考点 31 用单摆测量重力加速度的大小
1. 高考真题考点分布
题型 考点考查 考题统计
实验题 用单摆测量重力加速度的大小 2024 年广西卷
实验题 用单摆测量重力加速度的大小 2023 年河北卷、重庆卷、全国新课标卷
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】各地高考对用单摆测量重力加速度的大小这个实验考查近几年频度不是太高，考查难度不大。
【备考策略】
1.理解和掌握用单摆测量重力加速度的大小实验原理，并会做出必要的误差分析。
2.能够在原型实验基础上，通过对实验的改进或者创新，做出同类探究。
【命题预测】重点关注通过创新实验实现用单摆测量重力加速度的大小。
1．实验目的
(1)练习使用停表和刻度尺。
(2)探究影响单摆运动周期的因素。
(3)学会用单摆测定当地重力加速度。
2．实验原理
l 4π2l
当摆角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为 T＝2π ，由此得到 g＝ ，因此，只要测出摆长 l 和单
g T2
摆的周期 T，就可以求出当地的重力加速度 g 的值。
3．实验器材
单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。
4．实验过程
(1)在细线的一端打一个比小球上的孔径稍大一些的结，将细线穿过球上的小孔，并把细绳上端固定在铁架
台上，制成单摆。
(2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡
位置处做上标记，如图所示。
(3)用毫米刻度尺量出摆线长度 l′，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径 r，计算出摆长 l＝
l′＋r。
(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过 5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平
稳后测出单摆完成 30～50 次全振动所用的时间 t，计算出单摆的振动周期 T。
(5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度。
(6)改变摆长，重做几次实验。
5．数据处理
t 4π2l
(1)公式法：利用 T＝ 求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式 g＝ 求重力加速度。
N T2
g
(2)图像法：根据测出的一系列摆长 l 对应的周期 T，作 lT2 的图像，由单摆周期公式得 l＝ T2，图像应是
4π2
一条通过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率 k，即可利用 g＝4π2k 求重力加速度。
6．误差分析
产生原因 减小方法
测量时间(单摆周期)及摆长时 ①多次测量求平均值
偶然误差
产生误差 ②从摆球经过平衡位置时开始计时
①摆球要选体积小，密度大的
系统误差 主要来源于单摆模型本身
②最大摆角要小于 5°
7．注意事项
(1)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。
(2)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于 5°。
(3)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。
(4)小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长 l′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径 r，则
摆长 l＝l′＋r。
(5)一般选用 1 m 左右的细线。
考点一 教材原型实验
考向 1 实验原理与操作
1．某同学用单摆周期公式测当地重力加速度的值，组装了几种实验装置。
(1)下列最合理的装置是________。
A． B． C． D．
(2)用游标卡尺测量小球直径，示数如图甲所示，则摆球的直径 d = mm。周期公式中的 l 是单摆的摆
长，其值等于摆线长与 之和（用 d 表示）。
(3)实验中多次改变摆线长度，并测得对应的周期 T，该同学误将摆线长度当成了摆长，作出T 2 - l 图像如
1 4p 2 g
图乙，该图像的斜率为 （填“ g ”“ ”或“ 2 ”）。g 4p
d 4p 2
【答案】(1)D(2) 21.25 (3)
2 g
【详解】（1）为了减小误差，小球应选取质量大体积小即密度大的铁球，还需要保证摆动过程中摆线的长
度不变，应选用细丝线，且要保证摆动过程中摆点不发生移动固定，应采取铁夹夹住细丝线。故选 D。
（2）[1]由图甲可知，摆球的直径 d = 21mm + 5 0.05mm = 21.25mm [2]周期公式中的 l 是单摆的摆长，其值
d
等于摆线长与小球半径，即 。
2
T 2p l + r 4p
2 4p 2r
（3）根据题意，由单摆的周期公式可得 = 2整理可得T = l + 则图像
g T
2 - l 的斜率为
g g
4p 2
。
g
2．某实验小组的同学用如图所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)实验室有如下器材可供选用：铁架台、足够长的细线、夹子、球心开有小孔的铁球和塑料球、游标卡
尺、1m 长的毫米刻度尺和秒表。
上述器材中，实验中不需要的是： ；
(2)在挑选合适的器材后开始实验，操作步骤如下：
①用细线和摆球制作一个单摆，然后将细线缠绕在支柱上，使摆球自由下垂，摆球静止后用米尺测量细线
悬点到摆球上边缘的距离 L，然后用游标卡尺测出小球的直径 d = cm，如图乙所示；
②将摆球从平衡位置拉开一个角度（小于 5°）后静止释放；
③待小球摆动稳定后，记录下小球第 1 次至第 51 次通过最低点的时间间隔 t = 37.5s ，得到单摆的振动周
期T = s；
④多次改变距离 L，重复上述实验，得到一系列的周期测量值；
(3)以T 2 为横轴、L 为纵轴，做出 L -T 2 图像，如图丙所示。已知图像与横轴的截距为 a、与纵轴的截距为-
b，则测量出的重力加速度 g = ；（用 a、b 和 π表示）
(4)在①~④的实验操作中，有一处操作不当，请你指出是哪个步骤 （填步骤前的序号）。
2
【答案】(1)球心开有小孔的塑料球(2) 1.64 1.5(3) 4bp (4)①
a
【详解】（1）为减小空气阻力对实验的应用，应选用球心开有小孔的铁球，故实验中不需要的是球心开有
小孔的塑料球。
（2）[1]小球的直径 d =16mm + 4 0.1mm =16.4mm =1.64cm
t 37.5
[2]小球第 1 次至第 51 次通过最低点的时间间隔为 25 个单摆周期，故单摆的振动周期T = = s=1.5s
25 25
d l
（3）细线悬点到摆球上边缘的距离 L，则单摆摆长 l = L + 又根据单摆周期公式T = 2p 综合解得
2 g
L g= 2 T
2 d b g- 又 L -T 2 图像与横轴的截距为 a、与纵轴的截距为-b，则 L -T 2 图像斜率 k = = 解得4p 2 a 4p 2
2
g 4bp=
a
（4）实验操作①中有一处操作不当，用细线和摆球制作一个单摆，然后将细线缠绕在支柱上，单摆摆动
过程中，悬点不固定，摆长会发生变化，影响实验结果。
考向 2 数据处理与误差分析
3．某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中
(1)该同学用游标卡尺测得单摆小球的直径为 cm；同学用秒表记录的时间如图所示，则秒表的示
数为 s；
(2)该同学又想出另一个办法测重力加速度，他测出多组摆线长 L 与周期 T 的数据，根据实验数据，作出了
T 2 - L的关系图像，如图所示，根据图中数据，重力加速度为 m/s2（取p 2 = 9.86，结果保留三位
有效数字）
(3)如果该同学测得的 g 值偏大，可能的原因是___________
A．测摆线长时摆线拉得过紧
B．开始计时时，秒表按下稍晚
C．实验中将 51 次全振动误记为 50 次
D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了
