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第二单元 实数综合复习
1.下列说法正确的是（ ）
A．0的平方根是0 B．1的平方根是1
C．1的平方根是﹣1 D．﹣1的平方根是﹣1
【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案．
【解析】A、0的平方根是0，原说法正确，故本选项符合题意；
B、1的平方根是±1，说法错误，故本选项不符合题意；
C、1的平方根是±1，说法错误，故本选项不符合题意；
D、﹣1的没有平方根，说法错误，故本选项不符合题意；
故选：A．
【总结】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．
2.下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据算术平方根和平方根的定义求解即可得出答案．
【解析】A、4，故本选项正确；
B、4，故本选项错误；
C、4，故本选项错误；
D、±±2，故本选项错误；
故选：A．
【总结】本题主要考查的是平方根和算术平方根的性质，熟练掌握平方根、算术平方根性质是解题的关键．
3.下列说法中正确的是（ ）
A．带根号的数都是无理数
B．无限小数都是无理数
C．无理数都是无限不循环小数
D．无理数是开方开不尽的数
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解析】A、如2，是整数，是有理数，选项错误；
B、无限循环小数是有理数，选项错误；
C、正确；
D、π是无理数，不是开方开不进得到的数，选项错误．
故选：C．
【总结】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
4.下列说法正确的是（ ）
A．±0.3是0.09的平方根，即±0.3
B．的平方根是±2
C．若a，则a＞0
D．﹣52的算术平方根是5
【分析】分别根据平方根与算术平方根的概念判断即可．
【解析】A、±0.3是0.09的平方根，即±±0.3，故本选项不合题意；
B、，故的平方根是±2，故本选项符合题意；
C、若a，则a≥0，故本选项不合题意；
D、﹣52没有算术平方根，故本选项不合题意；
故选：B．
5.已知x，y是实数，并且（x+3）20，则x+2y的值是（ ）
A． B．0 C． D．2
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值进而得出答案．
【解析】∵（x+3）20，
∴x+3＝0，3﹣2y＝0，
解得：x＝﹣3，y，
故x+2y＝3﹣3＝0．
故选：B．
【总结】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
6.设4的整数部分是a，小数部分是b，则a和b的值为（ ）
A．4， B．6，2 C．4，2 D．6，
【分析】估算无理数的大小方法得出整数部分a，小数部分b，进而解答即可．
【解析】∵4＜5＜9，
∴23，
∴6＜47，
∴4的整数部分是6，小数部分是462，
即a＝6，b2，
故选：B．
【总结】本题主要考查的是估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
7.若一个正数的平方根为2a+1和﹣a﹣3，则a＝ ，这个正数是 ．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出方程求出a，再求出这个数的一个平方根，然后平方即可．
【解析】∵一个正数的平方根是2a+1和﹣a﹣3，
∴2a+1﹣a﹣3＝0，
解得：a＝2，
即这个正数是（2×2+1）2＝25，
故答案为：2；25．
【总结】本题考查了对平方根的应用，注意：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．
8（1）计算：（﹣2）2（﹣1）2019；
（2）解方程：3（x﹣2）2＝27．
【分析】（1）直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用平方根的定义化简得出答案．
【解析】（1）原式
；
（2）（x﹣2）2＝9，
x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得：x＝5或x＝﹣1．
【总结】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
知识点一 ：平方根
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
3.平方根的性质
4.平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
知识点二：无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
知识点三：立方根的定义
1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2.立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
3.立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
4.立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.
