考点 22 功和功率 机车启动问题
1. 高考真题考点分布
题型 考点考查 考题统计
选择题 正功负功 2024 年海南卷
计算题 功和功率计算 2024 年福建卷
选择题 功率计算 2024 年浙江卷
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】高考对功和功率的考查频率较高，近今年主要以选择题的形式出现，题目难度上有时容易有
时比较难，同时，计算题中也会经常出现有关功和功率的计算。
【备考策略】
1.掌握恒力功和变力功的计算。
2.掌握功率的计算，理解机车启动问题。
【命题预测】重点关注变力做功和机车启动问题。
一、功
1．定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
2．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力。
(2)物体在力的方向上发生的位移。
3．公式：W＝Flcosα。
(1)α 是力与位移方向之间的夹角，l 为物体对地的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
4．功的正负
(1)当 0°≤α＜90°时，W＞0，力对物体做正功。
(2)当 90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功。
(3)当 α＝90°时，W＝0，力对物体不做功。
二、功率
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值。
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3．公式
W
(1)P＝ ，P 为时间 t 内的平均功率。
t
(2)P＝Fv cos α(α 为 F 与 v 的夹角)。
①v 为平均速度，则 P 为平均功率。
②v 为瞬时速度，则 P 为瞬时功率。
4．发动机功率：机车发动机的功率 P＝Fv，F 为牵引力，并非机车所受的合力。
考点一 功的计算
考向 1 恒力功的计算
1．恒力功的计算方法
2．总功的计算方法
方法一：先求合力 F 合，再用 W 总＝F 合 lcos α 求功，此法要求 F 合为恒力。
方法二：先求各个力做的功 W1、W2、W3、…，再应用 W 总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意代入“＋”“－”再
求和。
1．如图所示，质量为m 的物体置于倾角为q 的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为 ，在外力作用下，
斜面以加速度 a沿水平方向向左匀加速运动一段距离，运动中物体与斜面体始终相对静止。关于物体，下
列说法正确的是（ ）
A．摩擦力一定不做功 B．摩擦力一定做负功
C．支持力一定做正功 D．合外力做功可能为零
【答案】C
【详解】AB．当物块与斜面间的摩擦力为零时，则mg tanq = ma0 即当 a = a0 = g tanq 时，物块与斜面之间
无摩擦力，此时摩擦力不做功；若当 a > g tanq 时，物块受摩擦力沿斜面向下，此时摩擦力与位移夹角小
于 90°，此时摩擦力做正功；若当 a < g tanq 时，物块受摩擦力沿斜面向上，此时摩擦力与位移夹角大于
90°，此时摩擦力做负功，故 AB 错误；
C．支持力方向与斜面垂直，与位移夹角小于 90°，则支持力一定做正功，故 C 正确；
D．合外力为ma 不为零，方向水平，可知合外力做功不可能为零，故 D 错误。
故选 C。
2．如图所示，倾角为q = 37°的斜面固定在水平桌面上，用平行斜面向上的推力F1将位于斜面底端的滑块
推到斜面顶端，推力F1做的功至少为W0 。已知物块与斜面间的动摩擦因数为 = 0.5， sin 37° = 0.6 ，
cos37° = 0.8，若用水平向左的推力F2 将物块推到顶端，推力F2 做的功至少为（ ）
A．1.2W0 B．1.4W0 C．1.6W0 D．1.8W0
【答案】C
【详解】对物块做功最少，物块应从斜面底端缓慢运动到斜面顶端，用平行斜面向上的推力将位于斜面底
端的物块推到斜面顶端，对物块受力分析如图甲所示，根据受力平衡可得F1 = mg sinq + mg cosq = mg 设
斜面的长度为 L，则W0 = F1L = mgL对物块受力分析如图乙所示，根据受力平衡可得
mg sinq + mg cosq
F2 cosq = mg sinq + F2 sinq + mg cosq 解得F2 = = 2mgcosq - sinq 则
W = F2L cosq =1.6mgL =1.6W0 故选 C。
考向 2 变力做功的计算
方法 以例说法
应用 用力 F 把小球从 A 处缓慢拉到 B 处，F 做的功为 WF，则有 WF－mgl(1－cos θ)＝0，得 WF＝
动能 mgl(1－cos θ)
定理
质量为 m 的木块在水平面内做半径为 R 的圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功 Wf＝Ff·Δx1＋
微元
Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
法
等效 h h
恒力 F 把物块从 A 拉到 B，绳子对物块做的功 W＝F·( － )
转换 sin α sin β
法
kx1＋kx平均 2 弹簧由伸长 x1被继续拉至伸长 x2的过程中，克服弹力做的功 W＝ ·(x －x )2 2 1
力法
一水平拉力 F0拉着一物体在水平面上运动的位移为 x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的
图像
功，W＝F0x0
法
3．在多年前的农村，人们往往会选择让驴来拉磨把食物磨成面，假设驴对磨杆的平均拉力为 600 N，半径
r 为 0.5 m，转动一周为 5 s，则（ ）
A．驴转动一周拉力所做的功为 0
B．驴转动一周拉力所做的功为 600 J
C．驴转动一周拉力的平均功率为 120π W
D．磨盘边缘的线速度为 0.1π m/s
【答案】C
【详解】AB．驴转动一周拉力所做的功为变力做功，根据变力做功得求解方法可得驴转动一周拉力所做的
功为W = F ×2p r = 600 2 0.5 p J = 600p J 故 AB 错误；
W 600p
C．驴转动一周拉力的平均功率为P = = W =120p W 故 C 正确；t 5
2p r
D．磨盘边缘的线速度为 v = = 0.2p m/s故 D 错误。故选 C。
T
4．一质量为 4kg 的物体，在粗糙的水平面上受水平恒定的拉力 F 作用做匀速直线运动。物体运动一段时
间后拉力逐渐减小，当拉力减小到零时，物体刚好停止运动。如图所示为拉力 F 随位移 x 变化的关系图
像，重力加速度大小取 10m/s2，则可以求得（ ）
A．物体做匀速直线运动的速度为 4m/s
B．整个过程拉力对物体所做的功为 4J
C．整个过程摩擦力对物体所做的功为-8J
D．整个过程合外力对物体所做的功为-4J
【答案】D
(2 + 4) 4
【详解】B．F-x 图线与横轴所围区域的面积表示拉力对物体所做的功，所以WF = J =12J 故 B 错2
误；
C．0~2m 阶段，根据平衡条件可得F = f = 4N 所以整个过程中摩擦力对物体做的功为
Wf = - fx = -4 4J = -16J 故 C 错误；
D．整个过程中合外力所做的功为W合 = WF +Wf =12J + ( -16J) = -4J 故 D 正确。
1
A 2．根据动能定理可得W合 = 0 - mv0 解得 v0 = 2m/s故 A 错误。故选 D。2
考点二 对功率的理解与计算
考向 1 平均功率的计算
1. P= 利用 。
2.利用 P=Fvcos α,其中 v 为物体运动的平均速度,α 为 F 与 v 的夹角。
5．2024 年 4 月 1 日，无锡市政府与顺丰公司、丰翼公司、中国邮政就《“低空＋物流”合作项目》进行签
约，共同打造长三角低空经济产业发展高地、全国低空经济创新示范区。低空物流无人机配送首飞活动举
行，启动无人机快递运输和配送。活动现场有一架无人机在运送物资，已知质量为 6kg 的邮件在被无人机
从地面吊起后，在竖直方向运动的 v- t 图像如图所示（竖直向上为正方向），重力加速度大小 g =10m/s2 。
根据图像下列判断正确的是（ ）
A．在 10~30s 时间内邮件的机械能不变
B．46s 时邮件离地面的高度为 28m
C．在 0~10s 内无人机拉力做功的平均功率为 30.3W
D．在 30~36s 内无人机拉力对邮件做负功，其功率逐渐减小
【答案】C
