小球 B，物块 A 与小球 B 之间用长为 L 的轻质细线连接，物块
A、小球 B 和弹箦均能随竖直轻杆OC 一起绕过 O 点的竖直转轴转动。装置静止时，轻质细线 AB 绷紧，细
杆OB与水平方向的夹角为53o ，现将装置由静止缓慢加速转动，当转速稳定时，细杆与水平方向夹角减小
到37o ，细杆中的力恰好减小到零，重力加速度为 g，取 sin 37o = 0.6， cos37o = 0.8，求：
（1）转速稳定时，弹簧长度 x 及装置转动的角速度w ；
（2）装置静止时，细线张力和弹簧弹力大小。
5
【答案】（1）1.2L 15gL， ；（2） mg
1
， mg + Mg
3L 8 2
【详解】（1）转速稳定时，由几何关系有 x = 2Lsin37o =1.2L小球 B 做匀速圆周运动，细杆中的力为 0，则
B 15gL对 进行受力有Tsin37o = mg ，Tcos37o = mw 2r 根据几何关系有 r = Lcos37o解得w =
3L
（2）装置静止时，对小球 B 进行受力如图所示
o
由平衡条件可知，细线对 B 的力与杆对 B 的力大小相等，设为F1，竖直方向有 2F1 sin 53 = mg 解得
F 5 mg o 11 = 对物块 A 进行受力，竖直方向有F弹 = F1sin53 + Mg 解得F弹 = mg + Mg 。8 2
18．中国国家女子排球队是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一。为备战奥运，2024 年 4 月 3 日下
午，中国女排回漳州体育训练基地展开为期 40 天的集训。已知排球场长 s =18m，宽 L = 9m，球网高
h = 2.2m ，某队员在训练中，从底线中点正上方高H = 3m处将球以 v0的速度水平击出，若球能够进入对方
场内（g 取10m/s2），不计一切阻力。
（1）求 v0的大小范围；
（2）若球恰好擦着球网进入对方场内，求发球的最大速度（不计排球擦网时的阻力）。
【答案】（1） 22.5m/s v 3 255< 0 < m/s ；（2） vm = 6 15m/s2
1 2
【详解】（1）当排球的初速度 v0沿垂直于底线方向且恰好擦网时有最小值，竖直方向有H - h = gt2 1
水平
s
方向有 = v1t1解得 v = 22.5m/s
1 2
1 当排球落在对方底角时，初速度 v0有最大值，竖直方向有H = gt2 水平方2 2
L 2 3 255
向有 s2 + ÷ = v2t2 解得 v2 = m/s 22.5m/s v
3 255
所以能进入对方场内的速度范围 < 0 < m/s 。
è 2 2 2
（2）当排球落在侧边线上时，满足条件初速度沿着垂直于底线方向的分量 v垂 = 22.5m/s初速度沿着平行于
L
底线方向的分量 2 2v 2 3 15 则有 vm = v垂 + v平 = 6 15m/s 。平 = = m/st2 2
