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第一章 勾股定理综合复习
1．（23-24八年级下·新疆巴音郭楞·期末）下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5
【答案】．D
【分析】本题考查了勾股数：满足勾股定理且是正整数的数；利用勾股数的定义进行判断，逐个计算即可．
【详解】解：、因为，所以不是勾股数；
、因为，所以不是勾股数；
、因为，所以不是勾股数；
、因为，又3，4，5都是正整数，是勾股数．
故选：D．
2．（23-24八年级下·广东汕头·期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A． B．13 C．14 D．13或
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理．利用勾股定理，即可求解．
【详解】解：斜边长为
故选：B
3．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，若，，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理，等面积法求线段长度，
首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】∵
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴．
故选：C．
4．（2023八年级上·全国·专题练习）如果正整数满足等式，那么正整数叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）
A．67 B．34 C．98 D．73
【答案】C
【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值．
【详解】解：由题可得：
，
，
，
∴当时，，
∴，，
∴，
故选：C．
5．（23-24八年级下·天津南开·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．14 B． C．7 D．
【答案】．C
【分析】本题考查了勾股定理，由正方形的面积得，，由勾股定理得，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，
；
故选：C．
6．（23-24八年级上·广东深圳·期中）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约9米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】．D
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，根据题意得到把圆柱体的侧表面展开后是长方形，如图，把大长方形均分为3个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为3个小长方形的对角线的和，再根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧表面展开后是长方形，如图，把大长方形均分为3个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为3个小长方形的对角线的和，
∵底面周长约为3米，柱身高约9米，
∴，
∴，
∴雕刻在石柱上的巨龙至少．
故选：D
7．（23-24八年级下·广西来宾·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（ ）
A．64 B．81 C．169 D．225
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理和正方形的面积，能正确表示大正方形和小正方形的面积及运用数形结合思想是解题的关键．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，根据小正方形的面积为可解得，则大正方形的面积为，即可求解．
【详解】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，如下图，
则，，
又∵小正方形的面积为，
∴可解得或（舍去），
∴，
∴大正方形的面积．
故选：C．
8．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为( )
A．6 B．10 C．24 D．48
【答案】．B
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可．
【详解】解：由折叠可知，
设
由勾股定理可得，
即，
解得，
，
故选：B．
9.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，
BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，
解这个方程，得x＝1.25，
1.25﹣1.2＝0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
【总结】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
一、勾股定理
1.勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；
（2）验证：与是否具有相等关系：
若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形；
若时，△ABC是锐角三角形；
若时，△ABC是钝角三角形．
2.勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
要点：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
1.较小的直角边为连续奇数；
2.较长的直角边与对应斜边相差1.
3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）
三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.
四、勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）解决与勾股定理有关的面积计算；
（4）勾股定理在实际生活中的应用．
1．若一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】D
【分析】根据勾股定理计算即可得出答案．
【解析】∵一个直角三角形的两直角边长分别是6和8
∴斜边长是
故选：D．
【总结】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键．
2．由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和及即可判断A，根据勾股定理逆定理即可判断B，根据平方差公式及勾股定理逆定理即可判断C，根据三角形内角和及即可得到答案．
【解析】解：∵，，
∴，
∴为直角三角形，故A不符合题意；
∵，
∴不能判定三角形为直角三角形，故B符合题意；
∵，
∴为直角三角形，故C符合题意；
∵，，
∴，
∴为直角三角形，故D符合题意，
故选B．