【详解】A．根据 v- t 图像可知，在 10~30s 时间内邮件向上做匀速运动，邮件的动能不变，重力势能增
加，所以邮件的机械能增加，故 A 错误；
B．根据 v- t 图像与横轴围成的面积表示位移可知，46s 时邮件离地面的高度为
h 1= (20 + 36) 1m 1- 10 1.2m = 22m 故 B 错误；
2 2
C．根据 v- t
1
图像可知0 ~ 10s内无人机的加速度大小为 a = m / s2 = 0.1m / s2 根据牛顿第二定律可得
10
F - mg = ma 1解得F = 60.6N 0 ~ 10s内的位移为 x = 1 10m = 5m则在0 ~ 10s内无人机拉力做功的平均功
2
P W Fx 60.6 5率为 = = = W = 30.3W 故 C 正确；
t t 10
D．在30 ~ 36s 内，根据 v- t 图像可知无人机向上做匀减速运动，无人机拉力对邮件做正功，根据P = Fv可
知拉力的功率逐渐减小，故 D 错误。故选 C。
6．如图甲所示，某水电站建筑工地用发动机沿倾斜光滑轨道将建材拉到大坝顶上，已知轨道的倾角
q = 37°，每次从大坝底端由静止向上拉建材的过程中，发动机所做的功与位移的关系如图乙所示。图乙中
图线为直线，当 x = 6m时发动机达到额定功率。已知每个建材的质量m =100kg ，重力加速度 g =10m/s2 ，
sin 37° = 0.6 ， cos37° = 0.8。下列说法正确的是（ ）
A．发动机的额定功率为5600W
B．发动机的额定功率为9432W
C．从 x = 0到 x = 6m过程中，发动机的平均功率为 2700W
D．从 x = 0到 x = 6m过程中，发动机的平均功率为 4671W
【答案】C
【详解】AB．因W - x图像的斜率等于拉力 F，可知建材在前 6s 所受的拉力恒定不变，则建材做匀加速直
DW 5400 1 2
线运动，拉力为F = = N = 900N对建材受力分析，由动能定理W - mgx sin 37° = mv - 0代入数
Dx 6 2 1
据解得 v1 = 6m/s 所以发动机的额定功率为P额 = Fv1 = 900 6W = 5400W 故 AB 错误；
x 0 + vCD．从 x = 0到 x = 6m过程中，由运动学公式 = 1 t 建材向上运动的时间为 t = 2s所以在这过程中，发
2
W 5400
动机的平均功率为P = = W = 2700W 故 C 正确，D 错误。故选 C。
t 2
考向 2 瞬时功率的计算
1.利用公式 P=Fvcos α,其中 v 为 t 时刻的瞬时速度,α 为 F 与 v 的夹角。
2.利用公式 P=FvF,其中 vF为物体的速度 v 在力 F 方向上的分速度。
3.利用公式 P=Fvv,其中 Fv为物体受到的外力 F 在速度 v 方向上的分力。
7．2024 年 4 月 20 日，在世界田联钻石联赛厦门站女子铅球比赛中，中国选手以 19 米 72 的成绩夺得冠
军。若把铅球的运动简化为如图所示的模型：质量为 m 的铅球从离水平地面一定高度的 O 点被抛出，抛
出时铅球的速度大小为 v0、与水平方向的夹角为 θ，经过一段时间铅球落地，落地时铅球的速度方向与水
平方向的夹角为 α，不计空气阻力，重力加速度大小为 g。下列说法正确的是（ ）
v0 cosq tanaA．铅球在空中运动的时间为 g
cos2q tana + sinqcosq v2
B 0．铅球的水平位移大小为
g
C．铅球落地前瞬间重力做功的瞬时功率为mgv0sinq
v20 tan
2a
D．铅球的抛出点离水平地面的高度为
2g
【答案】B
【详解】A．铅球被抛出时的竖直分速度大小 vy = v0sinq 水平分速度大小 vx = v0cosq 落地前瞬间竖直分速度
vy + v v v tana v cosq tana y v0 sinq + cosq tana大小 y =
x = 0 因此铅球在空中运动的时间 t = = 选项 A 错误；g g
B cos
2q tana + sinqcosq v20
．铅球的水平位移大小 x = vxt = 选项 B 正确；g
C．铅球落地前瞬间重力做功的瞬时功率P = mgv y = mgv0cosq tana 选项 C 错误；
v v v cosq 1 1
v2 cos2q - cos2a
D．铅球落地时的速度大小 = x = 0 由动能定理有mgh = mv2 - mv2 0 0 解得cosa cosa 2 2 h = 2gcos2a
选项 D 错误。故选 B。
8．如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道固定在竖直平面内，最高点 P 与圆心 O 在同一水平线上，圆弧轨
道半径为 R，重力加速度为 g，质量为 m 的滑块（可视为质点），从圆弧轨道最高点 P 由静止开始无初速
下滑到最低点 Q 的过程中，滑块所受重力的瞬时功率最大值为（ ）
A 2mg gR B 2mg 3gR C mg 2gR D mg 2 2gR． ． ． ．
3 3 2 2
【答案】B
1 2
【详解】设滑块滑动圆弧轨道某位置与 O 连线与竖直方向夹角为q 时，速度大小为 v，则mgR cosq = mv
2
6 3
重力瞬时功率PG = mgv sinq 联立可得PG = mg 2gR sinq cosq 求导得，当si n q = ，即cos q =
3 3
2mg 3gR
时，滑块所受重力的瞬时功率有最大值，其值为P = 故选 B。G 3
考点三 机车启动
考向 1 两种机车启动方式计算
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P t 图像
和
v t 图像
P
v↑ F F－F 阻＝ ↓
过程 v a＝ 不变 F 不变m
OA 分析 F－F v↑阻
a＝ ↓ P＝Fv↑直到 P 额＝Fv1
段 m
运动 v1
加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间 t0＝
性质 a
P
F＝F 阻 a
额
＝0 v↑ F＝ ↓
过程 v
P
AB 分析 vm＝ F－F 阻F 阻 a＝ ↓
段 m
运动
以 vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
性质
F＝F 阻 a＝0
BC 段 无 P 额
以 vm＝ 做匀速运动F 阻
9．质量为 m 的列车，以大小为 v0的初速度在长直轨道上做匀加速直线运动，经过时间 t 后，列车的速度
大小为 v，此时牵引力的功率为 P。假设列车行驶过程所受的阻力大小恒为 F，则列车在时间 t 内（ ）
A．牵引力逐渐减小
P
B．牵引力的大小F =牵 v
1
C．阻力所做的功W阻 = Ft v0 + v 2
W 1 mv2 1D．牵引力所做的功 = - mv2牵 2 2 0
【答案】B
【详解】AB．根据题意可知，列车以恒定加速度在平直轨道上运动，由牛顿第二定律得F牵 - F = ma 可
P
知，牵引力大小不变，由P = F v牵 可得F =牵 故 A 错误，B 正确；v
v + v
C．根据题意可知，，列车以恒定加速度在平直轨道上运动，则经过时间 t 后，运动的距离为 x = 0 t 阻力
2
所做的功W = -Fx
1
= - Ft v0 + v 故 C 错误；2
1 1
D 2 2．在 t 时间内，根据动能定理有W -W牵 阻 = mv - mv2 2 0
故 D 错误。故选 B。
10．一质量为 m 的汽车沿一倾角为 θ 的斜坡直线行驶，下坡时若关掉油门，则汽车的速度保持不变；若以
恒定的功率 P 上坡，则从静止启动做加速运动，发生位移 s 时速度达到最大值。设汽车在上坡和下坡过程
中所受阻力的大小保持不变，重力加速度为 g，则下列说法正确的是（ ）
A．上坡过程可能为匀加速直线运动
P
B．上坡过程中，汽车的最大速度为 2mg sinq
C．关掉油门后的下坡过程，汽车的机械能守恒
D．上坡过程中，设汽车的最大速度为 vm，则汽车从静止启动到速度达到最大过程中，所用时间一定
2s
大于 vm
【答案】B
【详解】A．上坡过程以恒定的功率 P 从静止启动做加速运动，由P = Fv，F - f - mg sinq = ma 可知，速
度增大，牵引力减小，加速度减小，不是匀加速直线运动，A 错误；
B．上坡过程当 a = 0时速度达到最大，下坡过程关掉油门能匀速运动，满足 f = mg sinq 联立解得上坡过程
P
中，汽车的最大速度为 vm = 2mg sinq ，B 正确；
C．关掉油门后的下坡过程，由于阻力做负功，汽车的机械能减小，C 错误；
v 2s
D．上坡过程中，设汽车的最大速度为 vm，若汽车做匀加速直线运动满足 s = vt1 = m t t =2 1
可得 1 v 而实际上m
汽车做加速度减小的加速运动，相同位移所用时间较短，如图所示