知识点四：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应
3.实数运算
（1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。
（2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
知识点五：二次根式
二次根式的概念
一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。
2.二次根式有无意义的条件
条件 字母表示
二次根式有意义 被开方数为非负数
二次根式无意义 被开方数为负数
3.二次根式的性质
(1)有最小值，为0
(2)
知识点六： 二次根式的乘除法法则
1.二次根式的乘法法则：
（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
3.二次根式的乘法法则的逆用
（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广
4.二次根式的除法法则
（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
5.二次根式的除法法则的推广
知识点七：最简二次根式
1.最简二次根式的概念
被开方数不含分母
被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2.分母有理化
分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。
知识点八：同类二次根式
同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
知识点九：二次根式的加减
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
知识点十：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
1.16的平方根是（ ）
A．4 B． C．16 D．
【答案】D
【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键．
根据平方根的定义进行解答即可．
【详解】解：16的平方根是，
故选：D．
2.的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先计算，再计算，解答即可．
本题考查了算术平方根，平方根的计算，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故选C．
3.实数，，，，（相邻两个之间1的个数依次加），其中无理数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
【详解】是有理数，不符合题意；
是分数，属于有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
是无理数，符合题意；
（相邻两个之间1的个数依次加）是无理数，符合题意；
∴无理数有个，
故选：．
4.下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数
【答案】D
【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可．
【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意；
B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意；
C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意；
D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意；
故选：D．
5.若，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先对题目中的二次根式化简，比较大小即可．
本题考查了二次根式的化简及估算，绝对值，比较实数大小．
【详解】解：由题可得，，，
由，
故选A．
6.使式子在实数范围有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据被开方数为非负数且分母不为，可求出的取值范围．
【详解】解：∵在实数范围内有意义．
且，
解得：且，
故选：．
7.若，则化简的结果是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查可化解绝对值，求一个数的算术平方根， 根据化简绝对值，求出的算术平方根，然后计算求解即可．
【详解】解∶∵，
∴
，
故选：A．
8.下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式以及二次根式的性质，根据最简二次根式的定义：二次根式的被开方式中不含分母，并且不含有能开得尽方的因式或因数，进行判断即可．
【详解】解：A、，是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
9.估计的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】C
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据题意得到是解题的关键．先估算出的范围，再得到的范围，即可求解．
【详解】解：，
，
，
估计的值应在5和6之间，
故选：．
10.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，由非负数的性质可得，，即得，，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选：．
11.计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根数的混合运算，掌握二次根式混合运算法则是解题的关键．
根据二次根式混合运算法则计算即可；
【详解】解：
故选：B
12．如图，在数轴上点A表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求得，进而即可求解．
【解析】解：如图所示，
∵
∴，
故选：D．
【总结】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：
14.已知的立方根是，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得，，解方程即可．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
15.求下列各式中的的值：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程：
（1）根据立方根的定义，解方程即可；
（2）利用平方根的定义，解方程即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴；
（2），
∴，
∴，
∴或，
∴或．
16.计算（1）
（2）
（3）．
【答案】（1）0；（2）5；（3）；（4） (5)
【分析】本题考查实数的运算及利用平方根、立方根解方程，熟知相关运算方法是正确解决本题的关键．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
(3)原式
17．如图，在数轴上以1个单位长度画一个正方形，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点为B，且点B表示的是一个无理数，因此我们得出一个结论．
(1)点B表示的数为_________；得出的结论是：_________与数轴上的点是一一对应的．
(2)若将图中数轴上标的A，C，D各点与所给的三个实数，3和对应起来，则点A表示的实数为_________，点C表示的实数为_________，点D表示的实数为_________．
【答案】(1)，实数
(2)，，3
【分析】（1）根据勾股定理求得对角线的长度，即可求解；
（2）判断出三个数的大小关系，结合A，C，D的位置即可求解．
【解析】（1）解：应用勾股定理得，正方形的对角线的长度为：，
为圆的半径，则，所以数轴上的点B表示的数为：，它是无理数．
得出的结论是实数与数轴上的点是一一对应的；
故答案为：，实数；
（2）解：根据数轴可得A表示负数，C和D表示正数，且D表示的数大于C表示的数，
∴A表示，C表示的数是，D表示的数是3．
故答案为：，，3．
【总结】此题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及数轴与实数的有关知识
18.先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握平方差公式，先展开，再去括号合并同类项，化简后将x的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
1.的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先计算，再计算，解答即可．
本题考查了算术平方根，平方根的计算，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故选C．
2.若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意得出二次根式与是同类二次根式，根据被开方数相等得出，求解即可得解．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：，
故答案为：．
3.若的整数部分为x，小数部分为y，则（x）y的值是 ．
【分析】由于9＜13＜16，则34，得到的整数部分为3，小数部分为3，即x＝3，y3，然后把x＝3，y3代入（x）y计算即可求解．
【解析】∵9＜13＜16，
∴34，
∴的整数部分为x＝3，小数部分为y3，
∴（x）y＝（3）（3）＝4．
故答案为：4．
【总结】本题考查了估算无理数的大小，关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
4.计算：．
【分析】把各项分母有理化得：1，，，，据此作答．
【解答】解：原式＝（）（1）
＝（1）（1）
＝2005﹣1
＝2004．
5.已知是的整数部分，是它的小数部分，求的值．
【点拨】一个数是由整数部分＋小数部分构成的.通过估算的整数部分是3，那么它的小数部分就是，再代入式子求值.
【解析】
解：∵是的整数部分，是它的小数部分，
∴
∴.