【答案】(1) 1.070 96.8(2)9.86(3)AB
【详解】（1）[1]该同学用游标卡尺测得单摆小球的直径为 d =10mm +14 0.05mm =10.70mm =1.070cm
[2]秒表的示数为 t =1min+ 36.8s = 96.8s
T 2p L
2
2 4p 4π2 4
（2）根据单摆周期公式 = 可得T = L所以，斜率为 k = = 解得 g = 9.86m/s2
g g g 0.99 -（- 0.01）
L 2
（3）AD．根据单摆周期公式T = 2p 4π L可得 g = 2 g 值偏大的原因可能是测摆线长时摆线拉得过紧，摆g T
4p 2Ln2
长测量值偏大，故 A 正确，D 错误；BC．设测量时间为 t，全振动次数为 n，则有 g = g 值偏大的原
t 2
因可能是开始计时时，秒表过迟按表或多记录了全振动次数，故 B 正确，C 错误。故选 AB。
4．小明和小华用如图甲所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。
(1)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是__________。
A．测量摆线长时用手将摆线沿竖直方向拉紧
B．实验所用小球的质量要尽量大，体积要尽量小
C．在摆球经过平衡位置时开始计时
D．用秒表测量单摆完成 1 次全振动所用时间并作为单摆的周期
(2)小明根据测量摆线的长度 l 和对应的周期 T，得到多组数据，作出了 l -T 2图像，如图乙所示。他认为根
4p 2b
据图线可求得重力加速度 g = ，若不计空气阻力和测量值的偶然误差，则从理论上分析，他求得的
a2 - a1
重力加速度 g 真实值（选填“大于”“等于”或“小于”）。
(3)小华在实验室发现单摆的摆角远大于 5°，老师告诉他单摆在最大摆角q 较大时周期公式近似为
T = 2π 1 1+ sin
2 q l
÷ 。他测出摆长为 l 的同一单摆在不同最大摆角q 时的周期 T，并根据实验数据描绘
è 4 2 g
出如图丙所示的图线。设图线延长后与横轴交点的坐标为 b，则重力加速度的测量值 g = （用题
中所给字母 π、l、b 表示）。
2
【答案】(1)BC(2)等于(3) 4π l
b2
【详解】（1）A．测量摆线长时用手将摆线沿竖直方向拉紧，摆长测量值偏大，故 A 错误；
B．为减小空气阻力的影响，实验所用小球的质量要尽量大，体积要尽量小，故 B 正确；
C．在摆球经过平衡位置时开始计时，速度最大，误差最小，故 C 正确；
D．用秒表测量单摆完成 1 次全振动所用时间并作为单摆的周期，误差较大，应多次测量取平均值，故 D
错误。故选 BC。
（2）根据T = 2π l + r
g 2
g ，解得 l = 2 T - r 则出现图线不过原点的原因是将摆线长当做了单摆的摆长；由4π
g b 4π2b
图像可知 4π2
=
a - a 解得
g = 可知他求得的重力加速度 g 等于真实值。
2 1 a2 - a1
1 q l
（3 q 2 ）单摆在最大摆角 较大时周期公式近似为T = 2π 1+ sin ÷ 根据单摆周期 T 和最大摆角q 的关
è 4 2 g
2
系图，则 sin2 q 2 gT 4 b 0 2b g 4 g 4π l= - 该图线延长后与横轴交点的坐标为 ，即 = - 解得 =
2 π l π l b2
考点二 创新实验方案
考向 1 实验原理的改进
5．重力加速度参数广泛应用于地球物理、空间科学、航空航天等领域．高精度的重力加速度值的测量对
重力场模型建立与完善、自然灾害预警、矿物勘探、大地水准面绘制等领域有着重要的作用。某同学在“用
单摆周期公式测量重力加速度”的实验中，利用了智能手机和两个相同的圆柱体小磁粒进行了如下实验：
（1）用铁夹将摆线上端固定在铁架台上，将两个小磁粒的圆柱底面吸在一起，细线夹在两个小磁粒中
间，做成图（a）所示的单摆；
（2）用刻度尺测量悬线的长度，用游标卡尺测得小磁粒的底面直径如图 d＝ cm；算出摆长 L；
（3）将智能手机磁传感器置于小磁粒平衡位置正下方，打开手机智能磁传感器，测量磁感应强度的变
化；
（4）将小磁粒由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，手机软件记录磁感应强度的变化曲线如图（b）
所示。试回答下列问题：
①由图（b）可知，单摆的周期为 ；
②改变摆线长度 l，重复实验操作，得到多组数据，画出对应的 2 的图像，算出图像的斜率为 k，则重力
加速度 g 的表达式为 。（用题中物理量的符号表示）
（5）某同学在家里做实验时没有找到规则的小磁铁，于是他在细线上的某点 A 做了一个标记，实验中保
持标记 A 点以下细线长度不变，通过改变悬点 O、A 间细线长度改变摆长。实验中，测得悬点 O 到 A 点的
距离为 L1时对应的周期为T1，悬点 O 到 A 点的距离为 L2时对应的周期为T2，由此可测得当地的重力加速
度 g = （用 L1、 L2、T1、T2表示）。
4p 2 4p 2 L1 - L2
【答案】 1.14 2t0
k T 21 -T
2
2
【详解】（2）[1] 小磁粒的底面直径 d =11mm + 4 0.1mm =11.4mm =1.14cm
（4）①[2]根据单摆的运动规律一个周期内应该有两个电磁感应的最大值。由图可得出，单摆的周期为
2t0 。
l d+ 4p 2 2p 2d 4p 2 4p 2②[3] 2根据T = 2p 2 可得T = l + 所以T
2 为纵坐标，此时斜率 k = 得 g =
g g g g k
L + l L + l 4p 2 L - L
（5）[4] A 1 2设 到小磁粒重心距离为 l0 ，根据T 1 0 2 01 = 2p ，T = 2p 联立解得 g =g 2 g T 21 -T
2
2
6．某实验小组利用图甲所示装置测量当地重力加速度。轻绳一端系住直径为 d 的小球，另一端固定在铁
架台上O点，已知O点到小球球心的距离为 l，在O点正下方固定一个光电门，小球运动至最低点时光电
门能够记录下小球的遮光时间。实验时，将小球拉起至轻绳和竖直方向夹角为q ，由静止释放小球，小球
摆至最低点时光电门光线正好射向小球球心，小球的遮光宽度可近似为d ，光电门记录小球的遮光时间为
Dt ，试回答以下问题：
(1)用游标卡尺测量小球的直径如图乙所示，则小球的直径 d = mm；
(2)小球从释放位置运动至最低点时的速度为v = ；（用题中相关物理量的字母表示）
1
(3)多次改变q 的数值，重复以上实验过程并测量对应的Dt ，得到 2 随 cosq 变化的关系如图丙所示，该（Dt）
图线斜率的绝对值为 k ，可计算得重力加速度 g = 。 （用 k 、 l和d 表示）
d kd 2
【答案】(1)8.10(2) (3)
Dt 2l
【详解】（1）由图示游标卡尺可知，其精确度为 0.05mm，所以小球直径为 d = 8mm + 0.05 2mm = 8.10mm
d
（2）小球从释放位置运动至最低点时的速度为 v =
Dt
1 1 2gl 2gl
（3）由动能定理mgl 1- cosq = mv2 可得 2 = 2 - 2 cosq 图丙中图线斜率的绝对值为 k，则可得2 Dt d d
k 2gl
2
= kd
d 2
可得 g =
2l
考向 2 实验器材的创新
7．某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。实验装置如图甲所示，已知每根悬线长为 d，
两悬点间相距 2s，金属小球半径为 r，图中小球两侧为光电计数器。请回答下列问题：
(1)如图甲所示的双线摆能够稳定的在 （填“平行”或“垂直”）纸面的竖直平面内稳定的摆动。
(2)等效摆长 L = （用题目中的物理量符号表达）；
(3)如图乙是用游标卡尺测量小球的直径则小球的直径是 cm；
(4)根据实验中测得的数据，画出T 2 - L图象如图丙所示，取p = 3.14，根据图象，可求得当地的重力加速度
大小为 m/s2 （保留三位有效数字）；
【答案】(1)垂直(2) d 2 - s2 + r (3)1.54(4)9.86
【详解】（1）由受力分析可知，如图所示的双线摆能够稳定的在垂直纸面的竖直平面内稳定摆动。
（2）摆长等于摆线的有效长度与小球的半径之和，即等效摆长为 L = d 2 - s2 + r
（3）小球的直径为 d =15mm + 4 0.1mm =15.4mm =1.54cm
L 2