【总结】本题考查三角形内角和定理及勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角关系．
3．已知a，b，c是中，，的对边，下列说法正确的有（ ）个
①若，则+；②若，则；③若，则+；④总有+．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据勾股定理逐一判断即可求解．
【解析】解：，，是中，，的对边，
若，则；
若，则；
若，则；
故①②③正确；
只有当时才有，
故④错误，
故选：C．
【总结】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．在中，斜边，则的值为（ ）
A． B． C． D．无法计算
【答案】C
【分析】根据勾股定理可知，进而可知．
【解析】解：∵在中，斜边为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选．
【总结】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．如图，中，，点A向上平移后到，得到．下面说法错误的是（ ）
A．的内角和仍为 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和定理，勾股定理以及平移的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】解：A、△A′BC的内角和仍为180°正确，故本选项正确，不合题意；
B、∵∠BA′C＜90°，∠BAC=90°，
∴∠BA′C＜∠BAC正确，故本选项正确，不合题意；
C、由勾股定理，AB2+AC2=BC2，故本选项正确，不合题意；
D、应为A′B2+A′C2＞BC2，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
【总结】本题考查了勾股定理，三角形的内角和定理，以及平移，熟记定理并准确识图是解题的关键．
6．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，断落的木杆与地面形成角，则木杆原来的长度是（ ）
A．8米 B．米 C．16米 D．24米
【答案】B
【分析】根据题意可知该木杆折断后与地面形成一个等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出结果 ．
【解析】如图，根据题意可知为等腰直角三角形，且米，．
∴米．
∴在中，米 ．
故木杆原来的长度为米．
故选：B．
【总结】本题考查勾股定理的实际应用．根据题意判断出木杆折断后与地面形成的三角形是等腰直角三角形是解答本题的关键．
7．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤．其中正确的结论个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定可判断①正确；再根据全等三角形的性质和平角定义可判断②正确；根据梯形的面积公式可判断③正确；根据可判断④错误，⑤正确，综合即可作出选择．
【解析】解：∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，则，
∴，故②正确；
∵，，，，
∴四边形的面积是，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，故④错误，⑤正确，
综上，正确的结论有4个，
故选：C．
【总结】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、勾股定理的证明、平行线的性质、完全平方公式、梯形和三角形的面积等知识，证明三角形全等以及发现图形中的边角关系是解答的关键．
8．如图，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可．
【解析】解：如图，
的面积，
由勾股定理得，，
则，
解得，
故选：C．
【总结】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键
9．下列由三条线段a、b、c构成的三角形：①，，，②，，，③，，，④，其中能构成直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】判断一组数能否成为直角三角形的三边，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方，将题目中的各题一一做出判断即可．
【解析】解：①∵，
∴能成为直角三角形的三边长；
②∵，
∴能成为直角三角形的三边长；
③，
∴能成为直角三角形的三边长；
④∵，即，
∴a，b，c不构成三角形
∴能构成直角三角形的有3组，
故选：C．
【总结】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，在应用时注意是两较短边的平方和等于最长边的平方．
10．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（ ）
A．11 B．47 C．26 D．35
【答案】D
【分析】如图，根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算出E的面积即可．
【解析】解：如图，
由勾股定理得，正方形F的面积正方形A的面积正方形B的面积，
同理，正方形G的面积正方形C的面积正方形D的面积 ，
∴正方形E的面积正方形F的面积正方形G的面积 ，
故选：D．
【总结】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
11．我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据等面积法证明即可．
【解析】解：A．，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B．，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C．，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D．根据图形不能证明勾股定理，故选D．
【总结】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键．
12．如图，图中的三角形为直角三角形，已知正方形A和正方形B的面积分别为和，则正方形C的面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意，得出，再根据勾股定理，得出，再结合正方形的面积，得出，进而即可得出正方形C的面积．
【解析】解：如图，
由题意得，
∴，
∵四边形都是正方形，
∴，，，
∵正方形A、B的面积分别为和，
∴，，
∴，
∴正方形C的面积为：．
故答案为：．
【总结】本题考查了勾股定理的几何应用，熟知勾股定理是解题的关键．
13．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上另一停靠站的距离为400米，且，如图，为了安全起见，爆破点周围250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
【答案】有危险，需要暂时封锁；理由见解析．
【分析】本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作于D，然后根据勾股定理在中即可求出的长度，然后利用三角形的面积公式即可求出，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁．
