考点 29 机械振动
1. 高考真题考点分布
题型 考点考查 考题统计
选择题 简谐运动公式与图像 2024 年北京卷
选择题 单摆与图像 2024 年甘肃卷
选择题 单摆 2024 年 6 月浙江卷
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】高考对机械振动的考查较为频繁，题目以选择题形式出现的几率较高，难度上大多不大。这
部分内容也会与机械波结合考查。
【备考策略】
1.理解和掌握简谐运动的基本规律和图像。
2.能够利用简谐运动的基本规律处理有关弹簧振子和单摆模型的有关问题。
3.理解和掌握受迫振动和共振。
【命题预测】重点关注有关弹簧振子和单摆模型的简谐运动的基本规律。
一、简谐运动 单摆、单摆的周期公式
1．简谐运动
(1)定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(xt 图像)是一条正弦曲线，这
样的振动是一种简谐运动。
(2)条件：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，
质点的运动就是简谐运动。
(3)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
(4)回复力
①定义：使物体返回到平衡位置的力。
②方向：总是指向平衡位置。
③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
(5)简谐运动的特征
①动力学特征：F 回＝－kx。
②运动学特征：x、v、a 均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意 v、a 的变化趋势相反)。
③能量特征：系统的机械能守恒，振幅 A 不变。
2．单摆、单摆的周期公式
(1)单摆
①用细线悬挂着小球在竖直平面内摆动，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线长度相比也
可以忽略，空气等对小球的阻力与它受到的重力及绳的拉力相比可以忽略，这样的装置就叫作单摆。
②单摆是实际摆的理想化模型。我们总要尽量选择质量大、体积小的球和尽量细的线。
(2)单摆的回复力
①单摆的回复力是由重力沿圆弧切线方向的分力 F＝mgsin θ 提供的，如图所示。
x
②在最大偏角很小的条件下，sin θ≈ ，其中 x 为摆球偏离平衡位置 O 点的位移。
l
mg mg
单摆的回复力 F＝－ x，令 k＝ ，则 F＝－kx。
l l
③在偏角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，因
此单摆做简谐运动。
(3)周期公式
①提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
l
②公式：T＝2π ，即单摆做简谐运动的周期 T 与摆长 l 的二次方根成正比，与重力加速度 g 的二次方根
g
成反比，而与振幅、摆球质量无关。
二、简谐运动的公式和图像
1．简谐运动的表达式
(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
(2)运动学表达式：x＝A_sin_(ωt＋φ)，其中 A 代表振幅，ω＝2πf 表示简谐运动的快慢。
2．简谐运动的图像
(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为 x＝A sin ωt，图像如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为 x＝A cos ωt，图像如图乙所示。
三、受迫振动和共振
1．受迫振动
系统在驱动力作用下的振动。物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或
频率)，与物体的固有周期(或频率)无关。
2．共振
做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，
这就是共振现象。受迫振动的振幅与驱动力频率的关系如图所示。
考点一 简谐运动的基本规律
考向 1 简谐运动中各物理量的分析
分析简谐运动的技巧：
分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加
速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方
向。
1．如图所示，水平弹簧振子沿 x 轴在 M、N 间做简谐运动，坐标原点 O 为振子的平衡位置，其振动方程
为 x = 5sin(10p t)cm。下列说法正确的是（ ）
A．MN 间距离为 5cm
B．振子的运动周期是 0.2s
C． t = 0时，振子位于 N 点
D． t = 0.05s 时，振子具有最大速度
【答案】B
【详解】A．MN 间距离为 2A=10cm，选项 A 错误；
2p 2p
B．振子的运动周期是T = = s = 0.2s选项 B 正确；
w 10p
C． t = 0时，x=0，则振子位于 O 点，选项 C 错误；
D． t = 0.05s 时 x = 5sin(
p )cm=5cm 振子位于 N 点，具有最大加速度，最小速度，选项 D 错误。故选 B。
2
2．一质点做简谐运动，其振动图像如图所示。 t=4s时，关于质点运动的说法正确的是（ ）
A．速度为正向最大值，加速度为零 B．速度为负向最大值，加速度为零
C．速度为零，加速度为正向最大值 D．速度为零，加速度为负向最大值
【答案】A
【详解】 t=4s时，质点在平衡位置，所以回复力等于零，物体的加速度等于零，此时物体正在向的 x 的正
方向运动，所以速度为正向最大。故选 A。
考向 2 简谐运动的特征应用
1.简谐运动的特征
位移特征 x = Asin(wt )
受力特征 回复力：F=-kx；F(或 a)的大小与 x 的大小成正比，方向相反。
能量特征 系统的动能和势能相互转化,机械能守恒
质点经过关于平衡位置 O 对称的两点时,速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位
对称性特征
置的位移大小相等；由对称点到平衡位置用时相等。
质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周
周期性特征 T
期 T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
2
2. 注意：
（1）弹簧振子（或单摆）在一个周期内的路程一定是 4A，半个周期内路程一定是 2A，四分之一周期内的
路程不一定是 A。
（2）弹簧振子周期和频率由振动系统本身的因素决定（振子的质量 m 和弹簧的劲度系数 k ），与振幅无关。
3．一质点做简谐运动相继通过距离为16cm的两点 A 和 B，历时 1s，并且在 A，B 两点处具有相同的速
度，再经过 2s，质点第 2 次经过 B 点，该质点运动的周期和振幅分别为（ ）
A 3s 16 3． ， cm B．6s，16cm C．6s 16 3， cm D．4s，8 2cm
3 3
【答案】B
【详解】设简谐运动的平衡位置为 O，质点先后以相同的速度通过 A、B 两点，说明 A、B 两点关于平衡位
置 O 点对称，所以质点由 A 到 O 时间与由 O 到 B 的时间相等．假设质点首先向最大位移处运动，然后再
经过 B 点，设两次经过 B 的时间为 tBB，则定有 tAB＞tBB，这与题意不符，故不可能。因此质点必定首先
t
向平衡位置移动，然后再向 B 点移动，那么从平衡位置 O 到 B 点的时间 t = AB1 = 0.5s因过 B 点后质点再经2
过 t=2s 又第二次通过 B 点，根据对称性得知质点从 B 点到最大位置的时间 t2=1s 故知，周期为
T =（4 t1 t2）= 6s 从平衡位置计时，则质点位移与时间的关系式 x = Asinwt 则有
8cm = Asin ωt = Asin 2π 0.5 解得 A =16cm故选 B。
6
4．如图所示，劲度系数为 k 的竖直轻弹簧的下端固定在水平地面上，其上端拴接一质量为m 的物体 A，初
始时系统处于静止状态，将另一与 A 完全相同的物体 B 轻放在 A 上，之后两物体在竖直方向上运动，不计
一切阻力，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为 g ，则弹簧最大的形变量为（ ）
mg 2mg 3mg 4mg
A． B． C． D．
k k k k
【答案】C
【详解】初始时，对 A 受力分析可知 kx1 = mg 将 B 放在 A 上后，对系统根据牛顿第二定律有
2mg - kx1 = 2ma当两物体运动至最低点，速度为 0，根据简谐运动的对称性有 kx2 - 2mg = 2ma解得
x 3mg2 = 故选 C。k
考点二 简谐运动的公式和图像
考向 1 从振动图像获取信息
1.判定振动的振幅 A 和周期 T。(如图所示)
2.判定振动物体在某一时刻的位移。
3.判定某时刻质点的振动方向：
①下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；
②下一时刻位移如果减小，质点的振动方向指向平衡位置。
4.判定某时刻质点的加速度(回复力)的大小和方向。