4 2
4p
（ ）根据单摆的周期公式T = 2p 可得T = L由图像可得，T 2 - L图像的斜率
g g
4p 2k 4.8 - 3.2= = -2 解得当地的重力加速度大小为 g 9.86m/s
2
g (120 -80) 10
8．某同学通过实验探究单摆周期与等效重力加速度定量关系，实验装置如图（a）所示，钢球、细线和轻
杆组成一个“杆线摆”，杆线摆可以绕着悬挂轴OO 来回摆动，其摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面
内，这相当于单摆在斜面上来回摆动，但避免了摆球在真实斜面上运动时所受的摩擦力。测量该倾斜平面
的倾角q ，能求出等效重力加速度 a 的大小，测量不同倾角下的单摆周期 T，便能检验 T 与 a 的定量关
系。已知重力加速度的大小为 g，将下列实验补充完整：
（1）斜面倾角q 的测量。如图（b），铁架台上装一根铅垂线。在铁架台的立柱跟铅垂线平行的情况下把杆
线摆装在立柱上，调节摆线的长度，使摆杆与立柱垂直，则此时摆杆是水平的。把铁架台底座一侧垫高如
图（c），立柱倾斜，绕立柱摆动的钢球实际上是在倾斜平面上运动。测出静止时摆杆与铅垂线的夹角为
b ，则该倾斜平面与水平面的夹角q = 90° - b 。则等效重力加速度的大小a = （用 g、b 表示）；
（2）单摆周期 T 的测量。在图（c）的情况下，尽量减小摆杆与立柱之间的摩擦，使该摆能较长时间绕立
柱自由摆动而不停下来。让单摆做小角度下的振动，用停表测量单摆完成 20 个全振动所用的时间 t，则单
摆周期T = （用 t 表示）。同样的操作进行三次，取平均值作为该周期的测量值；
在保持摆长一定的情况下，改变铁架台的倾斜程度，测出多组不同倾斜程度下q 的值及在该倾角下单摆的
1
周期 T 后，根据实验数据绘制T - 图像是一条过坐标原点的倾斜直线，由此得出的结论
a
是 。
t
【答案】 gcosb 在摆长一定的情况下，单摆的周期与等效重力加速度的平方根成反
20
1
比，即T
a
【详解】（1）[1]将重力分解为沿杆和垂直杆，可知，等效重力F = mg sinq 等效重力加速度的大小
a F= = g sinq = g cos b
m
t
（2）[2][3]单摆完成 20 个全振动所用的时间 t，则单摆周期T = 根据题图可知等效重力加速度为
20
1
a=gsinθ T 2p L 2p L则根据单摆周期公式有 = = 绘制T - 图像是一条过坐标原点的倾斜直线，所以在
a a a
1
摆长一定的情况下，单摆的周期与等效重力加速度的平方根成反比，即T 。
a
9．在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)为了较精确地测量重力加速度的值，以下三种单摆组装方式最合理的是__________；
A． B． C．
(2)在摆球自然下垂的状态下，用毫米刻度尺测得摆线长度为 l；用游标卡尺测量摆球的直径d ，示数如图
甲所示，则 d = mm；
(3)将小球从平衡位置拉开一个小角度静止释放，使其在竖直面内振动。待振动稳定后，从小球经过平衡位
置时开始计时，测量 N 次全振动的时间为 t ，由本次实验数据可求得 g = （用 l、d 、 N 、 t 表
示）；
(4)若某次实验测得 g 数值比当地公认值大，原因可能是__________；
A．开始计时时，过早按下秒表
B．实验时误将 49 次全振动记为 50 次
C．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，摆线长度增加
(5)改变摆线长度 l，重复实验，测得每次实验时单摆的振动周期T ，作出T 2 - l 图像为图乙中的
（选填“ a ”“ b ”或“ c ”）。
4p 2 l d+ N 2
【答案】(1)C(2)16.3(3) 2 ÷è (4)B(5)a
t 2
【详解】（1）摆球应该选择密度大的小钢球，为了防止在实验过程由于摆球的摆动导致摆长发生改变，悬
点要固定。故选 C。
（2）由图甲，有摆球的直径为 d =16mm + 3 0.1mm =16.3mm
t L d 4p 2 l d+ N 2
（3）由题意有小球单摆周期T = 由单摆周期公式T = 2p 其中 L = l + 得
N g 2 g = è 2
÷
t 2
（4）A．开始计时时，过早按下秒表，导致周期偏大，实验测得 g 数值应偏小，故 A 错误；
B．实验时误将 49 次全振动记为 50 次，导致周期偏小，实验测得 g 数值应偏大，故 B 正确；
C．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，摆线长度增加，但我们还是利用测量值来计算，所以实验测
得 g 数值应偏小，故 C 错误。
故选 B。
2 4p 2 2p 2d
（5）由上述分析可得T = l + 所以T 2 - l 图线应该为图线 a。
g g
10．某实验小组要测量当地的重力加速度。由于没有摆球，小组成员找到了一块外形不规则的小金属挂件
代替摆球做了一个如图所示的单摆。
(1)用刻度尺测量悬线的长 L1，将挂件拉开一个不大于5o的角度后释放，用秒表测出 30 次全振动的总时间
t = 54.6s，则挂件振动的周期T1 = s。
(2)改变悬线的长，并测出悬线长 L2，重复（1）实验，测出挂件振动的周期为T2，则当地的重力加速度为
g = （用 L1、 L2、T1、T2表示）。
(3)若多次改变悬线的长度重复实验，测得每次实验时悬线的长 L 及对应的挂件振动的周期 T，作T 2 - L图
像，得到的图像是一条 （填“过原点”或“不过原点”）的倾斜直线，若图像的斜率为 k，则当地的重
力加速度为 g = 。
4p 2 L1 - L 22
【答案】(1)1.82(2) 2 2 (3) 不过原点
4p
T1 -T2 k
T t 54.6【详解】（1）挂件振动的周期 1 = = s =1.82sn 30
L + r L + r L + r
（2）设摆线末端与小摆件重心间的距离为 r，根据T = 2p 可得T1 = 2p 1 ，T2 = 2p 2 联g g g
4p 2 L1 - L 2 2g = 2 L + r3 [1] T = 2p 2 4p 4p立，解得 2 2 （ ） 由 整理，可得T = L + r 可知作T 2 - L图像，得到T1 -T2 g g g
的图像是一条不过原点的倾斜直线。
2 2
[2]图像的斜率为 k
4p
= 4p则当地的重力加速度为 g = 。
g k
11．某实验小组利用单摆测量当地的重力加速度，设计了如图（a）所示的装置：
①在O点安装力传感器并与细线的一个端点固定，细线另一端系一个小球 A；
②在O 点悬挂体积与A 相同的小球 B，调节连接 B 球的细线长度，使两摆线的长度均为 L，两细线保持自
然下垂且平行，A、B 两球恰好接触；
③将小球 A 小角度拉至同一竖直面内的 C 点由静止释放，运动到最低点与 B 球发生对心正碰（A、B 每次
碰撞均为弹性碰撞，碰撞时间极短可忽略不计），不计空气阻力。
(1)用 10 分度的游标卡尺测量小球A 的直径 d，游标卡尺的示数如图（b）所示，读出 d = mm；
(2) A 、B球质量分布均匀，碰撞时，要发生速度交换，则mA mB （选填“>”“=”或“<”）；
(3)在满足（2）的条件下，得到的图（c）是与拉力传感器连接的计算机屏幕所显示的F - t 图像，根据图像
可知摆球A 的运动周期T = ，测得重力加速度 g = （用 L、d、 t0 表示）。
p 2 (L d+ )
【答案】(1)17.6(2)=(3) 4t0 2
4t 20
【详解】（1）游标卡尺的示数为 d =17mm + 6 0.1mm =17.6mm
1 1 1
（2 2 2 2）根据两球碰撞过程动量守恒、动能守恒，可得mAv0 = mAvA + mBvB ， mAv0 = mAvA + mBvB 解得2 2 2
v mA - mB 2mAA = v0， vB = vm + m m + m 0当
mA = mB 时，碰撞时，要发生速度交换。
A B A B
（3）[1]由图（c）可知 F 的变化周期为 4t0，则摆球A 的运动周期也是 4t0 。
L d+ p 2 (L
d
+ )
[2]根据T = 4t0 = 2p 2
解得 g = 2
g 4t 20
12．某研究小组用图 1 所示的装置进行“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)用游标卡尺测量摆球直径，如图 2 所示，则摆球的直径 d = mm。