t t 2s 2s即 < 1 = v 故所用时间一定小于 v ，D 错误。故选 B。m m
考向 2 机车启动的图像问题
恒定功率启动 a-1/v 图像 恒定加速度启动 F-1/v 图像
P 1 Ff ①AB 段牵引力不变，做匀加速直线运动；
由 F－Ff＝ma，P＝Fv 可得：a＝ · － ，m v m ②BC 图线的斜率 k 表示功率 P，知 BC 段功率不变，牵
P
①斜率 k＝ 引力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动；
m
③B 点横坐标对应匀加速运动的末速度为 1/v1；
Ff
②纵截距 b=－
m ④C 点横坐标对应运动的最大速度 1/v2，此时牵引力等于
阻力。
1 F
③ c= = f横截距
vm P
11．如图甲所示，创客小组制作了一款太阳能遥控小车，小车质量为 0.2kg，某次性能测试时，小车由静
1
止开始沿平直路面行驶，行驶过程中小车受到的阻力恒定，其加速度 a和车速倒数 的关系如图乙所示。
v
已知小车能达到的最大车速为2m / s，太阳能电池电能转化为机械能的效率是 50%。下列说法正确的是
（ ）
A．小车匀加速运动的时间为 2s B．太阳能电池的最大输出功率为 0.8W
C．小车所受阻力为 0.4N D．小车车速为1.5m / s时，牵引力的功率为 0.3W
【答案】B
【详解】A 2．由图乙可知，小车由静止开始运动时，先做加速度为a0 = 1m / s 的匀加速运动，直到速度达到
v
v1 =1m / s
1
，此后小车的加速度开始减小，设小车匀加速运动的时间为 t1 ，由 v1 = a0t1可得 t1 = =1sa 故 A 错0
误；
B．小车匀加速运动阶段，牵引力的功率不断增大，当小车速度为1m / s 时，牵引力功率达到最大，设为
P0 。设小车变加速运动阶段某一时刻的速度为 v，加速度为 a，受到的牵引力为F ，牵引力功率为 P ，受
P P 1 f
到的阻力为 f ，有P = Fv由牛顿第二定律，有 F - f = ma 可得 - f = ma 整理得 a = × - 由图乙可知该
v m v m
1
阶段 a - 图像为倾斜直线，图线斜率
v k = 2m
2 / s3 为定值，可知速度达到 v1 =1m / s后，小车以恒定功率P0
P
行驶，由 k = 可得P = P0 = km = 0.4W故小车牵引力的最大功率Pm 0
= 0.4W又太阳能电池电能转化为机械
P
能的效率h = 50% 0，由h = 100%P 可得P电m = 0.8W故 B 正确；电m
P
C．当小车加速度减小到 0 时，速度达到最大值 v2 = 2m / s ，又P = F2v2，F2 - f = 0可得 f = = 0.2Nv 故 C2
错误；
D．小车速度由1m / s 增加到2m / s过程中，牵引力的功率始终是P = 0.4W ，故 D 错误。故选 B。
12．加快发展新质生产力是新时代可持续发展的必然要求，我国新能源汽车的迅猛发展就是最好的例证。
某新能源汽车生产厂家在平直公路上测试汽车性能，t＝0 时刻驾驶汽车由静止启动， t1 = 6s时汽车达到额
1
定功率， t2 = 14s时汽车速度达到最大，如图是车载电脑生成的汽车牵引力 F 随速率倒数 变化的关系图v
1
像。已知汽车和司机的总质量 m＝2000kg，所受阻力与总重力的比值恒为 ，重力加速度 g = 10m/s2 ，下
4
列说法正确的是（ ）
A．汽车启动后做匀加速直线运动，直到速度达到最大
B．汽车在 BC 段做匀加速直线运动，在 AB 段做匀速运动
C．汽车达到的最大速度大小为 15m/s
D．从启动到速度达到最大过程中汽车通过的距离为 150m
【答案】D
1
【详解】AB．由图可知汽车在 AB 段汽车牵引力不变，根据牛顿第二定律F - mg = ma解得 a = 2.5m/s2 可
4
知汽车在 AB 段做匀加速直线运动，汽车在 BC 段牵引力逐渐减小，做加速度减小的加速运动，故汽车启
动后先做匀加速直线运动，后做加速度减小的加速运动，直到速度达到最大，故 AB 错误；
D． t1 = 6s时汽车的速度为 v1 = at1 =15m/s
3
汽车额定功率为P = Fv1 =10 10 15W =1.5 10
5 W汽车达到的最
v P P 1.5 10
5
= = = m/s = 30m/s
大速度大小为 m f 1 mg 1
C
2000 10 故 错误；
4 4
1
D 2．汽车做匀加速直线运动的位移为 x1 = at1 = 45m从启动到速度达到最大过程中，根据动能定理2
P(t - t ) 1- mgx 1= mv2 12 1 2 m - mv
2
1 解得 x2 =105m 汽车通过的距离为 x = x1 + x2 =150m 故 D 正确。故选 D。4 2 2
1．俯卧撑是一项深受学生们喜欢的课外健身运动，做中距俯卧撑（下左图）时双臂基本与肩同宽，做宽
距俯卧撑（下右图）时双臂大约在 1.5 倍肩宽。某位同学正在尝试用不同姿势的做俯卧撑；对于该同学做
俯卧撑的过程，下列说法中正确的是（ ）
A．在俯卧撑向下运动的过程中，地面对手掌的支持力小于手掌对地面的压力
B．宽距俯卧撑比中距俯卧撑省力
C．在俯卧撑向上运动的过程中，地面对该同学的支持力做正功
D．在做俯卧撑运动的过程中，地面对该同学的冲量不为零
【答案】D
【详解】A．地面对手掌的支持力与手掌对地面的压力是一对相互作用力，大小相等，故 A 错误；
B．宽距俯卧撑双臂间距大于肩宽，手臂间的夹角变大，作用力比中距俯卧撑作用力大，故 B 错误；
C．在俯卧撑向上运动的过程中，地面对该同学手掌的支持力的作用点没有发生位移，所以地面对该同学
的支持力不做功，故 C 错误；
D．在做俯卧撑运动的过程中，根据 I = Nt 可知地面对该同学的冲量不为零，故 D 正确。故选 D。
2．滑块以一定的初速度沿粗糙斜面从底端 A 上滑，到达最高点 B 后返回到底端 A。利用频闪仪对上滑和
下滑过程进行拍摄，频闪照片的示意图分别如图甲、乙所示，比较甲、乙两图对应的运动过程，下列说法
正确的是（ ）
A．图甲过程可能表示下滑过程
B．图甲、乙两过程的加速度大小之比为 4:3
C．图甲、乙两过程中摩擦力做的功之比为 4:3
D．图甲、乙两过程分别经过 A 点时的速度大小之比为 4:3
【答案】D
【详解】AB．根据甲、乙两图可知，图甲、乙两过程的时间之比为 3:4，位移大小之比为 1:1，根据
x 1= at 2
2
可知图甲、乙两过程的加速度大小之比为 16:9，图甲过程的加速度更大，应表示上滑过程，故 AB 错误；
C．根据摩擦力做的功Wf = - fx甲、乙两过程对应的摩擦力大小相等，位移大小相等，因此摩擦力做的功
相等，故 C 错误；
D．根据 v2 = 2ax可知，图甲、乙两过程分别经过 A 点时的速度大小之比为 4:3，故 D 正确。故选 D。
3．如图甲所示，倾角为q 的斜面体固定在水平面上，其中斜面的长度为 l0 ，一质量为 m 可视为质点的物
块从静止开始由斜面体的顶端 A 滑到底端 B，物块与斜面体之间的动摩擦因数与到 A 点的距离 x 按图乙所
示的规律变化。则物块在斜面的中点速度大小为（ ）。
A． gl0 8sinq - 0 cosq B． gl0 4sinq - 0 cosq
C gl 8sinq - cosq gl 4sinq - cosq ． 0 0 D． 0 0
2 2
【答案】D
【详解】由图乙可知该过程中，物块与斜面体之间的动摩擦因数随位移均匀增加，则物块从 A 到斜面中点
1
的过程中动摩擦因数的平均值为 = 0 ，则摩擦力的平均值为 f = 0mg cosq 则物块由 A 滑到斜面中点4 4
1 1
的过程中克服摩擦力做的功为Wf = fl0 = mg cosq = 0mgl0 cosq 对物体由 A 到斜面中点的过程中，由动2 8
1
能定理得 mgl0 sinq
1
- 0mgl0 cosq
1
= mv2 gl 4sinq - cosq 解得 0 0 故选 D。
2 8 2 v = 2
4．某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力 F 与深度 h 的关系为F = kh + F0 （k，F0 已知），石头沿竖直
方向做直线运动，当 h = h0 时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（ ）
A．F0h
1 1
0 B． kF0 C．F0h0 + kh
2
0 D． kh2 2 0 + F0 h0
【答案】C
F + kh + F
【详解】所受的阻力 F 与深度 h 的关系为线性关系，则有W = Fh0 = 0 0 0 h
1 2
2 0
= F0h0 + kh2 0
故选 C。