从图像读F＝－kxF 的大小 F＝ma取 x 大小 ――→ ――→a 的大小
及方向 及方向 及方向
5.比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小。
5．如图所示，粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在水杯中。将木筷竖直提起一段距离，然
后由静止释放并开始计时，木筷就在水中上下振动，在一段时间内木筷在竖直方向可近似看做简谐运动。
若取竖直向上为正方向，图中描述木筷振动的图像正确的是（ ）。
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】木筷在水中做简谐运动，位移随时间图像是正弦或余弦曲线，木筷竖直提起一段距离，然后由静
止释放并开始计时，取竖直向上为正方向，则初始时刻，木筷的位移为正向最大。故选 A。
6．如图所示为甲、乙弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是（ ）
A．两弹簧振子的初相位不同
B．甲系统的机械能比乙系统的大
C．甲、乙两个弹簧振子在前 2s内加速度方向相反
D． t = 2s时，甲具有负方向最大速度，乙具有正方向最大位移
【答案】D
【详解】A．由图可知两弹簧振子的周期不相等，初相位相同，故 A 错误；
B．甲的振幅大，由于甲、乙两弹簧振子的质量、两个弹簧劲度系数未知，无法判断甲、乙两系统的机械
能大小，故 B 错误；
C．甲、乙两个弹簧振子在前 2s内加速度方向相同，沿 x 轴负方向，故 C 错误；
D． x - t 图像斜率的绝对值表示速度大小，t=2s 时，甲图像斜率的绝对值最大，且斜率为负，甲具有负方
向最大速度，由 x - t 图可知此时乙具有正方向最大位移，故 D 正确。
故选 D。
考向 2 根据条件写出振动方程
简谐运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，主要是根据条件确定振动的 A、ω和 φ，其中初位相多通过数学
有关正余弦函数的知识加以确认。
7．如图甲所示，质量为 m 的物体 B 放在水平面上，通过轻弹簧与质量为 2m 的物体 A 连接，现在竖直方
向给物体 A 一初速度，当物体 A 运动到最高点时，物体 B 与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计
时，物体 A 的位移随时间的变化规律如图乙所示，已知重力加速度为 g，则下列说法正确的是（ ）
A． t1 0.25 s ~ t1 0.5 s时间内，物体 A 的速度与加速度方向相反
B．物体 A 在任意一个 1.25s 内通过的路程均为 50cm
C．物体 A 的振动方程为 y = 0.1sin(2πt
5π
)m
6
D．物体 B 对水平面的最大压力为 6mg
【答案】D
【详解】A． t1 0.25 s ~ t1 0.5 s时间内，物体 A 由负的最大位移向平衡位置运动，回复力指向平衡位
置，即物体 A 的速度与加速度方向均沿轴正方向。故 A 错误；B．物体 A 由特殊位置（平衡位置或最大位
5
移处）开始计时，在任意一个1.25s = T 内，质点通过的路程等于振幅的 5 倍，除此外在 1.25s 的时间内
4
通过的路程不等于振幅的 5 倍。故 B 错误；
2p
C．由图乙可知振幅为 A =10cm周期为T =1.0s 角速度为w = = 2πrad / s规定向上为正方向，t=0 时刻位移
T
p
为 0.05m，表示振子由平衡位置上方 0.05m 处开始运动，所以初相为 0 = 则振子的振动方程为6
y = 0.1sin(2πt π )m 故 C 错误；
6
D．由物体 A 在最高点时，物体 B 与水平面间的作用力刚好为零，此时弹簧的拉力为F = mg 对于物体 A 有
F 2mg = 2ma解得 a =1.5g 当物体 A 运动到最低点时，物体 B 对水平面的压力最大，由简谐运动的对称性
可知，物体 A 在最低点时加速度向上，且大小等于 1.5g，由牛顿第二定律得F - 2mg = 2ma 解得F = 5mg
由物体 B 的受力可知，物体 B 对水平面的最大压力为FN = F mg = 6mg 故 D 正确。故选 D。
8．如图 1 所示，竖直弹簧上端固定，质量为 m 的小球在竖直方向做振幅为 A 的简谐运动，振动周期为
T，O 点为平衡位置，重力加速度为 g，弹簧的劲度系数为 k。以竖直向上为正方向，t=0 时刻开始计时，
此后振动图像如图 2 所示，下列说法正确的是（ ）
A．振动表达式为 x = Asin
2p 5p
t -T 6 ֏
1
B． t = T 时刻，小球机械能最大
6
C．在 t1 : t2 时间内，小球位移减小，加速度减小，速度减小
D．弹簧的最大拉力为 kA
【答案】A
2p 5p
【详解】A．小球振动的表达式为 x = Asin( t )
A
将（0， - ）代入可得 = -2 所以T 6
x = Asin(2p t 5p- )故 A 正确；
T 6
B． t
1
= T 时刻，小球的位置为 x = Asin(
2p T 5p
× - ) = -A即小球处于负的最大位移处，弹簧的弹性势能最
6 T 6 6
大，小球的机械能最小，故 B 错误；
C．在 t1 : t2 时间内，小球位移减小，加速度减小，速度增大，故 C 错误；
D．当小球处于最低点时，弹簧弹力最大，则 kx = kA mg 故 D 错误。故选 A。
考点三 简谐运动的两类模型
模型 弹簧振子 单摆
示意图
(1)弹簧质量可忽略； (1)摆线为不可伸缩的轻细线；
简谐运动条件 (2)无摩擦等阻力； (2)无空气等阻力；
(3)在弹簧弹性限度内 (3)最大摆角小于 5°
摆球重力沿与摆线垂直(即切向)方向
回复力 弹簧的弹力
的分力
平衡位置 弹簧处于原长处 最低点
l
周期 与振幅无关 T＝2π
g
弹性势能与动能的相互转 重力势能与动能的相互转化，机械
能量转化
化，机械能守恒 能守恒
考向 1 弹簧振子模型
9．图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，
以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度 a 随时间 t 变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法
正确的是（ ）
A． t = 0时，弹簧弹力为 0
B． t = 0.2s时，手机位于平衡位置上方
C．从 t = 0至 t = 0.2s，手机的动能增大
D．a 随 t 变化的关系式为 a = 4sin(2.5p t)m/s2
【答案】D
【详解】A．由题图乙知， t = 0时，手机加速度为 0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为
F = mg ，
A 错误；
B．由题图乙知， t = 0.2s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B 错误；
C．由题图乙知，从 t = 0至 t = 0.2s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，
动能减小，C 错误；
2p
D．由题图乙知T = 0.8s 则角频率w = = 2.5p rad/s 则 a 随 t 变化的关系式为 a = 4sin(2.5p t)m / s2 ，D 正
T
确。故选 D。
10．如图所示，一劲度系数为 100 N/m的弹簧上端固定在天花板上，下端连接一质量为 0.1 kg的重物（可
看作为质点），将重物向下拉动一段距离让其以 O 点为平衡位置在 B、C 两点之间做简谐运动，B、C 两点
相距 4 cm，P 点为OB的中点。重物从 B 点到第二次经过 O 点，所用的时间为 0.9s，若重物经过 B 点时开
始计时，取向上为正方向，重力加速度大小 g = 10m/s2 。下列说法正确的是（ ）
A．该重物做简谐运动的振动方程是 y = 2sin
5p t 3p
÷cm
è 3 2
B．从 t = 0时刻开始到重物第二次经过 P 点的时间 t0 是 1.0s
C．重物在平衡位置 O 时弹簧伸长量为 1 cm
D．重物处于 P 点时弹簧的回复力大小是 2N
【答案】A
3
【详解】A．重物从 B 点到第二次经过 O 点，所用的时间为 0.9s，可知 T = 0.9s可知 T=1.2s 振幅为
4
w 2p 5pA=2cm，则 = = 重物经过 B 点时开始计时，取向上为正方向，则该重物做简谐运动的振动方程
T 3
y = 2sin(5p t 3p )cm故 A 正确；
3 2
y A 1cm 5p 3pB．在 P 点时 = - = - 带入振动方程-1cm = 2sin( t )cm 解得 t1=0.2s t2=1.0s 则从 t＝0 时刻开始2 3 2
到重物第二次经过 P 点的时间 t0 =（0.9 0.2）s =1.1s故 B 错误；
mg 1
CD 在平衡位置 O 时弹簧伸长量为Dx = = m =1cm重物处于 P 点时弹簧的形变量为 y= x+ 1
k 100 2
×2cm=2cm 回复力大小F = kDy - mg =1N故 CD 错误。故选 A。
考向 2 单摆模型
