2024-2025学年广东省珠海市高三（上）第一次摸底数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省珠海市高三（上）第一次摸底数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B.
C. D.
2.复数为虚数单位，的共轭复数为( )
A. B. C. D.
3.在中，是上一点，满足，是的中点，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为( )
A. B. C. D.
5.一个内角为的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成个几何体这个几何体的体积从小到大之比为( )
A. B. ：： C. D.
6.已知函数，在上没有零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是( )
A.
B. 函数图象关于点对称
C. 函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为
D. 若，则函数的最大值为
8.若不等式对一切恒成立，其中，，为自然对数的底数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为随机事件，且，是，发生的概率，，则下列说法正确的是( )
A. 若，互斥，则
B. 若，则，相互独立
C. 若，互斥，则，相互独立
D. 与相等
10.设，则下列说法正确的是( )
A. 函数的图象与圆有且只有两个公共点
B. 存在无数个等腰三角形，其三个顶点都在函数的图象上
C. 存在无数个菱形，其四个顶点都在函数的图象上
D. 存在唯一的正方形，其四个顶点都在函数的图象上
11.中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线已知在平面直角坐标系中，到两定点，距离之积为常数的点的轨迹是双纽线若是曲线上一点，则下列结论正确的是( )
A. 曲线的图象关于原点对称
B. 曲线经过个整点横、纵坐标均为整数的点
C. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过
D. 曲线上有且仅有个点满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线与曲线：相切，则 ______．
13.已知点在双曲线上，，分别是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则 ______．
14.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班人，乙班人甲班的平均成绩为分，方差为分；乙班的平均成绩为分，方差为分那么甲、乙两班全部名学生的平均成绩是______分，方差是______分．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，其中，，且．
求的值；
若的外接圆半径为，求面积的最大值．
16.本小题分
如图，三棱柱中，侧面底面，，，点是棱的中点．
证明：；
求面与面夹角的正切值．
17.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆上，直线：．
若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围；
当时，记直线与轴，轴分别交于，两点，，为椭圆上两动点，求四边形面积的最大值．
18.本小题分
设函数，．
试判断的单调性；
证明：对任一，有，当且仅当时等号成立．
19.本小题分
对于数列，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列当时，称数列为纯周期数列；当时，称数列为混周期数列记为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列满足：．
若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值；
若数列是纯周期数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由；
证明：不论为何值，总存在，使得．
参考答案
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15.解：由题意得，，
由正弦定理可知，，
在中，因为，，
所以，
即，
因为，，所以，
所以，又，
所以；
由正弦定理，
因为，，所以，，
由 ，得，
由基本不等式可知，，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以面积的最大值为．
16.解：证明：因为三棱柱中，
所以四边形为菱形，又，点是棱的中点，
所以，
又侧面底面，侧面底面， 侧面，
所以 底面，又底面，
所以；
因，，
所以为直角三角形，
所以，
故分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图：
则，，，
由可知，，，
故，，
则，，
由题意易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，
设面与面夹角为，
则，
故，
所以平面与平面夹角的正切值为．
17.解：设椭圆的半焦距为，则，故，
因为在椭圆上，故，
解得，，故椭圆方程为：，
联立，消去可得，
故，即，解得，
所以实数的取值范围为．
当时，直线：，故A，，
由题设可得，为位于直线的两侧，不妨设在直线上方，在直线的下方，
当过的直线与直线平行且与椭圆相切时，到直线的距离最大及的面积最大，
当过的直线与直线平行且与椭圆相切时，到直线的距离最大及的面积最大，
由可得直线与椭圆相切时，，即，
当时，该切线为过点的切线，方程为，其到直线的距离为，
当时，该切线为过点的切线，方程为，其到直线的距离为，
此时四边形面积，
四边形面积的最大值为．
18.解：函数，，
则，设，
则，
因为，所以，
所以，
所以，在上单调递增．
证明：令，
则，
所以，
又因为在上单调递增，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以当时，，
所以在处取最小值，即，
所以，即
故对任一，有，当且仅当时等号成立．
19.解：因为对任意整数都有，
所以取，则，不符合题意；
取，，，此时数列为常数列；
取，，，不符合题意；
取，，，，此时数列的通项公式为；
取，，，，此时数列的通项公式为；
所以满足条件的三个的值为，，；
取，，，
此时数列为常数列，为纯周期数列；
取，则，，
此时数列的通项公式为，为混周期数列；
取，，，
此时数列为常数列，为纯周期数列；
取，，，，
此时数列的通项公式为，为混周期数列；
取，，，，
此时数列的通项公式为，为混周期数列；
取，，，，
此时数列的通项公式为，为混周期数列；
取，，，
此时数列为常数列，为纯周期数列；
根据上述计算得出猜想：当时，数列为常数列也是纯周期数列，
下面进行验证：
当时，，
，，
此时数列为常数列，也是纯周期数列；
证明：首先，根据的分析，发现当时，数列为常数列，
也是纯周期数列，满足题意；
接下来证明，当时，也存在，使得；
因为，所以只需要证明数列中始终存在值为的项即可，
当时，显然存在值为的项，
当时，有或，
若为偶数，则，
若为奇数时，
则，
，
所以，
所以无论为奇数还是偶数，均有；
特别的，当为奇数时，且，
类似的，可得：无论为奇数还是偶数，均有；
特别的，当为奇数时，且；
所以无论无论为奇数还是偶数，均有；
若，则恒为奇数且，
于是，假设数列的且，
所以，恒为奇数且，
由于中仅有有限个正整数，故数列从某项起恒为常数；
设为第一个值为的项，
而，
故，
这与“是第一个值为的项”相矛盾，
所以，数列除第一项外，还存在不属于区间的项，
假设这些不属于区间的项全部属于区间，那么也会出现类似的矛盾，
所以，数列除第一项外，存在不属于区间和的项，
以此类推，数列一定存在小于值为的正整数的项，即存在值为的项，
所以不论为何值，总存在，使得．
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