【解析】解：有危险，需要暂时封锁．
理由：如图，过作于，
米，米，，
∴在中，米，
∵，
∴米．
∵，
∴有危险，段公路需要暂时封锁．
【总结】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出的长．
14．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．
(1)求的长；
(2)这辆小汽车超速了吗？
【答案】(1)
(2)没有超速．
【分析】（1）中，有斜边的长，有直角边的长，那么根据勾股定理即可求出的长；
（2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【解析】（1）解：在中，，；
据勾股定理可得：
=
（2）解：小汽车的速度为；
∵；
∴这辆小汽车行驶没有超速．
答：这辆小汽车没有超速．
【总结】此题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．
15．（1）如图，在中，，求证：；
（）在中，，，边上的高，求边的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理证明即可；
（2）利用勾股定理求解即可．
【解析】解：（）在，中，根据勾股定理得：
，，
∴，
∴；
（）在，中，根据勾股定理得：
，
，
∴．
16．如图，已知等腰的底边，是腰上一点，连接，且．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到答案；
（2）设，根据等腰三角形的性质可得，在直角三角形中，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．
【解析】（1）证明：，
，，
即
为直角三角形；
（2）解：设，
是等腰三角形，
．
为直角三角形，
为直角三角形，
，
即，
解得：，
故的长为：．
【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
1．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外正方形②和，…，依次类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是64，则第二个正方形的面积是32，…，进而可找出规律得出第n个正方形的面积，即可得出结果．
【解析】解：第一个正方形的面积是64；
设第一个等腰直角三角形的直角边长为 由勾股定理可得：
∴
解得：
∴第二个正方形的面积是；
同理：第三个正方形的面积是；
…
第n个正方形的面积是，
当时，正方形的面积为，
∴正方形⑤的面积是4，故B正确．
故选：B．
【总结】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的面积．
2．以下四组代数式作为的三边：①（n为正整数）；②（n为正整数）；③（，n为正整数）；④（，m，n为正整数）．其中能使为直角三角形的有（ ）
A．0组 B．1组 C．2组 D．3组
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行计算判断即可．
【解析】解：①中，能构成直角三角形，故符合要求；
②中，，不能构成直角三角形，故不符合要求；
③中，能构成直角三角形，故符合要求；
④中，能构成直角三角形，故符合要求．
∴能使为直角三角形的有3组，
故选：D．
【总结】本题考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式．解题的关键在于正确的运算．
3．如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用勾股定理求出三边长，再依据勾股定理逆定理判断出即可得出答案．
【解析】解：由勾股定理可得：，
，
，
∵，，
∴，
∴，故B、C、D都正确，不符合题意，
∵，，
∴，
∴，
∴，故A错误，符合题意．
故选：A．
【总结】本题主要考查了勾股定理和其逆定理，运用勾股定理求出三边长，是解题的关键．
4．如图，在中，，于H，M为AH上异于A的一点，比较与的大小，则（ ）．
A．大于 B．等于 C．小于 D．大小关系不确定
【答案】C
【分析】由题意得，AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，则AB2 AC2＝BH2 HC2，同理有MB2 MC2＝BH2 HC2，则AB2 AC2＝MB2 MC2．再根据平方差公式即可求解．
【解析】解：∵AH⊥BC，有AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，
∴AB2 AC2＝BH2 HC2，
又∵MH⊥BC，同理有MB2 MC2＝BH2 HC2，
∴AB2 AC2＝MB2 MC2，
即（AB＋AC）（AB AC）＝（MB＋MC）（MB MC），
又∵M点在△ABC内，∵AB＋AC＞MB＋MC，
则AB AC＜MB MC．
故选C．
【总结】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理及平方差公式的应用．
5．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据赵爽弦图证明勾股定理的方法即可求解．
【解析】解：
赵爽弦图，是个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，直角三角形中较长的直角边为，较短的直角边为，中间小正方形的边长为，
∴选项，是赵爽弦图，符合题意；
选项，不是赵爽弦图，不符合题意；
选项，不是赵爽弦图，不符合题意；
选项，不是赵爽弦图，不符合题意；
故选：．
【总结】本题主要考查对赵爽弦图的理解，掌握勾股定理的证明方法，赵爽弦图证明勾股定理的方法是解题的关键．
6．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
【答案】1020
【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽和积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
【解析】解：由勾股定理得：，
则地毯总长为，
则地毯的总面积为，
铺完这个楼道至少需要（元）．
故填：．
【总结】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
7．已知在中，，，，，过点作于点．
(1)求的长；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理；
（1）中，由勾股定理得，进而根据，即可求解；
（2）根据等面积法，即可求解．
【解析】（1）解：，，，
中，由勾股定理得：，
．
（2），
，
，
．
8．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它恰好落在斜边上，且与重合．
(1)求的长；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由勾股定理求得的长，然后由翻折的性质求得，即可求解；
（2）设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