11．如图，用两根完全相同、不可伸长的轻绳将小沙包（大小可忽略）对称地吊在空中，轻推小沙包，测
得其在垂直纸面平面内做简谐运动的周期为T0（已知在一根竖直绳悬挂下做简谐运动的小物体的周期为
T l= 2p ，l 为绳长，g 为重力加速度），已知每根轻绳的长度为 L，小沙包的质量为 m，则小沙包静止
g
时，每根绳子张力为（ ）
2mLp 2 4mLp 2 2mLp 3 2mLp 2
A． B． C． D．
T 2 T 2 T 2 0 0 0 T0
l
【答案】A【详解】依题意，小沙包做简谐运动，设等效摆长为 l，则有T0 = 2p 对小沙包受力分析，如g
图
T L
= T 2mLπ
2
根据平衡条件可得 1 l 联立解得 =mg 2 故选 A。
2 T0
12．如图甲所示的漏斗在做简谐运动的同时，小付同学将下方的薄木板沿箭头方向拉出，漏斗 3s 内漏出的
细沙在板上形成的曲线如图乙所示，当地重力加速度大小 g = 9.8m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．该沙摆的周期为 3s
B．该沙摆的摆长约为 2m
C．由图乙可知，木板被匀加速拉出
D．当图乙中的 B 点通过沙摆正下方时，薄木板的速度大小为 17.5m/s
【答案】C
【详解】A．由题图乙知1.5T = 3s 知该沙摆的周期为 T=2s 故 A 错误；
L
B．沙摆的周期T = 2p 得 L 1m 故 B 错误；
g
C．由题图乙中数据可知，木板在连续且相等的时间段内的位移差Dx =12.80cm = aT 2 得 a = 0.128m/s2即木
板被匀加速拉出，加速度大小为0.128m/s2 ，故 C 正确；
D．匀变速直线运动在一段时间间隔的中间时刻的瞬时速度，等于这段时间内的平均速度，所以有
v ACB = = 0.175m/s故 D 错误。故选 C。T
考点四 受迫振动和共振
1．简谐运动、受迫振动和共振的比较
振动
简谐运动 受迫振动 共振
项目
受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周期 由系统本身性质决定，即 由驱动力的周期或频率决
T 驱＝T0或 f 驱＝f0
或频率 固有周期 T0或固有频率 f0 定，即 T＝T 驱或 f＝f 驱
振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
机械工作时底座发生的振
常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 共振筛、声音的共鸣等
动
2.共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率 f，纵坐标为振幅 A，它直观地反映了驱动力的频率对某固有
频率为 f0 的振动系统做受迫振动振幅的影响，由图可知，f 与 f0 越接近，振幅 A 越大；当 f＝f0 时，振幅 A
最大。
3.受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
考向 1 受迫振动和共振规律
13．如图所示为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线（振幅A 与驱动力频率 f 的关系），则下列说法
正确的是（ ）
A．此单摆的固有周期约为 0.5s
B．若摆长变小，共振曲线的峰将左移
C．若保持摆长不变，将该单摆移至月球表面上做受迫振动，则共振曲线的峰将左移
D．此单摆的摆长约为 3m
【答案】C
【详解】A．由图知，当驱动力频率为 0.5Hz 时振幅最大，说明此单摆的固有频率为 0.5Hz，则固有周期为
2s，故 A 错误；
B．根据 f 1 1 g= = 若摆长变小，固有频率增大，共振曲线的峰将右移，故 B 错误；
T 2p l
C．若保持摆长不变，将该单摆移至月球表面上，则重力加速度减小，则固有频率减小，则共振曲线的峰
将左移，故 C 正确；
D f 1 1 g．根据 = = = 0.5Hz 解得 l 1m故 D 错误。故选 C。
T 2p l
14．如图所示，在张紧的绳上挂了 A、B、C、D 四个单摆，A 摆与 C 摆的摆长相等，D 摆的摆长最长，B 摆
最短。先将 A 摆拉离平衡位置后释放（摆角不超过 5°），则下列说法中正确的是（ ）
A．所有摆都做自由振动 B．所有摆均以相同摆角振动
C．所有摆均以相同频率振动 D．D 摆振幅最大
【答案】C
【详解】A．A 摆摆动起来后，通过水平绳子对 B、C、D 三个摆施加周期性的驱动力，使 B、C、D 三摆做
受迫振动，故 A 错误；
BD．B、C、D 三摆做受迫振动的频率等于驱动力的频率，由于 C 与 A 的摆长是相等的，所以 C 的固有频率
与 A 相等，C 做共振，振幅最大，所以所有摆不会以相同摆角振动，故 BD 错误；
C．B、C、D 三摆做受迫振动的频率等于驱动力的频率，由于驱动力频率相同，则三摆均以相同频率振
动，故 C 正确。故选 C。
考向 2 实际生活中的受迫振动和共振
15．2024 年 4 月 3 日，中国台湾花莲县海域发生 7.3 级地震，震源深度 12km。如图所示，高度约为 30m
的“天王星大楼”发生严重倾斜，是所受地震影响最大的建筑物之一。若钢混结构建筑物的固有频率与其高
度的平方成正比，其比例系数为 0.1，则地震波到达地面的频率最可能是（ ）
A．10Hz B．30Hz C．60Hz D．90Hz
【答案】D
2
【详解】建筑物高为 h，其固有频率为 f0 = 0.1h 钢混建筑物发生共振时有 f = f0 = 0.1h
2 = 90Hz地震波到达
地面的频率与钢混结构建筑物的固有频率越接近，钢混建筑物因共振所受的影响越大，所以该地震波到达
地面的频率最可能是 90Hz。故选 D。
16．小孩在果园里，摇动细高的果树的树干，想把果子摇下来，下列说法正确的是（ ）
A．小孩用相同的频率摇不同的树干，树干的振动频率一定不同
B．小孩用相同的频率摇不同的树干，树干的振动频率一定相同
C．对同一棵树，小孩摇动的频率增大，树干振动的幅度一定增大
D．对同一棵树，小孩摇动的频率减小，树干振动的幅度一定增大
【答案】B
【详解】AB．小孩在果园里摇动树干，则树干是受迫振动，树干的振动频率取决于驱动频率，因此树干振
动的频率与小孩摇动树干的频率相同，则可知小孩用相同的频率摇不同的树干，树干的振动频率一定相
同，故 A 错误，B 正确；
CD．对于受迫振动，只有当驱动频率越接近固有频率时，振动幅度才越大，故 CD 错误。故选 B。
1．一列简谐横波在 x 轴上传播，位于坐标原点的波源起振时开始计时，t=0.35s 时恰好传播到 x=14m 的质
点 Q 处，波形如图所示。P 为介质中 x=8m 处的质点。下列说法正确的是（ ）
A．该波在介质中的传播速度为 4m/s
B．在 0~0.35s 内，质点 P 的平均速率为 0.4m/s
y 2sin(10p t 7C．质点 Q 的振动方程为 = - p )cm(t 0.35s)
2
D．任意时刻，质点 P、Q 间的距离均为 6m
【答案】C
14
【详解】A．该波在介质中的传播速度 v = = 40m / s 故 A 错误；
0.35
3A 6
B．在 0~0.35s 内，质点 P 的平均速率 v = = m / s故 B 错误；
0.35 35
2p
C．当 t 0.35s 时，质点 Q 的振动方程可以写成 y = 2sin(wt 0 )cm，w = =10p rad / s 当 t=0.35s 时T
wt = 0 70 解得 0 = - p 故质点 Q 的振动方程为 y = 2sin(10p t
7
- p )cm 故 C 正确；
2 2
D．任意时刻，质点 P、Q 沿 x 轴方向的距离一定是 6m，但 P、Q 两点的距离不一定是 6m，故 D 错误。
故选 C。
3T
2．一个在 x 轴方向做简谐运动的质点其部分振动图像如图所示，振动周期为T ，则该质点在 0 到 时间
4
内走过的路程为（ ）
2
A．3A B． 2 2 A C． 4 - 2 A D． 3 - 2 ÷ Aè
p 3
【答案】C 2【详解】设质点振动方程为 x = Asin wt 0 当 t1 = 0时 A = Asin
2 0
解得 0 = t = T 时4 2 4
2 3 2 x = Asin wt = - A 0 ~ T 的路程2A A - A÷ 2 = 4A - 2A2 0 故选 C。2 4 è 2
3．坐标原点处质点在 t=0 时刻从平衡位置开始振动，振动沿 x 轴正方向传播，t=1.8s 时刻 x=0 到 x=45m 之
间第一次出现如图所示的波形，这时波源处质点振动时间不超过 1.5 个周期，则下列判断正确的是
（ ）
A．波源处质点起振方向为 y 轴正方向
B．波传播速度大小为 20m/s
C．波源处质点的振动方程为 y = -2sin
4 p t （cm）
5
D．t=1.8s 时刻，x=25m 的质点振动已通过的路程为 4cm
【答案】D
【详解】A．根据题意可知，t=1.8s 时刻波传播到 x=45m 处，根据波前振动可知，波源处质点起振方向为
y 轴负方向。故 A 错误；
x
B．波的传播速度 v = = 25m/s 故 B 错误；
t
l 2p 5
C．波动周期T = =1.6s 因此波源处质点的振动方程为 y = -2sin t(cm) = -2sin t(cm) 故 C 错误；
v T 4
D．由波动图像可知 t=1.8s 时刻，x=25m 的质点已振动半个周期，振动已通过的路程为 s=2A=4cm 故 D 正
