2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗一中高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗一中高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知第二象限角满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知正项数列满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知数列各项为正数，满足，，则( )
A. 是等差数列 B. 是等比数列
C. 是等差数列 D. 是等比数列
6.近期，哈尔滨这座“冰城”火了，年元旦假期三天接待游客多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩现安排名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排人，则不同的安排方法种数是( )
A. B. C. D.
7.如图，，是椭圆的左、右顶点，是：上不同于，的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆：上运动，若点满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，且若点，，分别为棱，，的中点，则( )
A. 平面
B. 直线和直线所成的角为
C. 当点在平面内，且时，点的轨迹为一个椭圆
D. 过点，，的平面与四棱锥表面交线的周长为
10.已知棱长为的正方体中，动点在棱上，记平面截正方体所得的截面图形为，则( )
A. 平面平面
B. 不存在点，使得直线平面
C. 的最小值为
D. 的周长随着线段长度的增大而增大
11.已知函数，，其中，，，，是其图象上四个不重合的点，直线为函数在点处的切线，则( )
A. 函数的图象关于中心对称
B. 函数的极大值有可能小于零
C. 对任意的，直线的斜率恒大于直线的斜率
D. 若，，三点共线，则
12.已知函数，的定义域均为，其中的图象关于点中心对称，的图象关于直线对称，，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知集合，，则 ______．
14.已知函数，则不等式的解集为______．
15.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，且，则的离心率为______．
16.一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若函数在处取得极小值，求的值；
Ⅲ若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围．
18.本小题分
如图，在正四棱锥中，，点是的中点，点在棱上异于端点．
若点是棱的中点，求证：平面平面；
若二面角的余弦值为，求线段的长．
19.本小题分
国家发改委和住建部等六部门发布通知，提到：年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升，现阶段我国生活垃圾有填埋、焚烧、堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式，根据国家统计局公布的数据，对年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数单位：座进行统计，得到如下表格：
年份
年份代码
垃圾焚烧无害化
处理厂的个数
根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明精确到；
求出关于的线性回归方程回归方程系数精确到，并预测年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；
对于年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用所求的线性回归方程预测吗？请简要说明理由，
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
参考数据：，
20.本小题分
已知函数，其中，．
若，讨论在上的单调性；
若存在正数，使得，，且时，，求的取值范围．
21.本小题分
已知抛物线：与双曲线：相交于两点，，是的右焦点，直线分别交，于，不同于，点，直线，分别交轴于，两点．
设，，求证：是定值；
求的取值范围．
22.本小题分
基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，，，，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立若无穷正项数列同时满足下列两个性质：，；为单调数列，则称数列具有性质．
若，求数列的最小项；
若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
若，求证：数列具有性质．
参考答案
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17.解：Ⅰ由，，
由，，
所以曲线在处的切线方程为，即，
所以曲线在点处的切线方程；
Ⅱ由函数，所以，此时，，
当时，，所以在区间上单调递增，
设，则，设，则，
所以，当，，所以在区间上单调递增，
又，，故存在使得，
所以当时，，即，
所以在区间上单调递减，故函数在时，取得极小值，所以，
所以的值为；
Ⅲ若时，当时，，所以，
由Ⅱ可知，在区间上单调递增，
所以，所以在区间上恒成立，
此时不存在正实数，使得对任意的都有，
所以当不合题意，
当时，，设，则，
所以当时，，所以在区间上单调递增，
而，，故存在，使得，
所以，当时，，，即在区间上单调递减，
所以，当时，，
所以符合题意，
综上所述，的取值范围为．
18.证明：由题意得，正四棱锥所有棱长均为，
因为是的中点，
故C，，又，且，平面，
故平面，又平面，
故平面平面；
如图，连接，易知，，两两垂直，
以为原点，以分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
设，则，
所以，所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量为，
易知平面的法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
即，解得或不合题意，舍去，
此时．
19.解：，
相关系数
，
因为与的相关系数，接近，所以与的线性相关程度很高，
所以可用线性回归模型拟合与的关系．
，
，
又年对应的年份代码，
当时，，
所以预测年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为．
对于年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能由所求的线性回归方程预测，理由如下说出一点即可：
线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况；
全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建；
受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式．
20.解：由题意得，，，．
若，则，此时在上单调递增；
若，则，此时在上单调递增；
若，则，此时在上单调递减；
若，则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减．
由题意得，，使得函数在上单调递减，
．
令，
问题即转化为：，，．
当时，，且单调递增，
易知，，不合题意，舍去．
当时，因为，
在上单调递增，在上单调递减，
．
即，使得．
令，
故G，
在上单调递减，且当时，，
，
．
综上所述，实数的取值范围为．
21.解：证明：由，是直线与抛物线的两个交点，
显然直线不垂直轴，点，
故设直线的方程为，由消去并整理得，所以为定值．
由知，直线的斜率，方程为，
令，得点的横坐标，
设，
由消去得，
所以，
，
而直线的方程为，依题意，
令，得点的横坐标，
因此，
所以的取值范围是．
22.解：，
当且仅当，即时，等号成立，
数列的最小项为；
数列具有性质，
，
，
数列满足条件，
，，为单调递增数列，
数列满足条件．
综上，数列具有性质；
证明：先证数列满足条件：
．
当时，
，
则，
数列满足条件；
再证数列满足条件：
，等号取不到
，
为单调递增数列，数列满足条件，
综上，数列具有性质．
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