(2)甲同学测得摆长为 l，记录下摆球 n 次全振动的时间为 t，可以测得重力加速度 g = （用 l、n、t、
π表示）。
(3)为提高测量准确度，乙同学多次改变单摆的摆长 l 并测得相应的周期 T，他根据测量数据画出如图 3 所
2 2
示的T 2 - l 图像，根据图线上任意两点 A、B 的坐标 l1,T1 、 l2，T2 ，可求得重力加速度 g = （用
l1、T1、 l2、T2、 π表示）；该图像不过原点的原因可能是 。
A．测周期时，将 49 次全振动记为 50 次
B．测周期时，将 50 次全振动记为 49 次
C．测摆长时，直接将悬点到小球上端的距离记为摆长
D．测摆长时，直接将悬点到小球下端的距离记为摆长
(4)丙同学为了研究“单摆做简谐运动的周期与重力加速度的定量关系”，在伽利略用斜面“冲淡”重力思想的
启发下，创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境：如图 4 所示，在水平地面上固定一倾角q 可调的
光滑斜面，把摆线固定于斜面上的 O 点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至 A 点，静止释放后，摆球在
ABC 之间做简谐运动，测得摆角为a 、摆球的摆动周期为 T。多次改变斜面的倾角q ，重复实验，记录
q 、a 和 T，为了能方便准确地利用图像处理数据进而获得结论，应绘制 图像（写出图像的纵坐标—
横坐标）。
2 2 4p 2 (l - l ) 1
【答案】(1)10.6(2) 4p n l2 (3)
2 1 C(4)T 2 -
t T 2 - T 22 1 sinq
【详解】（1）10 分度的游标卡尺精度为 0.1mm，则摆球的直径为 d =10mm + 6 0.1mm =10.6mm
t l
（2）摆球 n 次全振动的时间为 t，则周期为T = 由单摆的周期公式T = 2p 联立解得重力加速度为
n g
4p 2n2g l=
t 2
l 4p 2 4p 2 T 2 -T 2
（3）[1]根据单摆的周期公式T = 2p 2可得T = × l 则T 2 - l 图像的斜率为 k = = 2 1 求得重力g g g l2 - l1
4p 2g (l2 - l加速度为 = 1
)
T 22 -T
2
1
[2] A．测周期时，将 49 次全振动记为 50 次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，但
T 2 - l 依然过坐标原点，故 A 错误；
B．测周期时，将 50 次全振动记为 49 次，则周期的测量值偏大，导致重力加速度的测量值偏小，但T 2 - l
依然过坐标原点，故 B 错误；
4p 22 dC．测摆长时，直接将悬点到小球上端的距离记为摆长，摆长的测量少了小球的半径，有T = × (l + )
g 2
则T 2 - l 图像不过原点，有正的纵截距，故 C 正确；
2
D 2
4p d
．测摆长时，直接将悬点到小球下端的距离记为摆长，摆长的测量多了小球的半径，有T = × (l - )
g 2
则T 2 - l 图像不过原点，有负的纵截距，故 D 错误。故选 C。
l
（4）根据单摆的原理可知，等效重力加速度为 g = g sin q ，与摆角a 无关，则有T = 2p 变形可得
g sinq
4p 2T 2 l 1 1= × 2则为了能方便准确地利用图像处理数据进而测出重力加速度，应绘制T - 图像，利用
g sinq sinq
斜率求出。
13．某同学利用如图甲所示装置测量重力加速度 g。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另端连接一小
钢球，如图甲所示。拉起小钢球至某一位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动记录钢球摆动过程中
拉力传感器示数的最大值Tmax 和最小值Tmin。改变小钢球的初始释放位置，重复上述过程。根据测量数据在
直角坐标系中绘制的Tmax -Tmin 图像是一条直线，如图乙所示：
(1)拉力传感器示数的最大值Tmax 、最小值Tmin、小球质量 m 以及重力加速度 g 的关系为Tmax = 。
(2)若小球质量m = 60g ，由图乙可得重力加速度 g 的数值为 m/s2 （结果保留三位有效数字）。
(3)由图乙可得Tmax -Tmin 图像直线的斜率与理论值之差的绝对值为 （结果保留一位小数），导致该差值
的主要因素为 。
【答案】(1) -2Tmin + 3mg (2)9.83(3) 0.1 小钢球摆动过程中有空气阻力
【详解】（1）小钢球由静止释放时，细线与竖直方向夹角为q ，细线拉力最小，此时Tmin = mgcosq 小球由
静止运动到最低点的过程，根据动能定理有mgl 1- cosq 1= mv2 小球运动到最低点时细线拉力最大，则
2
v2Tmax - mg = m 联立可得T = -2Tl max min
+ 3mg
（2）由图乙得直线的纵截距为3mg =1.77
1.77 2
解得重力加速度 g = = 9.83m / s
3m
1.77 -1.35
（3）[1]由图乙得直线的斜率为 k = - = -2.1该斜率的理论值为-2.0，两者的差值为-0.1，绝对值
0.2
为0.1。
[2]导致该差值的主要因素为小钢球摆动过程中有空气阻力。
14．某同学做“用单摆测定重力加速度”的实验。
(1)如图甲所示，该同学用游标卡尺测得单摆小球的直径为 cm；同学用秒表记录的时间如图乙所
示，则秒表的示数为 s。
(2)①如果某同学在实验时，用的摆球质量分布不均匀，无法确定其重心位置。他第一次量得悬线长为 L1
（不计摆球半径），测得周期为 T1；第二次量得悬线长为 L2，测得周期为 T2.根据上述数据可求得 g 值
为 。
4p 2 L L 4p 2 L1 - L2 4p 2 L 21+L2 4p T 2 -T 2 A． 1 2 B． 2 2 C． 2 2 D 1 2．T1T2 T1 -T2 T1 +T2 L1 - L2
②该同学又想出另一个办法测量重力加速度，他测出多组摆线长 L 与周期 T 的数据，根据实验数据，作
出了 T2-L 的关系图像如图丙所示，理论上 T2-L 是一条过坐标原点的直线，根据图中数据，可算出重力加
速度的值为 m/s2（取 π2=9.86，结果保留三位有效数字），仅考虑该数据处理方法，他得到的加速度
g 与真实值相比 （选填“偏大”“偏小”或“相同”）。
【答案】(1) 1.070 96.8(2) B 9.86 相同
【详解】（1）[1][2]用游标卡尺测得单摆小球的直径为 d=1cm＋0.05mm×14=1.070cm 同学用秒表记录的时间
为 t=1min＋36.8s=96.8s
L L + d L + d 4p 2 L - L
（2）①[1] T = 2p 1 2根据 可得T = 2p 1 ，T = 2p 2 得 g = 故选 B。
g 1 g 2 g T 21 -T
2
2
2 4p
2 4p 2 4.00
②[2][3]根据 T = L 可得 k= = (99.0 1.00) 10-2 =4 解得 g=9.86m/s
2.仅考虑该数据处理方法，没有系
g g +
统误差，则他得到的加速度 g 与真实值相比相同。
15．在“单摆测重力加速度”的实验中，某同学想到利用手机传感器、小铁球、小磁粒进行以下实验：
①如图 1（a）所示将小磁粒吸附在小铁球正下方使小磁粒轴线与摆线共线，用铁夹将摆线上端固定在铁
架台上，组装完成的实验装置如图 1（b）所示；
②用刻度尺测量摆线长度为 l，没有测量小铁球直径和小磁粒的厚度；
③将手机磁传感器置于小磁粒平衡位置正下方，利用磁传感器测量磁感应强度随时间的变化；
④将带有小磁粒的铁球由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，运行手机软件记录磁感应强度的变化曲
线如图 2 所示。
试回答以下问题：
(1)由图 2 可知，单摆的周期为 ；
(2)改变摆线长度 l，重复步骤②③④的操作，可以得到多组周期 T 和摆线长度 l 的值，以 （选填
1
“T ”“ ”或者“T 2 ”）为纵坐标，l 为横坐标，描点作图。若得到的图像如图 3 所示，图像的斜率为 k，则重T
力加速度的测量值为 ；
(3)使用上述数据处理方法，在不考虑其他测量误差的情况下，步骤②的操作对重力加速度的测量值