确。故选 D。
4．如图所示，一根长为 l、粗细均匀且横截面积为S 的木筷下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大装有水的容器
中。现把木筷往上提起一小段距离后放手，木筷就在水中上下做简谐振动。已知铁丝与木筷总质量为m0 ，
m
木筷与铁丝整体的等效密度为r1，水的密度为 r2。简谐运动的周期公式T = 2p ，其中 k 是回复力与位k
移的比例系数，m 为系统的质量。当地重力加速度为 g。忽略铁丝的体积，则该系统振动的周期为
（ ）
r l
A．T
l
= 2p B．T = 2p 2
g r1g
T m mC． = 2p 0 D 0．T = 2p
r2gS r1gS
【答案】C
【详解】CD.平衡时，有m0g = F浮 = r2gSh 取向下为正，向下移动位移为 x 时，浮力增大DF浮 = r2gSx木筷
就在水中上下做简谐振动，所以有F合 = -DF浮 = -r2gSx = -kx 可得 k = r2gS 该系统振动的周期为
T 2p m 2p m= = 0 故 C 正确，D 错误；
k r2gS
m r l
AB. 0由题知m0 = r1Sl 带入可得T = 2p = 2p 1 故 AB 错误。故选 C。r2gS r2g
5．如图所示，单摆在光滑斜面上做简谐运动，若要使其做简谐运动的周期变大，可以（ ）
A．使斜面倾角变大 B．使单摆摆长变长 C．使摆球质量变大 D．使单摆振幅变大
【答案】B
mg sinq
【详解】在斜面上单摆的等效重力加速度为 g ' = = g sinq 单摆在光滑斜面上做简谐运动的周期
m
T = 2p L 若要使其做简谐运动的周期变大，可以让摆长变大或斜面倾角变小都可以。故选 B。
gsinq
6．某学习小组利用假期往返湖南，北京两地，研究了单摆周期与摆长的关系，图甲是两地的T 2 —L 图
像，图乙是在湖南绘制的不同摆长的振动图像，关于本次实验，下列说法正确的是（ ）
A．图甲中 A 代表重力加速度大，是北京测量的图像
B．图甲中 B 代表重力加速度小，是湖南测量的图像
C．图乙中 a、b 对应的摆长比为 2∶3
D．图乙中 a、b 对应的摆长比为 4∶9
【答案】D
L 4p 2 4p 2
【详解】AB．根据T = 2p 2可得T = L故图像的斜率表示 k = 图甲中 A 代表重力加速度小，是湖
g g g
南测量的图像，B 代表重力加速度大，是北京测量的图像。故 AB 错误；
CD．图乙中 a、b 的周期之比为 2：3，则根据T = 2p
L
可知 a、b 对应的摆长比为 4∶9。故 C 错误；D 正
g
确。故选 D。
7．惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期 T 与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结论，
某同学创设了“重力加速度”可以认为调节的实验环境：如图 1 所示，在水平地面上固定一倾角 θ 可调的光
滑斜面，把摆线固定于斜面上的 O 点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至 A 点，静止释放后，摆球在 ABC
之间做简谐运动，摆角为 α。在某次实验中，摆球自然悬垂时，通过力传感器（图中未画出）测得摆线的
拉力为 F1；摆球摆动过程中，力传感器测出摆线的拉力随时间变化的关系如图 2 所示，其中 F2、F3、T0均
已知。当地的重力加速度为 g。下列选项正确的是（ ）
A．多次改变图 1 中 α 角的大小，即可获得不同的等效重力加速度
B．在图 2 的测量过程中，单摆 n 次全振动的时间为 nT0
1
C．多次改变斜面的倾角 θ，只要得出T 就可以验证该结论成立
sinq
D．在图 2 的测量过程中，满足F3 = 3F2－2F1关系
【答案】C
【详解】A．等效重力加速度 g = g sin q 所以若要获得不同的等效重力加速度，可以多次改变图 1 中q 角的
大小，故 A 错误；
B．由图 2 可知，单摆一次全振动的时间T = 2T0单摆 n 次全振动的时间 t = nT = 2nT0 故 B 错误；
1
C．若单摆做简谐运动的周期 T 与重力加速度的二次方根成反比，即T 因为 g = g sin qg 则有
T 1 T 1 所以若多次改变斜面的倾角 θ，满足 则可验证结论成立，故 C 正确；
sinq sinq
D．摆球自然悬垂时，通过力传感器测得摆线的拉力为 F1，则F1 = mg 摆球在 A 点时，有F2 = mg cosa 摆
v2
球运动到 B 点时，有F3 - mg = m 摆球从 A 点运动到 B 点的过程中，根据动能定理得l
1 mv2 = mg l 1- cosa 由以上各式解得F3 = 3F1－2F2故 D 错误。故选 C。2
8．上海中心大厦高度为中国第一，全球第二。据报道某次台风来袭时，大厦出现了晃动，然而大厦安然
无恙的原因主要靠悬挂在距离地面 583 米，重达 1000 吨的阻尼器“上海慧眼”，当台风来临时阻尼器开始减
振工作，质量块的惯性会产生一个反作用力，使得阻尼器在大楼受到风作用，易摇晃时发生反向摆动，才
使大厦转危为安。以下说法不合理的是（ ）
A．大厦能够减小振幅是因为上海慧眼“吸收”了大厦振动的能量，起到减震作用
B．如果将上海慧眼悬挂在楼层较低的空间减震效果更好
C．如遇台风天气，阻尼器摆动幅度受风力大小影响，风力越大，摆动幅度越大
D．如果发生地震，上海慧眼也可以起到减震作用
【答案】B
【详解】A．做振动的物体，其振幅大小体现能量的大小，而大厦能够减小振幅是因为上海慧眼“吸收”了大
厦振动的能量，起到减震作用，故 A 项正确，不符合题意；
B．要实现更好的空间减震效果，其上海慧眼应该悬挂在较高楼层，故 B 项错误，符合题意；
C．阻尼器的摆动幅度会受到风力的影响，风力越大，摆动幅度越大，故 C 项正确，不符合题意；
D．如果发生地震，大厦也会振动，从而使得上海慧眼做受迫运动，减小大厦的振动。即如果发生地震，
上海慧眼也可以起到减震作用，故 D 项正确，不符合题意。
故选 B。
9．如图所示，沿水平方向做简谐运动的质点，经 A 点后向右运动，从质点经过 A 点时开始计时， t1 =1s
时质点经过 B 点， t2 = 3 s 时质点也经过 B 点，已知 A、B 两点相距 0.2m 且关于质点的平衡位置对称，则
下列说法正确的是（ ）
A．该振动的振幅和周期可能是 0.1m，1s
B．该振动的振幅和周期可能是 0.1m，0.4s
C．若 t1、t2 时刻均向左经过 B 点，则振幅和周期可能为 0.2m，0.4s
D．若 t
6
1、t2 时刻分别向右、向左经过 B 点，则振幅和周期可能为 0.2m， s7
【答案】BCD
T
【详解】AB．若振幅 A1 = 0.1m，在 0~1s 时间内根据简谱运动的周期性有 1 nT1 =1s n = 0,1,2, × × × 在 1~3s2
时间内根据简谐运动的周期性有 n T1 = 2s n =1,2,3, × × × 当T1 = 0.4s时 n = 2 n = 5满足题意，周期为 1s 时不
同时满足上述两个公式，故 A 错误，B 正确。
CD．若振幅 A1 = 0.2m且质点 t1 时刻向右经过 B 点、 t2 时刻向左经过 B 点，在 0~1s 时间内根据简谐运动的
T
周期性有 2 nT2 =1s n
T
= 0,1,2, × × × 在 1~3s 时间内根据简谐运动的周期性有 2 n T2 = 2s n = 0,1,2, × × × 当6 3
T 62 = s 时 n =1 n = 2 若振幅 A1 = 0.2m且 t1、t2 时刻均向左经过 B 点，在 0~1s 时间内根据简谐运动的周期性7
T
有 3 nT3 =1s n = 0,1,2, × × × 在 1~3s 时间内根据简谐运动的周期性有 n T3 = 2s n = 0,1,2, × × × 当T3 = 0.4s 时2
n = 2 n = 5故 CD 正确。
故选 BCD。
10．如图甲，“笑脸弹簧小人”由头部、弹簧及底部组成，将弹簧小人静置于桌面上，轻压头部后静止释
放，小人不停上下振动，非常有趣．可将其抽象成如图乙所示的模型，头部的质量为 m，弹簧质量不计，
m 1 2
劲度系数为 k，底部的质量为 ．已知当弹簧形变量为 x 时，其弹性势能Ep = kx ，不计一切摩擦和空气2 2
阻力，重力加速度大小为 g，弹簧始终在弹性限度内，下列说法中正确的是（ ）
3mg
A．将弹簧小人静置于桌面上，轻压头部后由静止释放，底部不离开桌面，下压的最大距离为
2k
B．将弹簧小人静置于桌面上，轻压头部后由静止释放，底部不离开桌面，压力做功的最大值为
9m2g 2
8k
25m2C g
2
．若弹簧小人在振动过程中底部恰好不离开桌面，则弹簧的最大弹性势能为
8k
D m．若刚释放时头部的加速度大小为 g，则小人在运动过程中头部的最大速度为 2g
k
【答案】ABC
【详解】A．静置于桌面的弹簧小人，弹簧压缩量为 x0 ，则 kx0 = mg 轻压头部后做简谐运动，底部不离开桌
1 3mg 3mg
面，弹簧的最大伸长量为x1，则 kx1 = mg 最大振幅为 A = x0 x1则 A = 故下压的最大距离为 ，2 2k 2k
故 A 正确；
B．从平衡位置缓慢下压 A 时最大压力为 F，有F mg = k x0 A 解得F
3