5．如图所示，小球在水平拉力 F 的作用下以恒定速率在竖直平面内由 P 点运动到 Q 点。在此过程中
（ ）
A．绳子拉力做正功 B．拉力 F 的瞬时功率逐渐增大
C．小球的机械能守恒 D．小球的动量逐渐增大
【答案】B
【详解】A．小球在运动过程中，绳子拉力方向与速度方向始终垂直，则绳子拉力不做功，故 A 错误；
B．绳子拉力不做功，根据动能定理有WF -WG = 0克 则有WF = WG克水平拉力做的功与克服重力做功相等，则
水平拉力的功率等于克服重力做功的功率，令速度重力方向与圆周切线间的锐角为q ，则有根据功率的定
义式有P = mgv cosq 小球做匀速圆周运动由 P 点运动到 Q 点，q 逐渐减小，则拉力 F 的瞬时功率逐渐增
大，故 B 正确；
C．小球在运动过程中，速度大小不变，动能不变，高度升高，重力势能增大，则小球的机械能增大，故
C 错误；
D．根据 p = mv 速度大小一定，则小球的动量大小不变，故 D 错误。故选 B。
6．如图所示，小球甲在真空中做自由落体运动，另一相同的小球乙在油中由静止开始下落，它们都由高
度为 h1 的地方下落到高度为 h2 的地方，在这两种情况下，下列说法正确的是（ ）
A．甲球的重力势能变化量大 B．甲球的机械能变化大
C．甲球的重力平均功率小 D．甲球的动能变化量大
【答案】D
【详解】A．两球下落高度相同，由W = mgh可知，重力做功相等，重力势能的变化量等于重力做的功，
可知重力势能的变化相等，故 A 错误；
B．在真空中，机械能守恒，重力势能完全转化为动能，而在液体中，阻力做功，机械能不守恒，重力势
能转化为动能和内能，甲球机械能守恒，乙球机械能变小，故 B 错误；
- mgh
C．两球下落高度相同，由W = mgh可知，重力做功相等，甲球运动时间短，根据P = 可知，甲球的重
t
力平均功率大，故 C 错误；
D．甲球下落过程中只有重力做功，乙球下落过程中除重力做功外，还克服阻力做功，根据动能定理
W合 = DEk ，可知甲球的动能变化量大，故 D 正确。故选 D。
7．2022 年 6 月，中国海军第三艘航母“福建”号已经下水了。新航母采用了大量的造船新科技、新材料和
新工艺。舰上拥有三条电磁弹射器，大大提高了脱载机的起飞速度。如图所示，“福建舰”正在沿直线航
行，某时刻速度为 v1，加速度为 a1，一段时间 t 后速度变为 v2 v2 > v1 ，加速度为 a2，且 a1、 a2均不为
零。在这段时间内位移为 s。设其质量为 m，发动机的输出功率恒为 P，所受阻力恒为 f，则下列关系式正
确的是（ ）
1 2 1 2 f PA．Pt - fs = mv2 - mv1 B． =2 2 v2
v
C． s = 1
+ v2 Pt D． a
2 1
=
mv1
【答案】A
1 2 1 2
【详解】A．发动机的输出功率恒为 P，所受阻力恒为 f，根据动能定理有Pt - fs = mv
2 2
- mv1 故 A 正2
P
确；B．速度为 v2，加速度为 a2，则有P = F2v2，F2 - f = ma2 解得 f = - mav 2 故 B 错误；2
C．发动机的输出功率一定，速度增大，牵引力减小，加速度减小，航母做加速度减小的变加速直线运
动，根据速度时间图像，其图像与时间轴所围几何图形的面积大于对应匀加速直线运动的位移，可知
s v + v> 1 2 t 故 C 错误；
2
P f
D．速度为 v1，加速度为 a1，则有P = F1v1，F1 - f = ma1解得 a1 = -mv m 故 D 错误。故选 A。1
8．复兴号动车组在世界上首次实现时速 350km 自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性
成果。一列动车的初速度为 v0，以额定功率在平直轨道上运动，经过一段时间动车达到最大速度 4v0 。若
行驶过程中动车所受阻力大小与其速率成正比，则车速为 v0和 2v0 时动车的加速度大小之比为（ ）
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．5∶2
【答案】D
P
【详解】动车以额定功率在平直轨道上运动，动车达到最大速度 4v0，加速度为零，有 4v0 = ， f = kg4vf 0
a 5
解得P = 16kv20 当车速为 v0和 2v0时，则P = F1gv0 = F2 g2v0 ，F1 - kv0 = ma1 ，F2 - kg2v
1
0 = ma2联立解得 =a2 2
故选 D。
9．如图所示，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边。已知拖动缆绳的
电动机功率恒为 P，小船的质量为 m，小船受到的阻力大小恒为 f，经过 A 点时的速度大小为 v0，与绳的
夹角为q ，小船从 A 点沿直线加速运动到 B 点经历时间为 t，A、B 两点间距离为 d，缆绳质量忽略不计
（ ）
v
A．小船经过 A 点时，电动机收绳的速度 0
cosq
P
B．小船在 A 点时，缆绳对小船的拉力为 v0 cosq
C．小船从 A 点运动到 B 点的全过程阻力做功 fd
D．小船从 A 点运动到 B 点的全过程合力做功Pt - fd
【答案】BD
【详解】AB．小船在 A 点时的速度可以分解为沿绳子方向的速度和垂直于绳子方向的速度，电动机收绳的
P P
速度 v = v0 cosq 电动机对绳的拉力为F = =v v0 cosq
故 A 错误，B 正确；
C．小船从 A 点运动到 B 点阻力做功 Wf=-fd 故 C 错误；
D．小船从 A 点运动到 B 点，电动机牵引缆绳对小船做功 W＝Pt 小船从 A 点运动到 B 点的全过程合力做功
W合 = Pt - fd 故 D 正确。故选 BD。
10．如图甲所示，一轻质弹簧的一端固定在倾角为 30°的足够长的固定光滑斜面底端，另一端与质量为 1kg
的物块 A 连接，质量为 4kg 的物块 B 紧靠（不粘连）物块 A 静止在斜面上，此时弹簧的压缩量为 0.5m。
某时刻对物块 B 施加沿斜面向上的力 F，使物块 B 做匀加速直线运动，一段时间后物块 A、B 分离，物块
B 所受力 F 随物块 B 的位移 x 变化的关系如图乙所示。若弹簧的形变始终在弹性限度内，取重力加速度
g = 10m/s2 。下列说法正确的是（ ）
A．图乙中的F0 = 4N
B．弹簧的劲度系数为 50N/m
C．从物块 B 开始运动至与物块 A 分离的过程中，拉力 F 做的功为 2.66J
D．从物块 B 开始运动至与物块 A 分离的过程中，物块 B 增加的机械能为 10.08J
【答案】BD
【详解】AB．开始物块A 、B静止，对物块A 、B受力分析，根据平衡的条件得 mA + mB g sin 30° = kx1由
题意知 x1 = 0.5m，解得 k = 50N / m 由乙图可知，当拉力F1 = 28N时，拉力开始恒定不变，说明此时物块
A 、B分离，对物块B受力分析，由牛顿第二定律得F1 - mBg sin 30° = mBa解得 a = 2m / s2 当施加的力为F0
时，对物块A 、B整体受力分析，由牛顿第二定律得F0 + kx1 - mA + mB g sin 30° = mA + mB a解得
F0 =10N故 A 错误，B 正确；
C．物块A 、B分离瞬间，物块A 、B之间的作用力为零，设此时弹簧压缩量为 x2，对物块A 受力分析，
由牛顿第二定律得 kx2 - mAg sin 30° = mAa 解得 x2 = 0.14m从物块B开始运动至与物块A 分离的过程中，由
F + F
于拉力F 在F0 到F1均匀变化，拉力F 做的功为W = 0 1 x2 1 - x2 解得W = 6.84J故 C 错误；
D 2．设物块 A、B 分离瞬间二者的速度大小为 v，对物块 A、B 由匀变速直线运动的规律得 v = 2a x1 - x2 解
得 v =1.2m / s从物块B开始运动至与物块A 分离的过程中，物块 B 增加的动能
1 1
DEk = m
2
Bv = 4 1.2
2 J = 2.88J 物块 B 增加的势能
2 2
DEp = mBg x1 - x2 sin 30° = 4 10 0.5 - 0.14
1
J = 7.2J 物块B增加的机械能为
2
E = Ek + Ep = 2.88J + 7.2J =10.08J 故 D 正确；故选 BD。
11．如图所示，轻质定滑轮固定在天花板上，物体 P 和 Q 用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，物
体 Q 的质量为 m，且物体 Q 的质量大于物体 P 的质量。t=0 时刻将两物体由静止释放，物体 Q 的加速度
1
大小为 2 g，t0时刻轻绳突然断裂，物体 P 能够达到的最高点恰与物体 Q 释放位置处于同一高度。重力加