（选填“有”或“无”）影响。
2
【答案】(1) 2t0 (2) T 2
4p (3)无
k
【详解】（1）根据单摆的运动规律可知，一个周期内应该有两个电磁感应的最大值；由图 2 可知，单摆的
周期为T = 2t0
l + r
（2）[1][2]设摆线下端与小铁球和小磁粒整体的重心距离为 r ，根据单摆周期公式可得T = 2p 可得
g
4p 2 4p 2T 2 r= l + 则以T 2 为纵坐标，l 为横坐标，描点作图；若得到的图像如图 3 所示，图像的斜率为 k，g g
4p 2k = 4p
2
则有 可得重力加速度的测量值为 g =
g k
（3）使用上述数据处理方法，在不考虑其他测量误差的情况下，步骤②的操作不影响T 2 - l 图像的斜率，
所以对重力加速度的测量值无影响。
16．如图（a）所示，某兴趣小组用单摆测量重力加速度。选用的实验器材有：智能手机、小球、细线、
铁架台、夹子、游标卡尺、刻度尺等，实验操作如下：
①用铁夹将细线上端固定在铁架台上，将小球竖直悬挂；
②用刻度尺测出摆线的长度为 l，用游标卡尺测出小球直径为 d；
③将智能手机置于小球平衡位置的正下方，启用 APP《手机物理工坊》“近距秒表”功能；
④将小球由平衡位置拉开一个角度（θ<5°），静止释放，软件同时描绘出小球与手机间距离随时间变化的
图像，如图（b）所示。请回答下列问题：
(1)根据图（b）可知，单摆的周期 T= s。
(2)改变摆线长度 l，重复步骤②、③、④的操作，可以得到多组 T 和 l 的值，进一步描绘出如图（c）的
1
图像，则该图像以 为横坐标（选填“ ”、“T”或“T2”） ， 若图线的斜率为 k，则重力加速度的测
T
量值为 。（用所测量字母 l、d 或 T、θ、k 等进行表示）
【答案】(1)2(2) T 2 4p 2k
【详解】（1）根据单摆的运动规律一个周期内应该有两个小球与手机间距离的最小值。由图（b）可得
出，单摆的周期为 T=2s
l d+ g d
（2）[1]根据T = 2p 2 可得 l = 2 T
2 - 结合图（c）的图像，可知则该图像以T 2 为横坐标。
g 4p 2
k g[2]若图线的斜率为 k，则 = 2 可知重力加速度的测量值为 g = 4p
2k
4p
9．（2024 年湖北高考真题）某同学设计了一个测量重力加速度大小 g 的实验方案，所用器材有：2g 砝码
若干、托盘 1 个、轻质弹簧 1 根、米尺 1 把、光电门 1 个、数字计时器 1 台等。
具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图（a）
所示。
②用米尺测量平衡时弹簧的长度 l，并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录 30 次全振动所用时间 t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。
M
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T = 2p ，其中 k 为弹簧的劲度系数，
k
M 为振子的质量。
(1)由步骤④，可知振动周期T = 。
(2)设弹簧的原长为 l0 ，则 l 与 g、 l0 、T 的关系式为 l = 。
(3)由实验数据作出的 l -T 2图线如图（b）所示，可得 g = m/s2 （保留三位有效数字，p 2取 9.87）。
(4)本实验的误差来源包括_____（双选，填标号）。
A．空气阻力
B．弹簧质量不为零
C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
t 2
【答案】(1) (2) l gT0 + (3) 9.592 (4)AB30 4p
t
【详解】（1）30 次全振动所用时间 t，则振动周期T =
30
M kT 2
（2）弹簧振子的振动周期T = 2p 可得振子的质量M = 振子平衡时，根据平衡条件Mg = kDl2 可得k 4p
2 2
Dl gT= 2 则 l 与 g、 l0 、T
gT
的关系式为 l = l0 + Dl = l +4p 0 4p 2
gT 2 g g 0.542 - 0.474
（3）根据 l = l0 + 整理可得 l = l + ×T
2 则 2图像斜率 k = = 解得 g 9.59m/s2
4p 2 0 4p 2 l -T 4p 2 0.58 - 0.3
（4）A．空气阻力的存在会影响弹簧振子的振动周期，是实验的误差来源之一，故 A 正确；
B．根据弹簧振子周期公式可知，振子的质量影响振子的周期，通过光电门测量出的周期T 为振子考虑弹
簧质量的真实周期，而根据（3）问求出的 l -T 2的关系是不考虑弹簧质量的关系式子，二者的中的T 是不
相等的，所以弹簧质量不为零是误差来源之一，故 B 正确；
C．利用光电门与数字计时器的组合测量周期的原理：根据简谐运动的规律可知，只要从开始计时起，振
子的速度第二次与开始计时的速度相等即为一个周期，与是否在平衡位置无关，故 C 错误。
故选 AB。
10．（2024 年辽宁高考真题）图（a）为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同。某
同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期 T 与外径 D 之间的关系。
(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径 D，其中对蓝色积木的某次测量如图（b）所示，从图中读出D =
cm。
(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点 O，将积木的右端按下后释放，如
图（c）所示。当积木左端某次与 O 点等高时记为第 0 次并开始计时，第 20 次时停止计时，这一过程中积
木摆动了 个周期。
(3)换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究 T 与 D 之间的函数关系，可用它们的自然对数作
为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如下表所示：
颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫
ln D 2.9392 2.7881 2.5953 2.4849 2.197 L 1.792
lnT -0.45 -0.53 -0.56 -0.65 -0.78 -0.92 -1.02
根据表中数据绘制出 lnT - ln D图像如图（d）所示，则 T 与 D 的近似关系为______。
A．T D B．T D2 C．T
1
D．T
1
D D2
(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施： 。
【答案】(1)7.54/7.55/7.56(2)10(3)A(4)见解析
【详解】（1）刻度尺的分度值为 0.1cm，需要估读到分度值下一位，读数为D = 7.55cm
（2）积木左端两次经过参考点 O 为一个周期，当积木左端某次与 O 点等高时记为第 0 次并开始计时，之
后每计数一次，经历半个周期，可知，第 20 次时停止计时，这一过程中积木摆动了 10 个周期。
（3）由图（d）可知， lnT 与 ln D成线性关系，根据图像可知，直线经过 2.80，- 0.5 与 1.80，-1.0 ，则有
1lnT - -1.0 -0.5 - -1.0 1 1
= = 0.5解得 lnT = 0.5ln D -1.9 2则有
ln D -1.80 2.80 -1.80 lnT = ln D
2 D- ln e1.9 = ln 解得T = 1.9 D 可
e1.9 e
知T D 故选 A。
（4）为了减小实验误差，提高该实验精度的改进措施：用游标卡尺测量外径 D、换用更光滑的硬质水平
桌面、通过测量 40 次或 60 次左端与 O 点等高所用时间来求周期、适当减小摆动的幅度。考点 31 用单摆测量重力加速度的大小
1. 高考真题考点分布
题型 考点考查 考题统计
实验题 用单摆测量重力加速度的大小 2024 年广西卷
实验题 用单摆测量重力加速度的大小 2023 年河北卷、重庆卷、全国新课标卷