= mg 压力做功的最大值为
2
W 0 F 9m
2
A g
2
= = 故 B 正确；
2 8k
C 1 25m
2g 2
．弹簧的最大压缩量为Dx = x0 A则弹簧的最大弹性势能为Ep = k(Dx)
2 = 故 C 正确；
2 8k
2mg
D．若刚释放时头部的加速度大小为 g，设弹簧的压缩量为 x0 ，则 kx0 - mg = mg 解得 x0 = 头部往上运k
1 2 1 2 m
动至弹簧压缩量为 x0 时头部速度最大，则 k x0 - x0 = mvm 解得 vm = g 故 D 错误。故选 ABC。2 2 k
11．一质点做简谐运动时其相对于平衡位置的位移 x 与时间 t 的关系图线如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A．该简谐运动的周期为5 10-2s ，振幅为 28cm
B．该简谐运动的表达式为 x =14sin
50p t 3p ÷cm
è 2
C． t = 0.5 10-2s时质点的速度最大，且方向沿 x 轴负方向
D． t = 0.5 10-2s时质点的位移为-7 2cm
【答案】BD
【详解】A．由图可知该简谐运动的周期T = 4 10-2s 振幅 A =14cm，A 项错误；
3p
B．由角频率w
2p
= = 50p rad / s所以质点做简谐运动的表达式为 x =14sin
50p t
÷cm 或T è 2
x =14sin 50p t
p
- cm，B 项正确；
è 2 ÷
C． t =1 10-2s时质点位于平衡位置，速度最大，质点沿 x 轴正方向运动，C 项错误；
D．当 t = 0.5 10-2s 时质点的位移为 x =14sin 50p t
3p
cm 2÷ = -14 cm = -7 2cm ，D 项正确。故选
è 2 2
BD。
12．如图，水平轻质弹簧右端固定，左端与物体b 连接，物体b 静止在光滑水平面上，弹簧处于原长状
态。物体 a以水平初速度 v0滑上物体b ，最终两者相对静止。用 v- t 图像表示两者的运动情况，可能发生
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】AB．两图中，a、b 达到共速时，由于惯性，ab 将继续运动，弹簧发生形变，加速度不为零，只
要 ab 间静摩擦力足够大，ab 可一起做简谐运动，故 A 错误，B 正确；
CD．两图中，由图可知，达到共速前，a 相对 b 超前，a 受到的滑动摩擦力方向保持向左，做匀减速运
动；达到共速前，b 物体受到弹簧弹力和大小不变、方向向右的滑动摩擦力，可知 b 做简谐运动。当达到
共速时，两者恰好速度为零，此时弹簧恢复原长，物体加速度为零，故两者保持静止，故 C 正确，D 错
误。
故选 BC。
13．如图所示为某演示机械能守恒的实验示意图。细绳的一端固定于 O 点，另一端系一个小球，摆长为
l
l。在 O 点的正下方钉一个钉子 A，已知OA = ，摆球质量为 m，小球从一定高度位置 P 摆下，摆角 θ 小
4
于 5°，向右摆到最高点 Q，摆角q 也小于 5°，不计阻力，重力加速度为 g。下列说法正确的是（ ）
mg
A．摆球受到绳子最大拉力为 11-8cosq
3
mg
B．摆球到达最低点时，绳子拉力的功率为 11-8cosq 2gl 1- cosq
3
3 l
C．摆球摆动的周期为 1 p
è 2 ÷
÷
g
D．摆球从 P 到 M 和从 Q 到 M 过程中重力做功的平均功率相等
【答案】AC
F mg m v
2
- =
【详解】A．摆球摆到 M 点以 A 为圆心做圆周运动时，绳子拉力最大，根据牛顿第二定律 l l-
4
1
摆球从 P 到 M，根据动能定理有mgl 1- cosq = mv2 F mg解得 = 11-8cosq 故 A 正确；
2 3
B．摆球到达最低点时，由于拉力与速度垂直，因而绳子拉力功率为零，故 B 错误；
l l-
C．摆球摆动周期为 T T = 1 T 1 2 = 2p l 1 2p 4 = 1 3 l p 故 C 正确；
2 2 2 g 2 g è 2 ÷
÷
g
T 1
D．根据能量守恒，摆球从 P 到 M 和 Q 到 M 过程中重力做功相等，由于 t 1PM = = 2p
l l
= p ，
2 2 g g
l
T l -t = 2 1= 2p 4 3p l= t 但时间不同，因而做功的平均功率不同，故 D 错误。故选 AC。MQ 2 2 g 2 g PQ
14．用轻质绝缘细线悬挂带正电的小球，如图 1 所示。将装置分别放入图 2 所示的匀强电场，图 3 所示的
匀强磁场中。将小球从偏离竖直方向左侧的一个小角度 θ 处由静止释放，三种情况下，小球均在竖直平面
内往复运动，周期分别为 T1、T2、T3，小球第一次到达轨迹最低点时的速度大小分别为 v1、v2、v3，不计
空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球第一次到达轨迹最低点时的速度关系 v1 = v3 B．三种情况小球第一次到达最低点时对绳的拉力相同
C．三种情况下小球运动的周期关系 T1 = T3 > T2
D．三种情况下小球到达右侧最高点的高度各不相同
【答案】AC
【详解】A．小球第一次到达轨迹最低点的过程中，球 1 受拉力与重力的作用，只有重力做正功；球 2 受
拉力、重力和电场力的作用，重力和电场力均做正功；球 3 受拉力、重力和洛伦兹力的作用，只有重力做
正功。根据动能定理可知，小球第一次到达轨迹最低点时的速度关系为 v1 = v3 v2 v2B．球 1 与球 3 在最低点速度相同，对球 1 有F1 - mg = m 1 对球 3 有F 3L 3
F洛 - mg = m 则FL 1
F3故 B 错
误；
C．根据周期公式T = 2p
L
对球 3 有，从左向右运动时洛伦兹力竖直分力方向向上，从右向左运动时洛伦
g
兹力竖直分力方向向下，由对称性知，洛伦兹力的影响在一个周期内可抵消，即 T3=T1；对球 2 有，电场
力与重力的合力为等效重力，则其等效重力加速度变大，故周期变小，因此三种情况下小球运动的周期关
系为 T1 = T3 > T2，故 C 正确；
D．球 1 与球 3 都只有重力做功，机械能守恒，因此在右侧最高点高度相同；对球 2 到达右侧最高点时，
只分析初末状态，因为重力和电场力做功与路径无关，因此初末位置一定在同一高度。则三种情况下小球
到达右侧最高点的高度均相同，故 D 错误；故选 AC。
15．如图所示，在一个水平放置的槽中，小球 m 自 A 点以沿 AD 方向的初速度 v 开始运动，已知圆弧 AB
＝0.9m，AB 圆弧的半径 R＝10m，AD＝10m，A、B、C、D 在同一水平面内不计摩擦，重力加速度 g 取
10m/s2，欲使小球恰能通过 C 点，则其初速度的大小可能是（ ）
10
A． m/s
10 10
B． m/s C． m/s
10
D． m/s
p 2p 3p 4p
【答案】AC
【详解】小球 m 自 A 点以向 AD 方向的初速度 v 开始运动，把小球的运动进行分解，一个是水平方向的匀
R
速运动，一个是在竖直面上的单摆，根据单摆周期公式有T = 2p = 2ps小球 m 自 A 点运动到 C 点，在
g
T
竖直面上运动的时间为 t = (2n 1) = (2n 1)ps(n = 0,1,2,3...)由于分运动的等时性，所以初速度为
2
v AD 10= = m/s(n = 0,1,2,3...) v 10 10
t (2n 1) 当 n=0p 时，则 1
= m/s 当 n=1 时，则 v2 = m/s 故选 AC。 p 3p
16．甲、乙两位同学利用假期分别在两个不同省会城市做“用单摆测重力加速度”的实验，记录不同摆长 L
对应的周期 T，开学回来后共同绘制了T 2 - L图像，如图甲中 A、B 所示。此外乙同学还对实验的单摆施加
了驱动力使其做受迫振动，并绘制了此单摆的共振曲线，如图乙所示。下列说法中正确的是（ ）
A．由图甲可知，A 图像所对应的实验地点的重力加速度较大
B．单摆的固有周期由摆长和当地的重力加速度共同决定
C．由图乙可知，乙同学探究受迫振动的单摆摆长约为 1m
D．如果乙同学增大摆长，得到的共振曲线的峰值位置将向右移动
【答案】BC
T 2p L T 2 4p
2
L k 4p
2
【详解】A．根据单摆的固有周期公式 = 可得 = 所以T 2 - L图像的斜率为 = 图甲中 A
g g g
图线的斜率大于 B 图线的斜率，故 A 图线所对应的实验地点的重力加速度较小，故 A 错误；
L
B．单摆的固有周期公式为T = 2p ，L 为摆长，g 为当地的重力加速度，故 B 正确；
g
C．由图乙可知，当驱动力的频率为 0.5Hz 时，单摆发生共振，故系统的固有频率为 0.5Hz，固有周期为
T 1= = 2s根据T = 2p
L
f 解得摆长为 L 1m 故 C 正确；g
D．根据T
L
= 2p 可知，若在同一地点增大摆长，则单摆固有周期变大，固有频率变小，则发生共振时的
g
驱动力频率变小，共振曲线的峰值位置向左移动，故 D 错误。故选 BC。
17．（2024·甘肃·高考真题）如图为某单摆的振动图像，重力加速度 g 取10m/s2 ，下列说法正确的是
（ ）
A．摆长为 1.6m，起始时刻速度最大 B．摆长为 2.5m，起始时刻速度为零
C．摆长为 1.6m，A、C 点的速度相同 D．摆长为 2.5m，A、B 点的速度相同
【答案】C
l