【总结】可用夹挤法来确定，即看介于哪两个相邻的完全平方数之间，然后开平方.这个数减去它的整数部分后就是它的小数部分。
1.的平方根为（ ）
A．5 B． C．25 D．5或
【答案】D
【分析】本题考查求绝对值，平方根．熟练掌握会求一个数的绝对值和平方根是解题的关键．
先求出，再求25的平方根即可．
【详解】解：，则的平方根为5或．
故选：D．
2.实数的平方根为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平方根，先得到，再求的平方根即可．
【详解】，
∴的平方根为，
故选：D．
33的立方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了立方根的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解．运用立方根的定义进行求解．
【详解】解：，
的立方根是，
故选：A
4.与最接近的整数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解本题的关键．
运用算术平方根的知识进行估算求解即可．
【详解】解： ，
，
即与最接近的整数是3，
故选B．
5.若a，b是两个连续的整数且，则的值为 ．
【答案】9
【分析】此题考查了无理数的估算，估算出，a，b是两个连续的整数且，据此得到，代入即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
∴
由题意可知，a，b是两个连续的整数且，
∴
∴
故答案为：9
6.在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】解：在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，，，（两个1之间依次多一个6）是无理数，共3个，
故选：C．
7.有下列四个论断：①是有理数；②是分数；③…（两个之间依次增加一个）是无理数；④是无理数．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数，无理数，根据有理数与无理数的定义一一判断即可．
【详解】解：①是有理数， 正确，
②是分数，错误，是无理数．
③…（两个之间依次增加一个）是无理数，正确，
④是无理数，正确，
综上：①③④正确，
故选：B
8.实数a，b的数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质．先根据数轴推出，进而得到，，据此化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，，且，
∴，，
∴
，
故选：B．
9.下列式子中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数因数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：C．
10.下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：、由，与不是同类二次根式，不符合题意；
、由，与不是同类二次根式，不符合题意；
、由，与不是同类二次根式，不符合题意；
、由，与是同类二次根式，符合题意；
故选：．
11.与最简二次根式是同类二次根式，则a＝ ．
【答案】1
【分析】本题考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同得出关于a的方程求解即可．
【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴，即：．
故答案为：1．
12.的相反数是 ；的绝对值是 ；的相反数是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可．
【详解】解：的相反数是；的绝对值是；的相反数是；
故答案为：；；．
13.．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是实数与数轴，根据题意求出的长，确定点C对应的实数．
【详解】解：∵A、B两点所对应的实数分别是1和，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点C对应的实数是，
故选：A．
14.若6的整数部分是a，小数部分是b，则代数式a（2b+4）＝ ．
【分析】先估算出的范围，然后求得a、b的值，最后代入计算即可．
【详解】解：∵4＜5＜9，
∴23，
∴，
∴a＝8，b，
∴a（2b+4）
＝8×（4+4）
＝8
．
故答案为：．
【总结】本题主要考查的是估算无理数的大小，估算出6的大致范围是解题的关键．
15.已知的算术平方根是，的立方根为．
(1)求，的值．
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（）根据算术平方根和立方根的定义即可求出的值；
（）根据（）中的结果求出的值，再根据平方根的定义即可求解；
本题考查了算术平方根、立方根、平方根，掌握算术平方根、立方根及平方根的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵的算术平方根是，
∴，
∴，
∵的立方根为，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根为．
16．如图，，
(1)写出数轴上点A表示的数；
(2)比较点A表示的数与的大小；
(3)在数轴上作出所对应的点．
【答案】(1)．
(2)
(3)见解析
【分析】（1）OB是直角边长为1的等腰直角三角形的斜边长，因，根据勾股定理即可求得OA的长度，再考虑点A位于原点的左侧，为负数，即可得解．
（2）先比较两数的绝对值的平方值大小，然后再比较两数的大小，考虑到绝对值越大的负数，实际值越小，即可得出结果．
（3）构造直角边长为1、2的直角三角形，其斜边长即为，则问题得解．
【解析】（1）由勾股定理得：
．
因点A位于原点的左侧，
∴点A表示的数是．
（2）∵，
∴
∴
∴
（3）如下图在区间的上方作一个直角边长分别为1、2的直角，
由勾股定理得：，
以O为圆心，长为半径画弧，交x轴的正半轴于点D．
∴．
故点D就是数轴上作出的所对应的点．
【总结】本题为考查勾股定理、数轴和尺规作图综合题，体现了“数形结合”的思想，解题的关键构造恰当的直角三角形．
大于且小于的所有整数的和是 ．
【答案】7
【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提
根据算术平方根的定义估算无理数，的大小，再求大于且小于的所有整数的和即可．
【详解】解：，，
大于且小于的所有整数有3和4，其和为，
故答案为：7．
17计算(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）利用算术平方根及立方根的定义计算即可；
（2）利用有理数的乘方，绝对值的性质，算术平方根的定义进行计算即可．
（3）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可；
（4）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
（3）
；
（4）
．
18.阅读题：阅读下面的文字，解答问题.