【解析】（1）解：∵在Rt△ABC中，两直角边AC=6cm，BC=8cm，
，
由折叠的性质可知：，
；
（2）解：设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴．
【总结】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
9．如图，在中，．
(1)如图（1），把沿直线折叠，使点A与点B重合，求的长；
(2)如图（2），把沿直线折叠，使点C落在边上G点处，请直接写出的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设x，则，在中用勾股定理求解即可；
（2）设x，则，先根据勾股定理求出，再在中，用勾股定理求解即可．
【解析】（1）解：∵直线是对称轴，
∴，
∵，设，则
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴
（2）解：∵直线是对称轴，
∴，，
∵，设，则，
∴在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴．
【总结】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键．
10．如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为.
（1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；
（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？
【答案】（1）；（2）当时，点恰好落在边上,这时.
【分析】（1）根据折叠或者轴对称的性质,找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答;
（2）同样根据轴对称的性质, 找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答;
【解析】解：（1）由题意可得,
∴
设,则
在中,
∴重叠的面积
（2）由题意可得
∴
在中
∵∴
∴
在中
此时
∴当时，点恰好落在边上
这时.
【总结】本题综合考查了多个知识点,包括折叠与轴对称、方程、勾股定理等,在结合图形及其变化,充分理解题意的前提下,熟练掌握运用各个知识点方可解答.
11．如图，在中，，，点D为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角，使，连接．
(1)请判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求线段的长；
(3)如图2，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点A与点E重合，连接，求线段的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明，则，如图1，记的交点为，根据，，可得，进而可得；
（2）如图2，过作于，则，，由勾股定理得，，计算求解即可；
（3）由翻折的性质可知，，，，如图3，过作于，过作于，证明，则，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【解析】（1）解：，理由如下：
∵等腰直角，，
∴，
又∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
如图1，记的交点为，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
如图2，过作于，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴线段的长为；
（3）解：由翻折的性质可知，，，
∴，
如图3，过作于，过作于，
∴，
同理（2）可知，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴线段的长为．
【总结】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键．
1．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5
C．2，8，10 D．1，，
【答案】B
【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．
【解析】解：A．0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数，不符合题意；
B．，
、4、5是勾股数，符合题意；
C．，
，8，10不是勾股数，不符合题意；
D．，，均不是整数，
，，不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
【总结】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．
2．下列命题①如果为一组勾股数，那么仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、7，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边，（），那么，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】C
【分析】根据勾股数的定义和直角三角形的性质，依次分析①②③④，选出正确的命题的序号，即可得到答案．
【解析】解：①如果为一组勾股数，则设，
则，
仍是勾股数，故①正确，符合题意；
②如果直角三角形的两边是3，4，则另一边的长可能为，且符合三角形的两边之和大于第三边，故②错误，不符合题意；
③，
③错误，不符合题意；
④一个等腰直角三角形的三边，（），
，
即，
故④正确，符合题意；
故选：C．
【总结】本题主要考查了勾股数和直角三角形的性质，正确掌握勾股数的定义和直角三角形的性质是解题的关键．
3．如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D的面积之和为（ ）
A．11 B．14 C．17 D．20
【答案】C
【分析】如图：由题意可得,,，再根据全等三角形和勾股定理可得，同理可得，最后求正方形B、D的面积之和即可．
【解析】解：如图：
由题意可得：,,
∴
∴，
∴,
∴,
∵，
∴，
∴,即,
同理：;
∴．
故选C．
【总结】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，发现各正方形之间的面积关系是解答本题的关键．
4．在直角中，，，，则的长为（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或
【答案】B
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解析】解：因为，，，
所以，
故选：B．
【总结】本题考查了勾股定理，解题关键是熟记勾股定理，准确进行计算．
5．如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【解析】解：A、三边长分别为，∵，