【详解】由单摆的振动图像可知振动周期为T = 0.8ps，由单摆的周期公式T = 2p 得摆长为
g
gT 2l = 2 =1.6m x-t 图像的斜率代表速度，故起始时刻速度为零，且 A、C 点的速度相同，A、B 点的速度大4p
小相同，方向不同。
综上所述，可知 C 正确，故选 C。
18．（2024·浙江·高考真题）如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为 0.1kg 的小铁球，两端 A、B 悬挂
在倾角为 30°的固定斜杆上，间距为 1.5m。小球平衡时，A 端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的
扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与 AB 交点的单摆，重力加速度 g =10m / s2 ，则
（ ）
A．摆角变小，周期变大
B．小球摆动周期约为 2s
C 3．小球平衡时，A 端拉力为 N
2
D．小球平衡时，A 端拉力小于 B 端拉力
【答案】B
L
【详解】A．根据单摆的周期公式T = 2p 可知周期与摆角无关，故 A 错误；
g
CD．同一根绳中，A 端拉力等于 B 端拉力，平衡时对小球受力分析如图
mg 3
可得 2FA cos30° = mg 解得FA = FB = = N 故 CD 错误；2cos30° 3
1.5m tan 30° L
B．根据几何知识可知摆长为 L = =1m故周期为T = 2p 2s故 B 正确。故选 B。
cos30° g考点 29 机械振动
1. 高考真题考点分布
题型 考点考查 考题统计
选择题 简谐运动公式与图像 2024 年北京卷
选择题 单摆与图像 2024 年甘肃卷
选择题 单摆 2024 年 6 月浙江卷
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】高考对机械振动的考查较为频繁，题目以选择题形式出现的几率较高，难度上大多不大。这
部分内容也会与机械波结合考查。
【备考策略】
1.理解和掌握简谐运动的基本规律和图像。
2.能够利用简谐运动的基本规律处理有关弹簧振子和单摆模型的有关问题。
3.理解和掌握受迫振动和共振。
【命题预测】重点关注有关弹簧振子和单摆模型的简谐运动的基本规律。
一、简谐运动 单摆、单摆的周期公式
1．简谐运动
(1)定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(xt 图像)是一条正弦曲线，这
样的振动是一种简谐运动。
(2)条件：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，
质点的运动就是简谐运动。
(3)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
(4)回复力
①定义：使物体返回到平衡位置的力。
②方向：总是指向平衡位置。
③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
(5)简谐运动的特征
①动力学特征：F 回＝－kx。
②运动学特征：x、v、a 均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意 v、a 的变化趋势相反)。
③能量特征：系统的机械能守恒，振幅 A 不变。
2．单摆、单摆的周期公式
(1)单摆
①用细线悬挂着小球在竖直平面内摆动，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线长度相比也
可以忽略，空气等对小球的阻力与它受到的重力及绳的拉力相比可以忽略，这样的装置就叫作单摆。
②单摆是实际摆的理想化模型。我们总要尽量选择质量大、体积小的球和尽量细的线。
(2)单摆的回复力
①单摆的回复力是由重力沿圆弧切线方向的分力 F＝mgsin θ 提供的，如图所示。
x
②在最大偏角很小的条件下，sin θ≈ ，其中 x 为摆球偏离平衡位置 O 点的位移。
l
mg mg
单摆的回复力 F＝－ x，令 k＝ ，则 F＝－kx。
l l
③在偏角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，因
此单摆做简谐运动。
(3)周期公式
①提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
l
②公式：T＝2π ，即单摆做简谐运动的周期 T 与摆长 l 的二次方根成正比，与重力加速度 g 的二次方根
g
成反比，而与振幅、摆球质量无关。
二、简谐运动的公式和图像
1．简谐运动的表达式
(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
(2)运动学表达式：x＝A_sin_(ωt＋φ)，其中 A 代表振幅，ω＝2πf 表示简谐运动的快慢。
2．简谐运动的图像
(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为 x＝A sin ωt，图像如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为 x＝A cos ωt，图像如图乙所示。
三、受迫振动和共振
1．受迫振动
系统在驱动力作用下的振动。物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或
频率)，与物体的固有周期(或频率)无关。
2．共振
做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，
这就是共振现象。受迫振动的振幅与驱动力频率的关系如图所示。
考点一 简谐运动的基本规律
考向 1 简谐运动中各物理量的分析
分析简谐运动的技巧：
分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加
速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方
向。
1．如图所示，水平弹簧振子沿 x 轴在 M、N 间做简谐运动，坐标原点 O 为振子的平衡位置，其振动方程
为 x = 5sin(10p t)cm。下列说法正确的是（ ）
A．MN 间距离为 5cm
B．振子的运动周期是 0.2s
C． t = 0时，振子位于 N 点
D． t = 0.05s 时，振子具有最大速度
2．一质点做简谐运动，其振动图像如图所示。 t=4s时，关于质点运动的说法正确的是（ ）
A．速度为正向最大值，加速度为零 B．速度为负向最大值，加速度为零
C．速度为零，加速度为正向最大值 D．速度为零，加速度为负向最大值
考向 2 简谐运动的特征应用
1.简谐运动的特征
位移特征 x = Asin( t )
受力特征 回复力：F=-kx；F(或 a)的大小与 x 的大小成正比，方向相反。
能量特征 系统的动能和势能相互转化,机械能守恒
质点经过关于平衡位置 O 对称的两点时,速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位
对称性特征
置的位移大小相等；由对称点到平衡位置用时相等。
质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周
周期性特征 T
期 T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
2
2. 注意：
（1）弹簧振子（或单摆）在一个周期内的路程一定是 4A，半个周期内路程一定是 2A，四分之一周期内的
路程不一定是 A。
（2）弹簧振子周期和频率由振动系统本身的因素决定（振子的质量 m 和弹簧的劲度系数 k ），与振幅无关。
3．一质点做简谐运动相继通过距离为16cm的两点 A 和 B，历时 1s，并且在 A，B 两点处具有相同的速
度，再经过 2s，质点第 2 次经过 B 点，该质点运动的周期和振幅分别为（ ）
A 3s 16 3． ， cm B．6s，16cm C 6s 16 3． ， cm D．4s，8 2cm
3 3
4．如图所示，劲度系数为 k 的竖直轻弹簧的下端固定在水平地面上，其上端拴接一质量为m 的物体 A，初
始时系统处于静止状态，将另一与 A 完全相同的物体 B 轻放在 A 上，之后两物体在竖直方向上运动，不计
一切阻力，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为 g ，则弹簧最大的形变量为（ ）
mg 2mg 3mg 4mg
A． B． C． D．
k k k k
考点二 简谐运动的公式和图像
考向 1 从振动图像获取信息
1.判定振动的振幅 A 和周期 T。(如图所示)
2.判定振动物体在某一时刻的位移。
3.判定某时刻质点的振动方向：
①下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；
②下一时刻位移如果减小，质点的振动方向指向平衡位置。
4.判定某时刻质点的加速度(回复力)的大小和方向。
从图像读F＝－kxF 的大小 F＝ma取 x 大小 ――→ ――→a 的大小
及方向 及方向 及方向
5.比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小。