速度大小为 g，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A．物体 P 和 Q 的质量之比为 1：2
3
B．t=0 2时刻，P、Q 两物体相距 gt
8 0
1
C．2t 20时刻，物体 P 重力的功率为 mg t4 0
1
D 2 2．从开始到绳突然断裂过程中，物体 Q 克服绳的拉力所做的功为 mg t
8 0
【答案】BD
1
【详解】A．两物体刚释放瞬间，对 P、Q 分别由牛顿第二定律有 mQg-FT=mQa，FT-mPg=mPa 其中 a = g 联2
1 mP 1
立方程可得F =T = mg ， m 3故 A 错误；2 Q
1
B．在 t0时刻两物体的速度 v0 = gt
1 1 1
0 P 上升的高度 h1 = × gt
2
0 = gt
2
细绳断裂后 P 上升的高度
2 2 2 4 0
h v
2
0 1
2 = = gt
2
0 t=0 时刻，P、Q 两物体相距Dh = h h
3
+ = gt 2 故 B 正确；
2g 8 1 2 8 0
1
C．2t0时刻，即绳子断裂后再经过 t0时间，则此时物体 P 的速度 v1 = v0 - gt0 = - gt0 方向向下，则此时物2
体 P 重力的功率为P = mP gv
1
1 = mg
1
gt 10 = mg
2t0 故 C 错误；3 2 6
1
D 2 2．从开始到绳突然断裂过程中，物体 Q 克服绳的拉力所做的功为W = FT h1 = mg t0 故 D 正确。故选8
BD。
12．放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在 0~6s 内其速度与时间的图像和该拉力的功率与时
间的图像如图甲、乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．0~6s 内拉力做功为 100J
B．0~6s 内物体的位移大小为 30m
C．滑动摩擦力的大小为 5N
D．0~6s 内滑动摩擦力做功为-50J
【答案】BD
4 + 6
【详解】B． v- t 图线下方的面积表示位移，由甲图可得，0 ~ 6s内物体的位移大小为 s = 6m = 30m
2
故 B 正确；
1
A．P - t 图线下方的面积表示拉力所做的功，由乙图可得W = ( 30 2 +10 4)J = 70J 故 A 错误；
2
P 10 5
C．2~6s 内物体做匀速直线运动，拉力等于阻力，满足P = Fv = fv解得 f = = N = N 故 C 错误；
v 6 3
D．摩擦力所做的功为Wf = - fs = -50J故 D 正确。故选 BD。
13．跳绳是一种健身运动。一位同学在原地跳绳过程中，离开地面后竖直方向的速率-时间图像如图所示。
已知该同学的质量 m 和图像中的数据 t0 ，重力加速度为 g，不计阻力，下列对该同学跳绳过程中的说法正
确的是（ ）
9
A gt 2．该同学重心上升的最大高度为
100 0
9
B．该同学重心上升的最大高度为 gt 2
200 0
3
C 2．该同学克服重力做功的平均功率约为 mg t
40 0
9
D 2．该同学克服重力做功的平均功率约为 mg t
200 0
【答案】BD
3 3
【详解】AB．根据竖直上抛规律，可知离开地面后瞬间速度为 v = g t0 = gt0 速度时间图像与时间轴10 10
v 3 t
围成的面积表示位移，可知该同学重心上升的最大高度 h = 10
0 9
= gt 2 故 B 正确，A 错误；
2 200 0
W 9
CD 2．一个周期内克服重力做功W = mgh克服重力做功的平均功率P = t 解得P = mg t0 故 C 错误，D 正0 200
确。故选 BD 。
14．如图所示，我国的高铁技术处于世界领先水平，动车组由动车和拖车组合而成，提供动力的车厢叫动
车，不提供动力的车厢叫拖车。假设动车组各车厢的质量均为 m，动车组在水平直轨道上运行过程中受到
的阻力与车重成正比，比例系数为 k，其中每节动车的额定功率都为 P。某列动车组由 8 节车厢组成，其
中第 1、5 节车厢为动车，其余为拖车，则下列关于该动车组的说法，正确的是（ ）
P
A．动车组运行的最大速率为 8kmg
P
B．动车组运行的最大速率为 4kmg
C．两节动车以额定功率使动车组做匀加速运动时，第 2、3 节与第 5、6 节车厢间的作用力之比为3: 2
D．两节动车以额定功率使动车组做匀加速运动时，第 2、3 节与第 5、6 节车厢间的作用力之比为 2 : 3
【答案】BD
【详解】AB．以最大速率行驶时，牵引力等阻力，牵引力F总 = 8kmg 而总功率为 2P，故最大速率
v 2P P= =
8kmg 4kmg 故 A 错误，B 正确；
CD．当两节动车都以额定功率使动车组做匀加速运动时，设第 2、3 节车厢间的作用力为F23，5、6 节车厢
间的作用力为F56，加速度为 a，每节动车产生的牵引力为 F，每节车厢所受的阻力为 kmg ，将第 6、7、8
节车厢作为整体分析，由牛顿第二定律可得 F56 - 3kmg = 3ma 将第 3、4、5、6、7、8 节车厢作为整体分
析，由牛顿第二定律可得F23 + F - 6kmg = 6ma 对整列动车组，由牛顿第二定律可得 2F -8kmg = 8ma联立
解得 F23 : F56 = 2 : 3故 C 错误，D 正确。故选 BD。
15．如图所示，是小朋友非常喜欢的一款电动玩具小车，我们可以通过玩具小车在水平面上的运动来研究
功率问题。已知小车质量为 m，小车刚达到额定功率开始计时，且此后小车保持功率不变，小车的 v- t 图
3
象如图甲所示， t0 时刻小车的速度达到最大速度的 倍，小车速度由 v0增加到最大值的过程中，小车的牵4
引力 F 与速度 v 的关系图象如图乙所示，运动过程中小车所受阻力恒定，下列说法正确的是（ ）
A．小车的额定功率为 4F0v0
B．小车的最大速度为3v0
F
C． t0 时刻，小车加速度大小为 0m
4mv2
D．0 - t0 时间内，小车运动的位移大小为 s = 4v0t0 - 0F0
【答案】AD
【详解】A．根据题意可知，当 v = v0 时，有F1 = 4F0 由功率公式P = F1v 可知P额 = 4F0v0故 A 正确；
B．当小车以最大速度匀速运动时F2 = F0 且F2 = f 根据P额 = F2vmax = fvmax 即4F0v0 = F0vmax = fvmax 可得
vmax = 4v0 故 B 错误；
3
C．由 A、B 选项可知 vmax = 4v0 ，P额 = 4F0v0则根据公式P = Fv可得小车速度达到最大速度的 倍时，此时4
P
F 额 = 4F0v0 4=
的牵引力 3 3 3 = F3 0 又 f = F0 根据牛顿第二定律F3 - f = ma a
F
= 0
v C 4v 联立解得 故 错误；max 0 3m4 4
D 1 3
2 1 4mv2
．在0 : t0 时间内，位移为 s，根据动能定理P额t0 - fs = m
v
max ÷ - mv
2
0 解得 s = 4v t -
0 D
2 è 4 2
0 0 F 故 正0
确。故选 AD。
16．图甲起重机某次从 t = 0时刻由静止开始提升质量为m =150kg 的物体，其 a - t 图像如图乙所示，5~10s
内起重机的功率为额定功率，不计其它阻力，重力加速度为 g = 10m/s2 ，则以下说法正确的是（ ）
A．物体在 0~10s 内运动的最大速度为 10m/s
B．起重机的额定功率为 18000W
C．5~10s 内起重机对物体做的功等于 0~5s 内起重机对物体做功的 1.5 倍
D．5~10s 内起重机对物体做的功等于 0~5s 内起重机对物体做功的 2 倍
【答案】BD
【详解】A．由 a - t 图像可知，物体在0 ~ 5s 做匀加速直线运动，5s 时物体的速度为
v1 = at1 = 2 5m/s =10m/s由于5s 后物体继续做加速度逐渐减小的加速运动，可知物体在0 ~ 10s内运动的最
大速度大于10m/s，故 A 错误；
B．由 a - t 图像可知，在5s 时，物体结束做匀加速运动，此时起重机功率达到最大功率，根据牛顿第二定
律可得F - mg = ma 解得F =1800N 则起重机的额定功率为P额 = Fv1 =1800 10W =18000W 故 B 正确；
v 10
CD．0 ~ 5s 内，物体的位移为 x1 = 1 t1 = 5m = 25m 0 ~ 5s 内起重机对物体做的功为2 2
W1 = Fx1 =1800 25J = 45000J 5 ~ 10s 内起重机保持额定功率不变，则5 ~ 10s 内起重机对物体做的功
W2 = P额t =18000 5J = 90000J可得 2W1 = W2 故 D 正确，C 错误。故选 BD。