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】各地高考对用单摆测量重力加速度的大小这个实验考查近几年频度不是太高，考查难度不大。
【备考策略】
1.理解和掌握用单摆测量重力加速度的大小实验原理，并会做出必要的误差分析。
2.能够在原型实验基础上，通过对实验的改进或者创新，做出同类探究。
【命题预测】重点关注通过创新实验实现用单摆测量重力加速度的大小。
1．实验目的
(1)练习使用停表和刻度尺。
(2)探究影响单摆运动周期的因素。
(3)学会用单摆测定当地重力加速度。
2．实验原理
l 4π2l
当摆角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为 T＝2π ，由此得到 g＝ ，因此，只要测出摆长 l 和单
g T2
摆的周期 T，就可以求出当地的重力加速度 g 的值。
3．实验器材
单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。
4．实验过程
(1)在细线的一端打一个比小球上的孔径稍大一些的结，将细线穿过球上的小孔，并把细绳上端固定在铁架
台上，制成单摆。
(2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡
位置处做上标记，如图所示。
(3)用毫米刻度尺量出摆线长度 l′，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径 r，计算出摆长 l＝
l′＋r。
(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过 5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平
稳后测出单摆完成 30～50 次全振动所用的时间 t，计算出单摆的振动周期 T。
(5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度。
(6)改变摆长，重做几次实验。
5．数据处理
t 4π2l
(1)公式法：利用 T＝ 求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式 g＝ 求重力加速度。
N T2
g
(2)图像法：根据测出的一系列摆长 l 对应的周期 T，作 lT2 的图像，由单摆周期公式得 l＝ T2，图像应是
4π2
一条通过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率 k，即可利用 g＝4π2k 求重力加速度。
6．误差分析
产生原因 减小方法
测量时间(单摆周期)及摆长时 ①多次测量求平均值
偶然误差
产生误差 ②从摆球经过平衡位置时开始计时
①摆球要选体积小，密度大的
系统误差 主要来源于单摆模型本身
②最大摆角要小于 5°
7．注意事项
(1)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。
(2)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于 5°。
(3)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。
(4)小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长 l′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径 r，则
摆长 l＝l′＋r。
(5)一般选用 1 m 左右的细线。
考点一 教材原型实验
考向 1 实验原理与操作
1．某同学用单摆周期公式测当地重力加速度的值，组装了几种实验装置。
(1)下列最合理的装置是________。
A． B． C． D．
(2)用游标卡尺测量小球直径，示数如图甲所示，则摆球的直径 d = mm。周期公式中的 l 是单摆的摆
长，其值等于摆线长与 之和（用 d 表示）。
(3)实验中多次改变摆线长度，并测得对应的周期 T，该同学误将摆线长度当成了摆长，作出T 2 - l 图像如
1 4p 2 g
图乙，该图像的斜率为 （填“ g ”“ ”或“ 2 ”）。g 4p
2．某实验小组的同学用如图所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)实验室有如下器材可供选用：铁架台、足够长的细线、夹子、球心开有小孔的铁球和塑料球、游标卡
尺、1m 长的毫米刻度尺和秒表。
上述器材中，实验中不需要的是： ；
(2)在挑选合适的器材后开始实验，操作步骤如下：
①用细线和摆球制作一个单摆，然后将细线缠绕在支柱上，使摆球自由下垂，摆球静止后用米尺测量细线
悬点到摆球上边缘的距离 L，然后用游标卡尺测出小球的直径 d = cm，如图乙所示；
②将摆球从平衡位置拉开一个角度（小于 5°）后静止释放；
③待小球摆动稳定后，记录下小球第 1 次至第 51 次通过最低点的时间间隔 t = 37.5s ，得到单摆的振动周
期T = s；
④多次改变距离 L，重复上述实验，得到一系列的周期测量值；
(3)以T 2 为横轴、L 为纵轴，做出 L -T 2 图像，如图丙所示。已知图像与横轴的截距为 a、与纵轴的截距为-
b，则测量出的重力加速度 g = ；（用 a、b 和 π表示）
(4)在①~④的实验操作中，有一处操作不当，请你指出是哪个步骤 （填步骤前的序号）。
考向 2 数据处理与误差分析
3．某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中
(1)该同学用游标卡尺测得单摆小球的直径为 cm；同学用秒表记录的时间如图所示，则秒表的示
数为 s；
(2)该同学又想出另一个办法测重力加速度，他测出多组摆线长 L 与周期 T 的数据，根据实验数据，作出了
T 2 - L的关系图像，如图所示，根据图中数据，重力加速度为 m/s2（取p 2 = 9.86，结果保留三位
有效数字）
(3)如果该同学测得的 g 值偏大，可能的原因是___________
A．测摆线长时摆线拉得过紧
B．开始计时时，秒表按下稍晚
C．实验中将 51 次全振动误记为 50 次
D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了
4．小明和小华用如图甲所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。
(1)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是__________。
A．测量摆线长时用手将摆线沿竖直方向拉紧
B．实验所用小球的质量要尽量大，体积要尽量小
C．在摆球经过平衡位置时开始计时
D．用秒表测量单摆完成 1 次全振动所用时间并作为单摆的周期
(2)小明根据测量摆线的长度 l 和对应的周期 T，得到多组数据，作出了 l -T 2图像，如图乙所示。他认为根
4p 2b
据图线可求得重力加速度 g = ，若不计空气阻力和测量值的偶然误差，则从理论上分析，他求得的
a2 - a1
重力加速度 g 真实值（选填“大于”“等于”或“小于”）。
(3)小华在实验室发现单摆的摆角远大于 5°，老师告诉他单摆在最大摆角q 较大时周期公式近似为
T = 2π 1 2 q l 1+ sin ÷ 。他测出摆长为 l 的同一单摆在不同最大摆角q 时的周期 T，并根据实验数据描绘
è 4 2 g
出如图丙所示的图线。设图线延长后与横轴交点的坐标为 b，则重力加速度的测量值 g = （用题
中所给字母 π、l、b 表示）。
考点二 创新实验方案
考向 1 实验原理的改进
5．重力加速度参数广泛应用于地球物理、空间科学、航空航天等领域．高精度的重力加速度值的测量对
重力场模型建立与完善、自然灾害预警、矿物勘探、大地水准面绘制等领域有着重要的作用。某同学在“用
单摆周期公式测量重力加速度”的实验中，利用了智能手机和两个相同的圆柱体小磁粒进行了如下实验：
（1）用铁夹将摆线上端固定在铁架台上，将两个小磁粒的圆柱底面吸在一起，细线夹在两个小磁粒中
间，做成图（a）所示的单摆；
（2）用刻度尺测量悬线的长度，用游标卡尺测得小磁粒的底面直径如图 d＝ cm；算出摆长 L；
（3）将智能手机磁传感器置于小磁粒平衡位置正下方，打开手机智能磁传感器，测量磁感应强度的变
化；