5．如图所示，粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在水杯中。将木筷竖直提起一段距离，然
后由静止释放并开始计时，木筷就在水中上下振动，在一段时间内木筷在竖直方向可近似看做简谐运动。
若取竖直向上为正方向，图中描述木筷振动的图像正确的是（ ）。
A． B． C． D．
6．如图所示为甲、乙弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是（ ）
A．两弹簧振子的初相位不同
B．甲系统的机械能比乙系统的大
C．甲、乙两个弹簧振子在前 2s内加速度方向相反
D． t = 2s时，甲具有负方向最大速度，乙具有正方向最大位移
考向 2 根据条件写出振动方程
简谐运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，主要是根据条件确定振动的 A、ω和 φ，其中初位相多通过数学
有关正余弦函数的知识加以确认。
7．如图甲所示，质量为 m 的物体 B 放在水平面上，通过轻弹簧与质量为 2m 的物体 A 连接，现在竖直方
向给物体 A 一初速度，当物体 A 运动到最高点时，物体 B 与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计
时，物体 A 的位移随时间的变化规律如图乙所示，已知重力加速度为 g，则下列说法正确的是（ ）
A． t1 0.25 s ~ t1 0.5 s时间内，物体 A 的速度与加速度方向相反
B．物体 A 在任意一个 1.25s 内通过的路程均为 50cm
C．物体 A 的振动方程为 y = 0.1sin(2πt
5π
)m
6
D．物体 B 对水平面的最大压力为 6mg
8．如图 1 所示，竖直弹簧上端固定，质量为 m 的小球在竖直方向做振幅为 A 的简谐运动，振动周期为
T，O 点为平衡位置，重力加速度为 g，弹簧的劲度系数为 k。以竖直向上为正方向，t=0 时刻开始计时，
此后振动图像如图 2 所示，下列说法正确的是（ ）
A．振动表达式为 x = Asin
2p t 5p -
è T 6 ÷
1
B． t = T 时刻，小球机械能最大
6
C．在 t1 : t2 时间内，小球位移减小，加速度减小，速度减小
D．弹簧的最大拉力为 kA
考点三 简谐运动的两类模型
模型 弹簧振子 单摆
示意图
(1)弹簧质量可忽略； (1)摆线为不可伸缩的轻细线；
简谐运动条件 (2)无摩擦等阻力； (2)无空气等阻力；
(3)在弹簧弹性限度内 (3)最大摆角小于 5°
摆球重力沿与摆线垂直(即切向)方向
回复力 弹簧的弹力
的分力
平衡位置 弹簧处于原长处 最低点
l
周期 与振幅无关 T＝2π
g
弹性势能与动能的相互转 重力势能与动能的相互转化，机械
能量转化
化，机械能守恒 能守恒
考向 1 弹簧振子模型
9．图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，
以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度 a 随时间 t 变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法
正确的是（ ）
A． t = 0时，弹簧弹力为 0
B． t = 0.2s时，手机位于平衡位置上方
C．从 t = 0至 t = 0.2s，手机的动能增大
D．a 随 t 变化的关系式为 a = 4sin(2.5p t)m/s2
10．如图所示，一劲度系数为 100 N/m的弹簧上端固定在天花板上，下端连接一质量为 0.1 kg的重物（可
看作为质点），将重物向下拉动一段距离让其以 O 点为平衡位置在 B、C 两点之间做简谐运动，B、C 两点
相距 4 cm，P 点为OB的中点。重物从 B 点到第二次经过 O 点，所用的时间为 0.9s，若重物经过 B 点时开
始计时，取向上为正方向，重力加速度大小 g = 10m/s2 。下列说法正确的是（ ）
5p 3p
A．该重物做简谐运动的振动方程是 y = 2sin t cm
è 3 2 ÷
B．从 t = 0时刻开始到重物第二次经过 P 点的时间 t0 是 1.0s
C．重物在平衡位置 O 时弹簧伸长量为 1 cm
D．重物处于 P 点时弹簧的回复力大小是 2N
考向 2 单摆模型
11．如图，用两根完全相同、不可伸长的轻绳将小沙包（大小可忽略）对称地吊在空中，轻推小沙包，测
得其在垂直纸面平面内做简谐运动的周期为T0（已知在一根竖直绳悬挂下做简谐运动的小物体的周期为
T 2p l= ，l 为绳长，g 为重力加速度），已知每根轻绳的长度为 L，小沙包的质量为 m，则小沙包静止
g
时，每根绳子张力为（ ）
2mLp 2 4mLp 2 2mLp 3 2mLp 2
A． 2 B． 2 C． 2 D．T T T 0 0 0 T0
12．如图甲所示的漏斗在做简谐运动的同时，小付同学将下方的薄木板沿箭头方向拉出，漏斗 3s 内漏出的
细沙在板上形成的曲线如图乙所示，当地重力加速度大小 g = 9.8m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．该沙摆的周期为 3s
B．该沙摆的摆长约为 2m
C．由图乙可知，木板被匀加速拉出
D．当图乙中的 B 点通过沙摆正下方时，薄木板的速度大小为 17.5m/s
考点四 受迫振动和共振
1．简谐运动、受迫振动和共振的比较
振动
简谐运动 受迫振动 共振
项目
受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周期 由系统本身性质决定，即 由驱动力的周期或频率决
T 驱＝T0或 f 驱＝f0
或频率 固有周期 T0或固有频率 f0 定，即 T＝T 驱或 f＝f 驱
振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
机械工作时底座发生的振
常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 共振筛、声音的共鸣等
动
2.共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率 f，纵坐标为振幅 A，它直观地反映了驱动力的频率对某固有
频率为 f0 的振动系统做受迫振动振幅的影响，由图可知，f 与 f0 越接近，振幅 A 越大；当 f＝f0 时，振幅 A
最大。
3.受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
考向 1 受迫振动和共振规律
13．如图所示为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线（振幅A 与驱动力频率 f 的关系），则下列说法
正确的是（ ）
A．此单摆的固有周期约为 0.5s
B．若摆长变小，共振曲线的峰将左移
C．若保持摆长不变，将该单摆移至月球表面上做受迫振动，则共振曲线的峰将左移
D．此单摆的摆长约为 3m
14．如图所示，在张紧的绳上挂了 A、B、C、D 四个单摆，A 摆与 C 摆的摆长相等，D 摆的摆长最长，B 摆
最短。先将 A 摆拉离平衡位置后释放（摆角不超过 5°），则下列说法中正确的是（ ）
A．所有摆都做自由振动 B．所有摆均以相同摆角振动
C．所有摆均以相同频率振动 D．D 摆振幅最大
考向 2 实际生活中的受迫振动和共振
15．2024 年 4 月 3 日，中国台湾花莲县海域发生 7.3 级地震，震源深度 12km。如图所示，高度约为 30m
的“天王星大楼”发生严重倾斜，是所受地震影响最大的建筑物之一。若钢混结构建筑物的固有频率与其高
度的平方成正比，其比例系数为 0.1，则地震波到达地面的频率最可能是（ ）
A．10Hz B．30Hz C．60Hz D．90Hz
16．小孩在果园里，摇动细高的果树的树干，想把果子摇下来，下列说法正确的是（ ）
A．小孩用相同的频率摇不同的树干，树干的振动频率一定不同
B．小孩用相同的频率摇不同的树干，树干的振动频率一定相同
C．对同一棵树，小孩摇动的频率增大，树干振动的幅度一定增大
D．对同一棵树，小孩摇动的频率减小，树干振动的幅度一定增大
1．一列简谐横波在 x 轴上传播，位于坐标原点的波源起振时开始计时，t=0.35s 时恰好传播到 x=14m 的质
点 Q 处，波形如图所示。P 为介质中 x=8m 处的质点。下列说法正确的是（ ）
A．该波在介质中的传播速度为 4m/s
B．在 0~0.35s 内，质点 P 的平均速率为 0.4m/s
7
C．质点 Q 的振动方程为 y = 2sin(10p t - p )cm(t 0.35s)
2
D．任意时刻，质点 P、Q 间的距离均为 6m
3T
2．一个在 x 轴方向做简谐运动的质点其部分振动图像如图所示，振动周期为T ，则该质点在 0 到 时间
4
内走过的路程为（ ）
2
A．3A B． 2 2 A C． 4 - 2 A D． 3 - A
è 2
÷
3．坐标原点处质点在 t=0 时刻从平衡位置开始振动，振动沿 x 轴正方向传播，t=1.8s 时刻 x=0 到 x=45m 之
间第一次出现如图所示的波形，这时波源处质点振动时间不超过 1.5 个周期，则下列判断正确的是
（ ）
A．波源处质点起振方向为 y 轴正方向