17．（2024·浙江·高考真题）一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为 2 10-4 m2 ，喷水速度约为 10m/s，水的
密度为1 103 kg/m3，则该喷头喷水的功率约为（ ）
A．10W B．20W C．100W D．200W
【答案】C
【详解】设Δt 时间内从喷头流出的水的质量为m = rSv·Δt 喷头喷水的功率等于Δt 时间内喷出的水的动能增
1
W mv
2
加量，即P = = 2 联立解得P = 100W故选 C。
Δt Δt
18．（2024·广东·高考真题）如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面
时以60m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连
1
接。已知探测器质量为 1000kg，背罩质量为 50kg 1，该行星的质量和半径分别为地球的 和
10 2
。地球表面
重力加速度大小取 g = 10m/s2 。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有（ ）
A．该行星表面的重力加速度大小为 4m/s2
B．该行星的第一宇宙速度为7.9km/s
C．“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为80m/s2
D．“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为 30kW
【答案】AC
Mm GM 1
A G = mg g = 1【详解】 ．在星球表面，根据 2 可得 2 行星的质量和半径分别为地球的 和 2 。地球表R R 10
面重力加速度大小取 g = 10m/s2 ，可得该行星表面的重力加速度大小 g = 4m/s2故 A 正确；
2
B Mm v GM．在星球表面上空，根据万有引力提供向心力G 2 = m 可得星球的第一宇宙速度 v = 行星的质R R R
1 1 5
量和半径分别为地球的 和 2 ，可得该行星的第一宇宙速度10 v行 = v
地球的第一宇宙速度为7.9km/s ，
5 地
5
所以该行星的第一宇宙速度 v = 7.9km/s故 B 错误；行 5
C．“背罩分离”前，探测器及其保护背罩和降落伞整体做匀速直线运动，对探测器受力分子，可知探测器与
保护背罩之间的作用力F = mg = 4000N “背罩分离”后，背罩所受的合力大小为 4000N，对背罩，根据牛顿
第二定律F = m a解得a = 80m/s2 故 C 正确；
D．“背罩分离”后瞬间探测器所受重力对其做功的功率P = mg v =1000 4 60W = 240kW 故 D 错误。故选
AC。考点 22 功和功率 机车启动问题
1. 高考真题考点分布
题型 考点考查 考题统计
选择题 正功负功 2024 年海南卷
计算题 功和功率计算 2024 年福建卷
选择题 功率计算 2024 年浙江卷
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】高考对功和功率的考查频率较高，近今年主要以选择题的形式出现，题目难度上有时容易有
时比较难，同时，计算题中也会经常出现有关功和功率的计算。
【备考策略】
1.掌握恒力功和变力功的计算。
2.掌握功率的计算，理解机车启动问题。
【命题预测】重点关注变力做功和机车启动问题。
一、功
1．定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
2．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力。
(2)物体在力的方向上发生的位移。
3．公式：W＝Flcosα。
(1)α 是力与位移方向之间的夹角，l 为物体对地的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
4．功的正负
(1)当 0°≤α＜90°时，W＞0，力对物体做正功。
(2)当 90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功。
(3)当 α＝90°时，W＝0，力对物体不做功。
二、功率
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值。
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3．公式
W
(1)P＝ ，P 为时间 t 内的平均功率。
t
(2)P＝Fv cos α(α 为 F 与 v 的夹角)。
①v 为平均速度，则 P 为平均功率。
②v 为瞬时速度，则 P 为瞬时功率。
4．发动机功率：机车发动机的功率 P＝Fv，F 为牵引力，并非机车所受的合力。
考点一 功的计算
考向 1 恒力功的计算
1．恒力功的计算方法
2．总功的计算方法
方法一：先求合力 F 合，再用 W 总＝F 合 lcos α 求功，此法要求 F 合为恒力。
方法二：先求各个力做的功 W1、W2、W3、…，再应用 W 总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意代入“＋”“－”再
求和。
1．如图所示，质量为m 的物体置于倾角为q 的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为 ，在外力作用下，
斜面以加速度 a沿水平方向向左匀加速运动一段距离，运动中物体与斜面体始终相对静止。关于物体，下
列说法正确的是（ ）
A．摩擦力一定不做功 B．摩擦力一定做负功
C．支持力一定做正功 D．合外力做功可能为零
2．如图所示，倾角为q = 37°的斜面固定在水平桌面上，用平行斜面向上的推力F1将位于斜面底端的滑块
推到斜面顶端，推力F1做的功至少为W0 。已知物块与斜面间的动摩擦因数为 = 0.5， sin 37° = 0.6 ，
cos37° = 0.8，若用水平向左的推力F2 将物块推到顶端，推力F2 做的功至少为（ ）
A．1.2W0 B．1.4W0 C．1.6W0 D．1.8W0
考向 2 变力做功的计算
方法 以例说法
应用 用力 F 把小球从 A 处缓慢拉到 B 处，F 做的功为 WF，则有 WF－mgl(1－cos θ)＝0，得 WF＝
动能 mgl(1－cos θ)
定理
质量为 m 的木块在水平面内做半径为 R 的圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功 Wf＝Ff·Δx1＋
微元
Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
法
等效 h h
恒力 F 把物块从 A 拉到 B，绳子对物块做的功 W＝F·( － )
转换 sin α sin β
法
kx1＋kx平均 2 弹簧由伸长 x1被继续拉至伸长 x2的过程中，克服弹力做的功 W＝ ·(x －x )2 2 1
力法
一水平拉力 F0拉着一物体在水平面上运动的位移为 x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的
图像
功，W＝F0x0
法
3．在多年前的农村，人们往往会选择让驴来拉磨把食物磨成面，假设驴对磨杆的平均拉力为 600 N，半径
r 为 0.5 m，转动一周为 5 s，则（ ）
A．驴转动一周拉力所做的功为 0
B．驴转动一周拉力所做的功为 600 J
C．驴转动一周拉力的平均功率为 120π W
D．磨盘边缘的线速度为 0.1π m/s
4．一质量为 4kg 的物体，在粗糙的水平面上受水平恒定的拉力 F 作用做匀速直线运动。物体运动一段时
间后拉力逐渐减小，当拉力减小到零时，物体刚好停止运动。如图所示为拉力 F 随位移 x 变化的关系图
像，重力加速度大小取 10m/s2，则可以求得（ ）
A．物体做匀速直线运动的速度为 4m/s
B．整个过程拉力对物体所做的功为 4J
C．整个过程摩擦力对物体所做的功为-8J
D．整个过程合外力对物体所做的功为-4J
考点二 对功率的理解与计算
考向 1 平均功率的计算
1. 利用 P= 。
2.利用 P=Fvcos α,其中 v 为物体运动的平均速度,α 为 F 与 v 的夹角。
5．2024 年 4 月 1 日，无锡市政府与顺丰公司、丰翼公司、中国邮政就《“低空＋物流”合作项目》进行签
约，共同打造长三角低空经济产业发展高地、全国低空经济创新示范区。低空物流无人机配送首飞活动举
行，启动无人机快递运输和配送。活动现场有一架无人机在运送物资，已知质量为 6kg 的邮件在被无人机
从地面吊起后，在竖直方向运动的 v- t 图像如图所示（竖直向上为正方向），重力加速度大小 g =10m/s2 。