（4）将小磁粒由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，手机软件记录磁感应强度的变化曲线如图（b）
所示。试回答下列问题：
①由图（b）可知，单摆的周期为 ；
②改变摆线长度 l，重复实验操作，得到多组数据，画出对应的 2 的图像，算出图像的斜率为 k，则重力
加速度 g 的表达式为 。（用题中物理量的符号表示）
（5）某同学在家里做实验时没有找到规则的小磁铁，于是他在细线上的某点 A 做了一个标记，实验中保
持标记 A 点以下细线长度不变，通过改变悬点 O、A 间细线长度改变摆长。实验中，测得悬点 O 到 A 点的
距离为 L1时对应的周期为T1，悬点 O 到 A 点的距离为 L2时对应的周期为T2，由此可测得当地的重力加速
度 g = （用 L1、 L2、T1、T2表示）。
6．某实验小组利用图甲所示装置测量当地重力加速度。轻绳一端系住直径为 d 的小球，另一端固定在铁
架台上O点，已知O点到小球球心的距离为 l，在O点正下方固定一个光电门，小球运动至最低点时光电
门能够记录下小球的遮光时间。实验时，将小球拉起至轻绳和竖直方向夹角为q ，由静止释放小球，小球
摆至最低点时光电门光线正好射向小球球心，小球的遮光宽度可近似为d ，光电门记录小球的遮光时间为
Dt ，试回答以下问题：
(1)用游标卡尺测量小球的直径如图乙所示，则小球的直径 d = mm；
(2)小球从释放位置运动至最低点时的速度为v = ；（用题中相关物理量的字母表示）
1
(3)多次改变q 的数值，重复以上实验过程并测量对应的Dt ，得到
（Dt）2
随 cosq 变化的关系如图丙所示，该
图线斜率的绝对值为 k ，可计算得重力加速度 g = 。 （用 k 、 l和d 表示）
考向 2 实验器材的创新
7．某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。实验装置如图甲所示，已知每根悬线长为 d，
两悬点间相距 2s，金属小球半径为 r，图中小球两侧为光电计数器。请回答下列问题：
(1)如图甲所示的双线摆能够稳定的在 （填“平行”或“垂直”）纸面的竖直平面内稳定的摆动。
(2)等效摆长 L = （用题目中的物理量符号表达）；
(3)如图乙是用游标卡尺测量小球的直径则小球的直径是 cm；
(4)根据实验中测得的数据，画出T 2 - L图象如图丙所示，取p = 3.14，根据图象，可求得当地的重力加速度
大小为 m/s2 （保留三位有效数字）；
8．某同学通过实验探究单摆周期与等效重力加速度定量关系，实验装置如图（a）所示，钢球、细线和轻
杆组成一个“杆线摆”，杆线摆可以绕着悬挂轴OO 来回摆动，其摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面
内，这相当于单摆在斜面上来回摆动，但避免了摆球在真实斜面上运动时所受的摩擦力。测量该倾斜平面
的倾角q ，能求出等效重力加速度 a 的大小，测量不同倾角下的单摆周期 T，便能检验 T 与 a 的定量关
系。已知重力加速度的大小为 g，将下列实验补充完整：
（1）斜面倾角q 的测量。如图（b），铁架台上装一根铅垂线。在铁架台的立柱跟铅垂线平行的情况下把杆
线摆装在立柱上，调节摆线的长度，使摆杆与立柱垂直，则此时摆杆是水平的。把铁架台底座一侧垫高如
图（c），立柱倾斜，绕立柱摆动的钢球实际上是在倾斜平面上运动。测出静止时摆杆与铅垂线的夹角为
b ，则该倾斜平面与水平面的夹角q = 90° - b 。则等效重力加速度的大小a = （用 g、b 表示）；
（2）单摆周期 T 的测量。在图（c）的情况下，尽量减小摆杆与立柱之间的摩擦，使该摆能较长时间绕立
柱自由摆动而不停下来。让单摆做小角度下的振动，用停表测量单摆完成 20 个全振动所用的时间 t，则单
摆周期T = （用 t 表示）。同样的操作进行三次，取平均值作为该周期的测量值；
在保持摆长一定的情况下，改变铁架台的倾斜程度，测出多组不同倾斜程度下q 的值及在该倾角下单摆的
1
周期 T 后，根据实验数据绘制T - 图像是一条过坐标原点的倾斜直线，由此得出的结论
a
是 。
9．在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)为了较精确地测量重力加速度的值，以下三种单摆组装方式最合理的是__________；
A． B． C．
(2)在摆球自然下垂的状态下，用毫米刻度尺测得摆线长度为 l；用游标卡尺测量摆球的直径d ，示数如图
甲所示，则 d = mm；
(3)将小球从平衡位置拉开一个小角度静止释放，使其在竖直面内振动。待振动稳定后，从小球经过平衡位
置时开始计时，测量 N 次全振动的时间为 t ，由本次实验数据可求得 g = （用 l、d 、 N 、 t 表
示）；
(4)若某次实验测得 g 数值比当地公认值大，原因可能是__________；
A．开始计时时，过早按下秒表
B．实验时误将 49 次全振动记为 50 次
C．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，摆线长度增加
(5)改变摆线长度 l，重复实验，测得每次实验时单摆的振动周期T ，作出T 2 - l 图像为图乙中的
（选填“ a ”“ b ”或“ c ”）。
10．某实验小组要测量当地的重力加速度。由于没有摆球，小组成员找到了一块外形不规则的小金属挂件
代替摆球做了一个如图所示的单摆。
(1)用刻度尺测量悬线的长 L1，将挂件拉开一个不大于5o的角度后释放，用秒表测出 30 次全振动的总时间
t = 54.6s，则挂件振动的周期T1 = s。
(2)改变悬线的长，并测出悬线长 L2，重复（1）实验，测出挂件振动的周期为T2，则当地的重力加速度为
g = （用 L1、 L2、T1、T2表示）。
(3)若多次改变悬线的长度重复实验，测得每次实验时悬线的长 L 及对应的挂件振动的周期 T，作T 2 - L图
像，得到的图像是一条 （填“过原点”或“不过原点”）的倾斜直线，若图像的斜率为 k，则当地的重
力加速度为 g = 。
11．某实验小组利用单摆测量当地的重力加速度，设计了如图（a）所示的装置：
①在O点安装力传感器并与细线的一个端点固定，细线另一端系一个小球 A；
②在O 点悬挂体积与A 相同的小球 B，调节连接 B 球的细线长度，使两摆线的长度均为 L，两细线保持自
然下垂且平行，A、B 两球恰好接触；
③将小球 A 小角度拉至同一竖直面内的 C 点由静止释放，运动到最低点与 B 球发生对心正碰（A、B 每次
碰撞均为弹性碰撞，碰撞时间极短可忽略不计），不计空气阻力。
(1)用 10 分度的游标卡尺测量小球A 的直径 d，游标卡尺的示数如图（b）所示，读出 d = mm；
(2) A 、B球质量分布均匀，碰撞时，要发生速度交换，则mA mB （选填“>”“=”或“<”）；
(3)在满足（2）的条件下，得到的图（c）是与拉力传感器连接的计算机屏幕所显示的F - t 图像，根据图像
可知摆球A 的运动周期T = ，测得重力加速度 g = （用 L、d、 t0 表示）。
12．某研究小组用图 1 所示的装置进行“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)用游标卡尺测量摆球直径，如图 2 所示，则摆球的直径 d = mm。
(2)甲同学测得摆长为 l，记录下摆球 n 次全振动的时间为 t，可以测得重力加速度 g = （用 l、n、t、
π表示）。
(3)为提高测量准确度，乙同学多次改变单摆的摆长 l 并测得相应的周期 T，他根据测量数据画出如图 3 所
示的T 2 2- l 图像，根据图线上任意两点 A、B 的坐标 l1,T1 、 l2，T 22 ，可求得重力加速度 g = （用
l1、T1、 l2、T2、 π表示）；该图像不过原点的原因可能是 。
A．测周期时，将 49 次全振动记为 50 次
B．测周期时，将 50 次全振动记为 49 次
C．测摆长时，直接将悬点到小球上端的距离记为摆长
D．测摆长时，直接将悬点到小球下端的距离记为摆长
(4)丙同学为了研究“单摆做简谐运动的周期与重力加速度的定量关系”，在伽利略用斜面“冲淡”重力思想的
启发下，创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境：如图 4 所示，在水平地面上固定一倾角q 可调的