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用－1表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.
请解答：已知：10＋＝，其中是整数，且,求的相反数.
【解析】
解：∵11＜10＋＜12
∴＝11，＝10＋－11＝
∴.
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第二单元 实数综合复习
1.下列说法正确的是（ ）
A．0的平方根是0 B．1的平方根是1
C．1的平方根是﹣1 D．﹣1的平方根是﹣1
2.下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.下列说法中正确的是（ ）
A．带根号的数都是无理数
B．无限小数都是无理数
C．无理数都是无限不循环小数
D．无理数是开方开不尽的数
4.下列说法正确的是（ ）
A．±0.3是0.09的平方根，即±0.3
B．的平方根是±2
C．若a，则a＞0
D．﹣52的算术平方根是5
5.已知x，y是实数，并且（x+3）20，则x+2y的值是（ ）
A． B．0 C． D．2
6.设4的整数部分是a，小数部分是b，则a和b的值为（ ）
A．4， B．6，2 C．4，2 D．6，
7.若一个正数的平方根为2a+1和﹣a﹣3，则a＝ ，这个正数是 ．
8（1）计算：（﹣2）2（﹣1）2019；
（2）解方程：3（x﹣2）2＝27．
知识点一 ：平方根
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
3.平方根的性质
4.平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
知识点二：无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
知识点三：立方根的定义
1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2.立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
3.立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
4.立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.
知识点四：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应
3.实数运算
（1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。
（2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
知识点五：二次根式
二次根式的概念
一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。
2.二次根式有无意义的条件
条件 字母表示
二次根式有意义 被开方数为非负数
二次根式无意义 被开方数为负数
3.二次根式的性质
(1)有最小值，为0
(2)
知识点六： 二次根式的乘除法法则
1.二次根式的乘法法则：
（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
3.二次根式的乘法法则的逆用
（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广
4.二次根式的除法法则
（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
5.二次根式的除法法则的推广
知识点七：最简二次根式
1.最简二次根式的概念
被开方数不含分母
被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2.分母有理化
分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。
知识点八：同类二次根式
同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
知识点九：二次根式的加减
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
知识点十：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
1.16的平方根是（ ）
A．4 B． C．16 D．
2.的平方根是（ ）
A． B． C． D．
3.实数，，，，（相邻两个之间1的个数依次加），其中无理数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4.下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数
C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数
5.若，，，则、、的大小关系是（ ）
6.使式子在实数范围有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
7.若，则化简的结果是（ ）
A．5 B． C． D．
8.下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
9.估计的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
10.若，则（ ）
A． B． C． D．
11.计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在数轴上点A表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
13.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14.已知的立方根是，则 ．
15.求下列各式中的的值：
(1)；
(2)；
16.计算（1）
（2）
（3）．
17．如图，在数轴上以1个单位长度画一个正方形，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点为B，且点B表示的是一个无理数，因此我们得出一个结论．
(1)点B表示的数为_________；得出的结论是：_________与数轴上的点是一一对应的．
(2)若将图中数轴上标的A，C，D各点与所给的三个实数，3和对应起来，则点A表示的实数为_________，点C表示的实数为_________，点D表示的实数为_________．
1.的平方根是（ ）
A． B． C． D．
2.若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ．
3.若的整数部分为x，小数部分为y，则（x）y的值是 ．
4.计算：．
5.已知是的整数部分，是它的小数部分，求的值．
1.的平方根为（ ）
A．5 B． C．25 D．5或
2.实数的平方根为（ ）
A．3 B． C． D．
33的立方根是（ ）
A． B． C． D．
4.与最接近的整数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5.若a，b是两个连续的整数且，则的值为 ．
6.在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7.有下列四个论断：①是有理数；②是分数；③…（两个之间依次增加一个）是无理数；④是无理数．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8.实数a，b的数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
9.下列式子中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
10.下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
11.与最简二次根式是同类二次根式，则a＝ ．
12.的相反数是 ；的绝对值是 ；的相反数是 ．
13.．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（ ）
A． B． C． D．
14.若6的整数部分是a，小数部分是b，则代数式a（2b+4）＝ ．
15.已知的算术平方根是，的立方根为．
(1)求，的值．
(2)求的平方根．
16．如图，，
(1)写出数轴上点A表示的数；
(2)比较点A表示的数与的大小；
(3)在数轴上作出所对应的点．
17计算(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
18.阅读题：阅读下面的文字，解答问题.
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用－1表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.
请解答：已知：10＋＝，其中是整数，且,求的相反数.
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