∴不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、三边长分别为，，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、三边长分别为，∵，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、三边长分别为，∵，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选A．
【总结】本题考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键．
6．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．在验证过程中它体现的数学思想是（ ）
A．函数思想 B．数形结合思想
C．分类思想 D．方程思想
【答案】B
【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
【解析】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：B．
【总结】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
7．如图，，一架云梯长为25米，顶端A靠在墙上，此时云梯底端B与墙角C距离为7米，云梯滑动后停在的位置上，测得长为4米，则云梯底端B在水平方向滑动的距离为（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
【答案】C
【分析】由题意知，AB=DE=25米，CB=7米，则在直角△ABC中，根据AB，BC可以求AC，在直角△CDE中，可以求CE，则BD=DC-BD即为题目要求的距离．
【解析】解：在直角中，已知米，米，
米，
在直角中，已知米，米，米，
米，
米，
米
故云梯底端在水平方向滑动了8米，
故选：C．
【总结】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，本题中在直角△ABC中和直角△CDE中分别运用勾股定理是解题的关键．
8．如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分a的长度为最小，即为12，当吸管与底面圆的一端重合时，吸管在罐内部分a的长度为最大，根据勾股定理可进行求解．
【解析】解：由题意得：
当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分a的长度为最小，即为12，
当吸管与底面圆的一端重合时，吸管在罐内部分a的长度为最大，如图所示：
∴，
∴在Rt△ABC中，，
∴吸管在罐内部分a的长度的范围是，
故选A．
【总结】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
【答案】D
【分析】将题中图案展开后，连接AC，利用勾股定理可得AC长，将中间的墙展开在平面上，则原矩形长度增加宽度不变，求出新矩形的对角线长即为所求．
【解析】解：展开如图得新矩形，连接AC，则其长度至少增加2MN，宽度不变，由此可得：
，
根据勾股定理有：
故选D．
【总结】本题考查平面展开图形最短路线问题以及勾股定理得应用；解题关键在于根据题意画出正确的平面展开图．
10．如图，、、分别是以的三边为直径所画半圆的面积，其中，，则 ．
【答案】
【分析】先分别算出、、的面积，然后根据勾股定理即可解答．
【解析】解：∵，，
∴
∵
∴．
∵，，
∴
故答案为．
【总结】本题主要考查了勾股定理的应用，勾股定理的内容是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
11．如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则等于 ．
【答案】
【分析】在和中，分别表示出和，在和中，表示出和，代入求解即可；
【解析】解：∵于，
∴，
在和中，
，，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
【总结】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析计算是解题的关键．
12．如图，已知在中，于点D，，，，
(1)求、的长；
(2)求证：是直角三角形．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）在中，利用勾股定理求得的长，然后在中，再利用勾股定理求得的长，根据即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理即可判断．
【解析】（1）解：∵在中，，，
，
在中，，，
．
．
（2）证明：，，，
，，
，
是直角三角形．
【总结】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理的内容是关键．
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第一章 勾股定理综合复习
1．（23-24八年级下·新疆巴音郭楞·期末）下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5
2．（23-24八年级下·广东汕头·期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A． B．13 C．14 D．13或
3．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，若，，则（ ）
A． B．3 C． D．
4．（2023八年级上·全国·专题练习）如果正整数满足等式，那么正整数叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）
A．67 B．34 C．98 D．73
5．（23-24八年级下·天津南开·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．14 B． C．7 D．
6．（23-24八年级上·广东深圳·期中）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约9米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米．
A． B． C． D．
7．（23-24八年级下·广西来宾·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（ ）
A．64 B．81 C．169 D．225
8．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为( )
A．6 B．10 C．24 D．48
9.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
一、勾股定理
1.勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；
（2）验证：与是否具有相等关系：
若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形；
若时，△ABC是锐角三角形；
若时，△ABC是钝角三角形．
2.勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
要点：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
1.较小的直角边为连续奇数；
2.较长的直角边与对应斜边相差1.