光滑斜面，把摆线固定于斜面上的 O 点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至 A 点，静止释放后，摆球在
ABC 之间做简谐运动，测得摆角为a 、摆球的摆动周期为 T。多次改变斜面的倾角q ，重复实验，记录
q 、a 和 T，为了能方便准确地利用图像处理数据进而获得结论，应绘制 图像（写出图像的纵坐标—
横坐标）。
13．某同学利用如图甲所示装置测量重力加速度 g。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另端连接一小
钢球，如图甲所示。拉起小钢球至某一位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动记录钢球摆动过程中
拉力传感器示数的最大值Tmax 和最小值Tmin。改变小钢球的初始释放位置，重复上述过程。根据测量数据在
直角坐标系中绘制的Tmax -Tmin 图像是一条直线，如图乙所示：
(1)拉力传感器示数的最大值Tmax 、最小值Tmin、小球质量 m 以及重力加速度 g 的关系为Tmax = 。
(2)若小球质量m = 60g ，由图乙可得重力加速度 g 的数值为 m/s2 （结果保留三位有效数字）。
(3)由图乙可得Tmax -Tmin 图像直线的斜率与理论值之差的绝对值为 （结果保留一位小数），导致该差值
的主要因素为 。
14．某同学做“用单摆测定重力加速度”的实验。
(1)如图甲所示，该同学用游标卡尺测得单摆小球的直径为 cm；同学用秒表记录的时间如图乙所
示，则秒表的示数为 s。
(2)①如果某同学在实验时，用的摆球质量分布不均匀，无法确定其重心位置。他第一次量得悬线长为 L1
（不计摆球半径），测得周期为 T1；第二次量得悬线长为 L2，测得周期为 T2.根据上述数据可求得 g 值
为 。
4p 2 L1L 4p
2 L 2 2 2 2
A 2 B 1
- L2 4p L +L 4p T -T
． ． C 1 2 1 2． D．
TT 2 2 2 21 2 T1 -T2 T1 +T2 L1 - L2
②该同学又想出另一个办法测量重力加速度，他测出多组摆线长 L 与周期 T 的数据，根据实验数据，作
出了 T2-L 的关系图像如图丙所示，理论上 T2-L 是一条过坐标原点的直线，根据图中数据，可算出重力加
速度的值为 m/s2（取 π2=9.86，结果保留三位有效数字），仅考虑该数据处理方法，他得到的加速度
g 与真实值相比 （选填“偏大”“偏小”或“相同”）。
15．在“单摆测重力加速度”的实验中，某同学想到利用手机传感器、小铁球、小磁粒进行以下实验：
①如图 1（a）所示将小磁粒吸附在小铁球正下方使小磁粒轴线与摆线共线，用铁夹将摆线上端固定在铁
架台上，组装完成的实验装置如图 1（b）所示；
②用刻度尺测量摆线长度为 l，没有测量小铁球直径和小磁粒的厚度；
③将手机磁传感器置于小磁粒平衡位置正下方，利用磁传感器测量磁感应强度随时间的变化；
④将带有小磁粒的铁球由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，运行手机软件记录磁感应强度的变化曲
线如图 2 所示。
试回答以下问题：
(1)由图 2 可知，单摆的周期为 ；
(2)改变摆线长度 l，重复步骤②③④的操作，可以得到多组周期 T 和摆线长度 l 的值，以 （选填
1
“T ”“ ”或者“T 2 ”）为纵坐标，l 为横坐标，描点作图。若得到的图像如图 3 所示，图像的斜率为 k，则重T
力加速度的测量值为 ；
(3)使用上述数据处理方法，在不考虑其他测量误差的情况下，步骤②的操作对重力加速度的测量值
（选填“有”或“无”）影响。
16．如图（a）所示，某兴趣小组用单摆测量重力加速度。选用的实验器材有：智能手机、小球、细线、
铁架台、夹子、游标卡尺、刻度尺等，实验操作如下：
①用铁夹将细线上端固定在铁架台上，将小球竖直悬挂；
②用刻度尺测出摆线的长度为 l，用游标卡尺测出小球直径为 d；
③将智能手机置于小球平衡位置的正下方，启用 APP《手机物理工坊》“近距秒表”功能；
④将小球由平衡位置拉开一个角度（θ<5°），静止释放，软件同时描绘出小球与手机间距离随时间变化的
图像，如图（b）所示。请回答下列问题：
(1)根据图（b）可知，单摆的周期 T= s。
(2)改变摆线长度 l，重复步骤②、③、④的操作，可以得到多组 T 和 l 的值，进一步描绘出如图（c）的
1
图像，则该图像以 为横坐标（选填“ ”、“T”或“T2”） ， 若图线的斜率为 k，则重力加速度的测
T
量值为 。（用所测量字母 l、d 或 T、θ、k 等进行表示）
9．（2024 年湖北高考真题）某同学设计了一个测量重力加速度大小 g 的实验方案，所用器材有：2g 砝码
若干、托盘 1 个、轻质弹簧 1 根、米尺 1 把、光电门 1 个、数字计时器 1 台等。
具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图（a）
所示。
②用米尺测量平衡时弹簧的长度 l，并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录 30 次全振动所用时间 t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。
M
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T = 2p ，其中 k 为弹簧的劲度系数，
k
M 为振子的质量。
(1)由步骤④，可知振动周期T = 。
(2)设弹簧的原长为 l0 ，则 l 与 g、 l0 、T 的关系式为 l = 。
(3)由实验数据作出的 l -T 2图线如图（b）所示，可得 g = m/s2 （保留三位有效数字，p 2取 9.87）。
(4)本实验的误差来源包括_____（双选，填标号）。
A．空气阻力
B．弹簧质量不为零
C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
B．根据弹簧振子周期公式可知，振子的质量影响振子的周期，通过光电门测量出的周期T 为振子考虑弹
簧质量的真实周期，而根据（3）问求出的 l -T 2的关系是不考虑弹簧质量的关系式子，二者的中的T 是不
相等的，所以弹簧质量不为零是误差来源之一，故 B 正确；
C．利用光电门与数字计时器的组合测量周期的原理：根据简谐运动的规律可知，只要从开始计时起，振
子的速度第二次与开始计时的速度相等即为一个周期，与是否在平衡位置无关，故 C 错误。
故选 AB。
10．（2024 年辽宁高考真题）图（a）为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同。某
同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期 T 与外径 D 之间的关系。
(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径 D，其中对蓝色积木的某次测量如图（b）所示，从图中读出D =
cm。
(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点 O，将积木的右端按下后释放，如
图（c）所示。当积木左端某次与 O 点等高时记为第 0 次并开始计时，第 20 次时停止计时，这一过程中积
木摆动了 个周期。
(3)换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究 T 与 D 之间的函数关系，可用它们的自然对数作
为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如下表所示：
颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫
ln D 2.9392 2.7881 2.5953 2.4849 2.197 L 1.792
lnT -0.45 -0.53 -0.56 -0.65 -0.78 -0.92 -1.02
根据表中数据绘制出 lnT - ln D图像如图（d）所示，则 T 与 D 的近似关系为______。
1 1
A．T D B．T D2 C．T D．T D D2
(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施： 。