根据图像下列判断正确的是（ ）
A．在 10~30s 时间内邮件的机械能不变
B．46s 时邮件离地面的高度为 28m
C．在 0~10s 内无人机拉力做功的平均功率为 30.3W
D．在 30~36s 内无人机拉力对邮件做负功，其功率逐渐减小
6．如图甲所示，某水电站建筑工地用发动机沿倾斜光滑轨道将建材拉到大坝顶上，已知轨道的倾角
q = 37°，每次从大坝底端由静止向上拉建材的过程中，发动机所做的功与位移的关系如图乙所示。图乙中
图线为直线，当 x = 6m时发动机达到额定功率。已知每个建材的质量m =100kg ，重力加速度 g =10m/s2 ，
sin 37° = 0.6 ， cos37° = 0.8。下列说法正确的是（ ）
A．发动机的额定功率为5600W
B．发动机的额定功率为9432W
C．从 x = 0到 x = 6m过程中，发动机的平均功率为 2700W
D．从 x = 0到 x = 6m过程中，发动机的平均功率为 4671W
考向 2 瞬时功率的计算
1.利用公式 P=Fvcos α,其中 v 为 t 时刻的瞬时速度,α 为 F 与 v 的夹角。
2.利用公式 P=FvF,其中 vF为物体的速度 v 在力 F 方向上的分速度。
3.利用公式 P=Fvv,其中 Fv为物体受到的外力 F 在速度 v 方向上的分力。
7．2024 年 4 月 20 日，在世界田联钻石联赛厦门站女子铅球比赛中，中国选手以 19 米 72 的成绩夺得冠
军。若把铅球的运动简化为如图所示的模型：质量为 m 的铅球从离水平地面一定高度的 O 点被抛出，抛
出时铅球的速度大小为 v0、与水平方向的夹角为 θ，经过一段时间铅球落地，落地时铅球的速度方向与水
平方向的夹角为 α，不计空气阻力，重力加速度大小为 g。下列说法正确的是（ ）
v
A 0
cosq tana
．铅球在空中运动的时间为 g
cos2q tana + sinqcosqB v
2
0
．铅球的水平位移大小为
g
C．铅球落地前瞬间重力做功的瞬时功率为mgv0sinq
v2tan2a
D．铅球的抛出点离水平地面的高度为 0
2g
8．如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道固定在竖直平面内，最高点 P 与圆心 O 在同一水平线上，圆弧轨
道半径为 R，重力加速度为 g，质量为 m 的滑块（可视为质点），从圆弧轨道最高点 P 由静止开始无初速
下滑到最低点 Q 的过程中，滑块所受重力的瞬时功率最大值为（ ）
A 2mg gR． B 2mg 3gR． C mg 2gR． D mg 2 2gR．
3 3 2 2
考点三 机车启动
考向 1 两种机车启动方式计算
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P t 图像
和
v t 图像
P
v↑ F F－F 阻＝ ↓
过程 v a＝ 不变 F 不变m
OA 分析 F－F v↑阻
a＝ ↓ P＝Fv↑直到 P 额＝Fv1
段 m
运动 v1
加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间 t0＝
性质 a
P
F＝F 阻 a
额
＝0 v↑ F＝ ↓
过程 v
P
AB 分析 vm＝ F－F 阻F 阻 a＝ ↓
段 m
运动
以 vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
性质
F＝F 阻 a＝0
BC 段 无 P 额
以 vm＝ 做匀速运动F 阻
9．质量为 m 的列车，以大小为 v0的初速度在长直轨道上做匀加速直线运动，经过时间 t 后，列车的速度
大小为 v，此时牵引力的功率为 P。假设列车行驶过程所受的阻力大小恒为 F，则列车在时间 t 内（ ）
A．牵引力逐渐减小
P
B．牵引力的大小F =牵 v
C．阻力所做的功W
1
阻 = Ft v0 + v 2
1 2 1D 2．牵引力所做的功W = mv - mv牵 2 2 0
10．一质量为 m 的汽车沿一倾角为 θ 的斜坡直线行驶，下坡时若关掉油门，则汽车的速度保持不变；若以
恒定的功率 P 上坡，则从静止启动做加速运动，发生位移 s 时速度达到最大值。设汽车在上坡和下坡过程
中所受阻力的大小保持不变，重力加速度为 g，则下列说法正确的是（ ）
A．上坡过程可能为匀加速直线运动
P
B．上坡过程中，汽车的最大速度为 2mg sinq
C．关掉油门后的下坡过程，汽车的机械能守恒
D．上坡过程中，设汽车的最大速度为 vm，则汽车从静止启动到速度达到最大过程中，所用时间一定
2s
大于 vm
考向 2 机车启动的图像问题
恒定功率启动 a-1/v 图像 恒定加速度启动 F-1/v 图像
P 1 Ff ①AB 段牵引力不变，做匀加速直线运动；
由 F－Ff＝ma，P＝Fv 可得：a＝ · － ，m v m ②BC 图线的斜率 k 表示功率 P，知 BC 段功率不变，牵
P
①斜率 k＝ 引力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动；
m
③B 点横坐标对应匀加速运动的末速度为 1/v1；
Ff
②纵截距 b=－
m ④C 点横坐标对应运动的最大速度 1/v2，此时牵引力等于
F 阻力。1
③ f横截距 c= =
vm P
11．如图甲所示，创客小组制作了一款太阳能遥控小车，小车质量为 0.2kg，某次性能测试时，小车由静
1
止开始沿平直路面行驶，行驶过程中小车受到的阻力恒定，其加速度 a和车速倒数 的关系如图乙所示。
v
已知小车能达到的最大车速为2m / s，太阳能电池电能转化为机械能的效率是 50%。下列说法正确的是
（ ）
A．小车匀加速运动的时间为 2s B．太阳能电池的最大输出功率为 0.8W
C．小车所受阻力为 0.4N D．小车车速为1.5m / s时，牵引力的功率为 0.3W
12．加快发展新质生产力是新时代可持续发展的必然要求，我国新能源汽车的迅猛发展就是最好的例证。
某新能源汽车生产厂家在平直公路上测试汽车性能，t＝0 时刻驾驶汽车由静止启动， t1 = 6s时汽车达到额
1
定功率， t2 = 14s时汽车速度达到最大，如图是车载电脑生成的汽车牵引力 F 随速率倒数 变化的关系图v
1
像。已知汽车和司机的总质量 m＝2000kg，所受阻力与总重力的比值恒为 ，重力加速度 g = 10m/s2 ，下
4
列说法正确的是（ ）
A．汽车启动后做匀加速直线运动，直到速度达到最大
B．汽车在 BC 段做匀加速直线运动，在 AB 段做匀速运动
C．汽车达到的最大速度大小为 15m/s
D．从启动到速度达到最大过程中汽车通过的距离为 150m
1．俯卧撑是一项深受学生们喜欢的课外健身运动，做中距俯卧撑（下左图）时双臂基本与肩同宽，做宽
距俯卧撑（下右图）时双臂大约在 1.5 倍肩宽。某位同学正在尝试用不同姿势的做俯卧撑；对于该同学做
俯卧撑的过程，下列说法中正确的是（ ）
A．在俯卧撑向下运动的过程中，地面对手掌的支持力小于手掌对地面的压力
B．宽距俯卧撑比中距俯卧撑省力
C．在俯卧撑向上运动的过程中，地面对该同学的支持力做正功
D．在做俯卧撑运动的过程中，地面对该同学的冲量不为零
2．滑块以一定的初速度沿粗糙斜面从底端 A 上滑，到达最高点 B 后返回到底端 A。利用频闪仪对上滑和
下滑过程进行拍摄，频闪照片的示意图分别如图甲、乙所示，比较甲、乙两图对应的运动过程，下列说法
正确的是（ ）
A．图甲过程可能表示下滑过程
B．图甲、乙两过程的加速度大小之比为 4:3
C．图甲、乙两过程中摩擦力做的功之比为 4:3
D．图甲、乙两过程分别经过 A 点时的速度大小之比为 4:3
3．如图甲所示，倾角为q 的斜面体固定在水平面上，其中斜面的长度为 l0 ，一质量为 m 可视为质点的物
块从静止开始由斜面体的顶端 A 滑到底端 B，物块与斜面体之间的动摩擦因数与到 A 点的距离 x 按图乙所
示的规律变化。则物块在斜面的中点速度大小为（ ）。
A． gl0 8sinq - 0 cosq B． gl0 4sinq - 0 cosq
C gl0 8sinq - 0 cosq D gl0 4sinq - ． ． 0 cosq
2 2
4．某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力 F 与深度 h 的关系为F = kh + F0 （k，F0 已知），石头沿竖直
方向做直线运动，当 h = h0 时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（ ）
1
A 2
1
．F0h0 B． kF0 C．F0h0 + kh0 D． kh2 2 0 + F0 h0