B．波传播速度大小为 20m/s
C．波源处质点的振动方程为 y = -2sin
4 p t （cm）
5
D．t=1.8s 时刻，x=25m 的质点振动已通过的路程为 4cm
4．如图所示，一根长为 l、粗细均匀且横截面积为S 的木筷下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大装有水的容器
中。现把木筷往上提起一小段距离后放手，木筷就在水中上下做简谐振动。已知铁丝与木筷总质量为m0 ，
m
木筷与铁丝整体的等效密度为r1，水的密度为 r2。简谐运动的周期公式T = 2p ，其中 k 是回复力与位k
移的比例系数，m 为系统的质量。当地重力加速度为 g。忽略铁丝的体积，则该系统振动的周期为
（ ）
r l
A．T = 2p
l
B．T = 2p 2
g r1g
T 2p m mC = 0 D 0． ．T = 2p
r2gS r1gS
5．如图所示，单摆在光滑斜面上做简谐运动，若要使其做简谐运动的周期变大，可以（ ）
A．使斜面倾角变大 B．使单摆摆长变长 C．使摆球质量变大 D．使单摆振幅变大
6．某学习小组利用假期往返湖南，北京两地，研究了单摆周期与摆长的关系，图甲是两地的T 2 —L 图
像，图乙是在湖南绘制的不同摆长的振动图像，关于本次实验，下列说法正确的是（ ）
A．图甲中 A 代表重力加速度大，是北京测量的图像
B．图甲中 B 代表重力加速度小，是湖南测量的图像
C．图乙中 a、b 对应的摆长比为 2∶3
D．图乙中 a、b 对应的摆长比为 4∶9
7．惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期 T 与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结论，
某同学创设了“重力加速度”可以认为调节的实验环境：如图 1 所示，在水平地面上固定一倾角 θ 可调的光
滑斜面，把摆线固定于斜面上的 O 点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至 A 点，静止释放后，摆球在 ABC
之间做简谐运动，摆角为 α。在某次实验中，摆球自然悬垂时，通过力传感器（图中未画出）测得摆线的
拉力为 F1；摆球摆动过程中，力传感器测出摆线的拉力随时间变化的关系如图 2 所示，其中 F2、F3、T0均
已知。当地的重力加速度为 g。下列选项正确的是（ ）
A．多次改变图 1 中 α 角的大小，即可获得不同的等效重力加速度
B．在图 2 的测量过程中，单摆 n 次全振动的时间为 nT0
1
C．多次改变斜面的倾角 θ，只要得出T 就可以验证该结论成立
sinq
D．在图 2 的测量过程中，满足F3 = 3F2－2F1关系
8．上海中心大厦高度为中国第一，全球第二。据报道某次台风来袭时，大厦出现了晃动，然而大厦安然
无恙的原因主要靠悬挂在距离地面 583 米，重达 1000 吨的阻尼器“上海慧眼”，当台风来临时阻尼器开始减
振工作，质量块的惯性会产生一个反作用力，使得阻尼器在大楼受到风作用，易摇晃时发生反向摆动，才
使大厦转危为安。以下说法不合理的是（ ）
A．大厦能够减小振幅是因为上海慧眼“吸收”了大厦振动的能量，起到减震作用
B．如果将上海慧眼悬挂在楼层较低的空间减震效果更好
C．如遇台风天气，阻尼器摆动幅度受风力大小影响，风力越大，摆动幅度越大
D．如果发生地震，上海慧眼也可以起到减震作用
9．如图所示，沿水平方向做简谐运动的质点，经 A 点后向右运动，从质点经过 A 点时开始计时， t1 =1s
时质点经过 B 点， t2 = 3 s 时质点也经过 B 点，已知 A、B 两点相距 0.2m 且关于质点的平衡位置对称，则
下列说法正确的是（ ）
A．该振动的振幅和周期可能是 0.1m，1s
B．该振动的振幅和周期可能是 0.1m，0.4s
C．若 t1、t2 时刻均向左经过 B 点，则振幅和周期可能为 0.2m，0.4s
6
D．若 t1、t2 时刻分别向右、向左经过 B 点，则振幅和周期可能为 0.2m， s7
10．如图甲，“笑脸弹簧小人”由头部、弹簧及底部组成，将弹簧小人静置于桌面上，轻压头部后静止释
放，小人不停上下振动，非常有趣．可将其抽象成如图乙所示的模型，头部的质量为 m，弹簧质量不计，
m 1
劲度系数为 k，底部的质量为 ．已知当弹簧形变量为 x 时，其弹性势能Ep = kx
2
，不计一切摩擦和空气
2 2
阻力，重力加速度大小为 g，弹簧始终在弹性限度内，下列说法中正确的是（ ）
3mg
A．将弹簧小人静置于桌面上，轻压头部后由静止释放，底部不离开桌面，下压的最大距离为
2k
B．将弹簧小人静置于桌面上，轻压头部后由静止释放，底部不离开桌面，压力做功的最大值为
9m2g 2
8k
C 25m
2g 2
．若弹簧小人在振动过程中底部恰好不离开桌面，则弹簧的最大弹性势能为
8k
D m．若刚释放时头部的加速度大小为 g，则小人在运动过程中头部的最大速度为 2g
k
11．一质点做简谐运动时其相对于平衡位置的位移 x 与时间 t 的关系图线如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A．该简谐运动的周期为5 10-2s ，振幅为 28cm
3p
B．该简谐运动的表达式为 x =14sin 50p t ÷cm
è 2
C． t = 0.5 10-2s时质点的速度最大，且方向沿 x 轴负方向
D． t = 0.5 10-2s时质点的位移为-7 2cm
12．如图，水平轻质弹簧右端固定，左端与物体b 连接，物体b 静止在光滑水平面上，弹簧处于原长状
态。物体 a以水平初速度 v0滑上物体b ，最终两者相对静止。用 v- t 图像表示两者的运动情况，可能发生
的是（ ）
A． B．
C． D．
13．如图所示为某演示机械能守恒的实验示意图。细绳的一端固定于 O 点，另一端系一个小球，摆长为
l
l。在 O 点的正下方钉一个钉子 A，已知OA = ，摆球质量为 m，小球从一定高度位置 P 摆下，摆角 θ 小
4
于 5°，向右摆到最高点 Q，摆角q 也小于 5°，不计阻力，重力加速度为 g。下列说法正确的是（ ）
mg
A．摆球受到绳子最大拉力为 11-8cosq
3
mg
B．摆球到达最低点时，绳子拉力的功率为 11-8cosq 2gl 1- cosq
3
C．摆球摆动的周期为 1
3 l
2 ÷÷
p
è g
D．摆球从 P 到 M 和从 Q 到 M 过程中重力做功的平均功率相等
14．用轻质绝缘细线悬挂带正电的小球，如图 1 所示。将装置分别放入图 2 所示的匀强电场，图 3 所示的
匀强磁场中。将小球从偏离竖直方向左侧的一个小角度 θ 处由静止释放，三种情况下，小球均在竖直平面
内往复运动，周期分别为 T1、T2、T3，小球第一次到达轨迹最低点时的速度大小分别为 v1、v2、v3，不计
空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球第一次到达轨迹最低点时的速度关系 v1 = v3 B．三种情况小球第一次到达最低点时对绳的拉力相同
C．三种情况下小球运动的周期关系 T1 = T3 > T2
D．三种情况下小球到达右侧最高点的高度各不相同
15．如图所示，在一个水平放置的槽中，小球 m 自 A 点以沿 AD 方向的初速度 v 开始运动，已知圆弧 AB
＝0.9m，AB 圆弧的半径 R＝10m，AD＝10m，A、B、C、D 在同一水平面内不计摩擦，重力加速度 g 取
10m/s2，欲使小球恰能通过 C 点，则其初速度的大小可能是（ ）
10
A． m/s
10
B． m/s
10
C． m/s
10
D． m/s
p 2p 3p 4p
16．甲、乙两位同学利用假期分别在两个不同省会城市做“用单摆测重力加速度”的实验，记录不同摆长 L
对应的周期 T，开学回来后共同绘制了T 2 - L图像，如图甲中 A、B 所示。此外乙同学还对实验的单摆施加
了驱动力使其做受迫振动，并绘制了此单摆的共振曲线，如图乙所示。下列说法中正确的是（ ）
A．由图甲可知，A 图像所对应的实验地点的重力加速度较大
B．单摆的固有周期由摆长和当地的重力加速度共同决定
C．由图乙可知，乙同学探究受迫振动的单摆摆长约为 1m
D．如果乙同学增大摆长，得到的共振曲线的峰值位置将向右移动
17．（2024·甘肃·高考真题）如图为某单摆的振动图像，重力加速度 g 取10m/s2 ，下列说法正确的是
（ ）
A．摆长为 1.6m，起始时刻速度最大 B．摆长为 2.5m，起始时刻速度为零
C．摆长为 1.6m，A、C 点的速度相同 D．摆长为 2.5m，A、B 点的速度相同
18．（2024·浙江·高考真题）如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为 0.1kg 的小铁球，两端 A、B 悬挂
在倾角为 30°的固定斜杆上，间距为 1.5m。小球平衡时，A 端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的
扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与 AB 交点的单摆，重力加速度 g =10m / s2 ，则
（ ）
A．摆角变小，周期变大
B．小球摆动周期约为 2s
C．小球平衡时，A 3端拉力为 N
2
D．小球平衡时，A 端拉力小于 B 端拉力