3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）
三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.
四、勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）解决与勾股定理有关的面积计算；
（4）勾股定理在实际生活中的应用．
1．若一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
2．由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
3．已知a，b，c是中，，的对边，下列说法正确的有（ ）个
①若，则+；②若，则；③若，则+；④总有+．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在中，斜边，则的值为（ ）
A． B． C． D．无法计算
5．如图，中，，点A向上平移后到，得到．下面说法错误的是（ ）
A．的内角和仍为 B． C． D．
6．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，断落的木杆与地面形成角，则木杆原来的长度是（ ）
A．8米 B．米 C．16米 D．24米
7．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤．其中正确的结论个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．下列由三条线段a、b、c构成的三角形：①，，，②，，，③，，，④，其中能构成直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（ ）
A．11 B．47 C．26 D．35
11．我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，图中的三角形为直角三角形，已知正方形A和正方形B的面积分别为和，则正方形C的面积为 ．
13．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上另一停靠站的距离为400米，且，如图，为了安全起见，爆破点周围250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
14．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．
(1)求的长；
(2)这辆小汽车超速了吗？
15．（1）如图，在中，，求证：；
（）在中，，，边上的高，求边的值．
16．如图，已知等腰的底边，是腰上一点，连接，且．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
1．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外正方形②和，…，依次类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．以下四组代数式作为的三边：①（n为正整数）；②（n为正整数）；③（，n为正整数）；④（，m，n为正整数）．其中能使为直角三角形的有（ ）
A．0组 B．1组 C．2组 D．3组
3．如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，于H，M为AH上异于A的一点，比较与的大小，则（ ）．
A．大于 B．等于 C．小于 D．大小关系不确定
5．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（ ）
A． B．
C． D．
6．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
7．已知在中，，，，，过点作于点．
(1)求的长；
(2)求的长．
8．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它恰好落在斜边上，且与重合．
(1)求的长；
(2)求的长．
9．如图，在中，．
(1)如图（1），把沿直线折叠，使点A与点B重合，求的长；
(2)如图（2），把沿直线折叠，使点C落在边上G点处，请直接写出的长．
10．如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为.
（1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；
（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？
11．如图，在中，，，点D为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角，使，连接．
(1)请判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求线段的长；
(3)如图2，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点A与点E重合，连接，求线段的长．
1．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5
C．2，8，10 D．1，，
2．下列命题①如果为一组勾股数，那么仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、7，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边，（），那么，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
3．如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D的面积之和为（ ）
A．11 B．14 C．17 D．20
4．在直角中，，，，则的长为（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或
5．如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（ ）
A．B． C． D．
6．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．在验证过程中它体现的数学思想是（ ）
A．函数思想 B．数形结合思想
C．分类思想 D．方程思想
7．如图，，一架云梯长为25米，顶端A靠在墙上，此时云梯底端B与墙角C距离为7米，云梯滑动后停在的位置上，测得长为4米，则云梯底端B在水平方向滑动的距离为（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
8．如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
10．如图，、、分别是以的三边为直径所画半圆的面积，其中，，则 ．
11．如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则等于 ．
12．如图，已知在中，于点D，，，，
(1)求、的长；
(2)求证：是直角三角形．
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