5．如图所示，小球在水平拉力 F 的作用下以恒定速率在竖直平面内由 P 点运动到 Q 点。在此过程中
（ ）
A．绳子拉力做正功 B．拉力 F 的瞬时功率逐渐增大
C．小球的机械能守恒 D．小球的动量逐渐增大
6．如图所示，小球甲在真空中做自由落体运动，另一相同的小球乙在油中由静止开始下落，它们都由高
度为 h1 的地方下落到高度为 h2 的地方，在这两种情况下，下列说法正确的是（ ）
A．甲球的重力势能变化量大 B．甲球的机械能变化大
C．甲球的重力平均功率小 D．甲球的动能变化量大
7．2022 年 6 月，中国海军第三艘航母“福建”号已经下水了。新航母采用了大量的造船新科技、新材料和
新工艺。舰上拥有三条电磁弹射器，大大提高了脱载机的起飞速度。如图所示，“福建舰”正在沿直线航
行，某时刻速度为 v1，加速度为 a1，一段时间 t 后速度变为 v2 v2 > v1 ，加速度为 a2，且 a1、 a2均不为
零。在这段时间内位移为 s。设其质量为 m，发动机的输出功率恒为 P，所受阻力恒为 f，则下列关系式正
确的是（ ）
1
A 2
1 2 P
．Pt - fs = mv - mv B． f =
2 2 2 1 v2
v + v
C． s = 1 2
P
t D． a
2 1
=
mv1
8．复兴号动车组在世界上首次实现时速 350km 自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性
成果。一列动车的初速度为 v0，以额定功率在平直轨道上运动，经过一段时间动车达到最大速度 4v0 。若
行驶过程中动车所受阻力大小与其速率成正比，则车速为 v0和 2v0 时动车的加速度大小之比为（ ）
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．5∶2
9．如图所示，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边。已知拖动缆绳的
电动机功率恒为 P，小船的质量为 m，小船受到的阻力大小恒为 f，经过 A 点时的速度大小为 v0，与绳的
夹角为q ，小船从 A 点沿直线加速运动到 B 点经历时间为 t，A、B 两点间距离为 d，缆绳质量忽略不计
（ ）
v
A．小船经过 A 点时，电动机收绳的速度 0
cosq
P
B．小船在 A 点时，缆绳对小船的拉力为 v0 cosq
C．小船从 A 点运动到 B 点的全过程阻力做功 fd
D．小船从 A 点运动到 B 点的全过程合力做功Pt - fd
10．如图甲所示，一轻质弹簧的一端固定在倾角为 30°的足够长的固定光滑斜面底端，另一端与质量为 1kg
的物块 A 连接，质量为 4kg 的物块 B 紧靠（不粘连）物块 A 静止在斜面上，此时弹簧的压缩量为 0.5m。
某时刻对物块 B 施加沿斜面向上的力 F，使物块 B 做匀加速直线运动，一段时间后物块 A、B 分离，物块
B 所受力 F 随物块 B 的位移 x 变化的关系如图乙所示。若弹簧的形变始终在弹性限度内，取重力加速度
g = 10m/s2 。下列说法正确的是（ ）
A．图乙中的F0 = 4N
B．弹簧的劲度系数为 50N/m
C．从物块 B 开始运动至与物块 A 分离的过程中，拉力 F 做的功为 2.66J
D．从物块 B 开始运动至与物块 A 分离的过程中，物块 B 增加的机械能为 10.08J
11．如图所示，轻质定滑轮固定在天花板上，物体 P 和 Q 用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，物
体 Q 的质量为 m，且物体 Q 的质量大于物体 P 的质量。t=0 时刻将两物体由静止释放，物体 Q 的加速度
1
大小为 2 g，t0时刻轻绳突然断裂，物体 P 能够达到的最高点恰与物体 Q 释放位置处于同一高度。重力加
速度大小为 g，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A．物体 P 和 Q 的质量之比为 1：2
3
B．t=0 时刻，P、Q gt 2两物体相距
8 0
1
C．2t 20时刻，物体 P 重力的功率为 mg t4 0
1
D 2 2．从开始到绳突然断裂过程中，物体 Q 克服绳的拉力所做的功为 mg t
8 0
12．放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在 0~6s 内其速度与时间的图像和该拉力的功率与时
间的图像如图甲、乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．0~6s 内拉力做功为 100J
B．0~6s 内物体的位移大小为 30m
C．滑动摩擦力的大小为 5N
D．0~6s 内滑动摩擦力做功为-50J
13．跳绳是一种健身运动。一位同学在原地跳绳过程中，离开地面后竖直方向的速率-时间图像如图所示。
已知该同学的质量 m 和图像中的数据 t0 ，重力加速度为 g，不计阻力，下列对该同学跳绳过程中的说法正
确的是（ ）
9
A 2．该同学重心上升的最大高度为 gt
100 0
9
B gt 2．该同学重心上升的最大高度为
200 0
3
C 2．该同学克服重力做功的平均功率约为 mg t
40 0
9
D 2．该同学克服重力做功的平均功率约为 mg t
200 0
14．如图所示，我国的高铁技术处于世界领先水平，动车组由动车和拖车组合而成，提供动力的车厢叫动
车，不提供动力的车厢叫拖车。假设动车组各车厢的质量均为 m，动车组在水平直轨道上运行过程中受到
的阻力与车重成正比，比例系数为 k，其中每节动车的额定功率都为 P。某列动车组由 8 节车厢组成，其
中第 1、5 节车厢为动车，其余为拖车，则下列关于该动车组的说法，正确的是（ ）
P
A．动车组运行的最大速率为 8kmg
P
B．动车组运行的最大速率为 4kmg
C．两节动车以额定功率使动车组做匀加速运动时，第 2、3 节与第 5、6 节车厢间的作用力之比为3: 2
D．两节动车以额定功率使动车组做匀加速运动时，第 2、3 节与第 5、6 节车厢间的作用力之比为 2 : 3
15．如图所示，是小朋友非常喜欢的一款电动玩具小车，我们可以通过玩具小车在水平面上的运动来研究
功率问题。已知小车质量为 m，小车刚达到额定功率开始计时，且此后小车保持功率不变，小车的 v- t 图
3
象如图甲所示， t0 时刻小车的速度达到最大速度的 倍，小车速度由 v0增加到最大值的过程中，小车的牵4
引力 F 与速度 v 的关系图象如图乙所示，运动过程中小车所受阻力恒定，下列说法正确的是（ ）
A．小车的额定功率为 4F0v0
B．小车的最大速度为3v0
F
C． t0 时刻，小车加速度大小为 0m
2
D．0 - t0 时间内，小车运动的位移大小为 s 4v t
4mv
= 00 0 - F0
16．图甲起重机某次从 t = 0时刻由静止开始提升质量为m =150kg 的物体，其 a - t 图像如图乙所示，5~10s
内起重机的功率为额定功率，不计其它阻力，重力加速度为 g = 10m/s2 ，则以下说法正确的是（ ）
A．物体在 0~10s 内运动的最大速度为 10m/s
B．起重机的额定功率为 18000W
C．5~10s 内起重机对物体做的功等于 0~5s 内起重机对物体做功的 1.5 倍
D．5~10s 内起重机对物体做的功等于 0~5s 内起重机对物体做功的 2 倍
17．（2024·浙江·高考真题）一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为 2 10-4 m2 ，喷水速度约为 10m/s，水的
密度为1 103 kg/m3，则该喷头喷水的功率约为（ ）
A．10W B．20W C．100W D．200W
18．（2024·广东·高考真题）如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面
时以60m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连
1
接。已知探测器质量为 1000kg，背罩质量为 50kg 1，该行星的质量和半径分别为地球的 和 。地球表面
10 2
重力加速度大小取 g = 10m/s2 。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有（ ）
A．该行星表面的重力加速度大小为 4m/s2
B．该行星的第一宇宙速度为7.9km/s
C．“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为80m/s2
D．“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为 30kW
