2024-2025学年湖南省衡阳市船山英文学校高三（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省衡阳市船山英文学校高三（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则的真子集个数为( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.在杭州亚运会上，我国选手盛李豪夺得射击第一枚金牌，他射击的方向向量，另一名选手余浩楠射击的方向向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数在上单调递增，求的取值范围( )
A. B. C. D.
5.已知为等比数列的前项和，：，：为常数列，则( )
A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件
C. 是充要条件 D. 是的既不充分也不必要条件
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，分别为切点，若，则到圆距离的最小值是( )
A. B. C. D.
8.椭圆，若椭圆上存在不同的两点，关于直线对称，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据，，，，由这组样本得到新样本数据，，，，其中，则( )
A. ，，，的中位数为，则，，，的中位数为
B. ，，，的平均数为，则，，，的平均数为
C. ，，，的方差为，则，，，的方差为
D. ，，，的极差为，则，，，的极差为
10.年世界卫生组织的事故调查显示，大约的交通事故与酒后驾驶有关在中国，每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起；而造成死亡的事故中以上都与酒后驾车有关，酒后驾车的危害触目惊心，已经成为交通事故的第一大“杀手”为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，则( )
A. 若血液中的酒精含量为，则在停止喝酒后经过了个小时
B. 小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下
C. 小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下
D. 设小时后，血液中的酒精含量为，则，
11.已知函数的部分图象如图，则关于函数的描述正确的是( )
A. 关于对称
B. 关于点对称
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个词典里包含个不同的单词，其中有个以字母“”开头，其余以其他字母开头从中选择个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“”开头，一共有______个这样的子集要求用数字作答
13.在圆台中，上底面直径为，下底面直径为，高为，则圆台的表面积为______．
14.过双曲线的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，若，则双曲线的离心率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，．
求；
若，求的面积．
16.本小题分
在几何体中，平面，，，是的中点，在线段上运动．
证明：平面平面．
当平面时，求平面与平面的夹角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
当时，不等式对恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
假设在数字通信中传送信号与的概率为和由于随机干扰，当传送信号时，接收到信号为的概率为，当传送信号时，接收到信号为的概率为求：
当接收到信号时传送的信号是的概率；
在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传递下去，在次传递中，出现的次数为，求．
19.本小题分
已知椭圆：的左焦点，左、右顶点分别，，上顶点为，．
求椭圆的方程；
是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，求圆的方程以及的取值范围，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由可得：，
即，
所以，
又，所以，又，
所以，又，
所以，所以，
所以
由可得：，
所以．
16.证明：由于平面，平面，故，
又，，，平面，
故BC平面，平面，故BC，
又，是中点，故，
，，平面，
故A平面，又平面，
故平面平面；
解：平面时，平面，且平面平面，
故，结合是中点，可得是中点，
有平面，又平面，故A，
由于，，
故为平面与平面所成角或其补角，
，
，
，故，
故平面与平面的夹角的正弦值为．
17.解：当时，，
所以，
因为，所以当时，，
当时，，
所以的单调增区间，单调减区间；
因为，
所以可化为：，
所以，
构造函数，，显然此函数单调递增，
所以由恒成立可得：对恒成立，
当时，此不等式为恒成立，
当时，可得恒成立，
构造函数，
求导可得：，
当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；
所以，所以，
综上所述的取值范围．
18.解：记“传送信号”，“传送信号”，“接收信号”．
可知，，，，
由贝叶斯公式得所求的概率为：
，
即当接收到信号时传送的信号是的概率为．
在一次传送中，接收到的概率为，
每次传送都有相同的传送概率和接收概率，则有，
所以．
19.解：因为，则为锐角，
又因为，
所以，
即，
解得，可得，
而，
所以，
又因为，，
即，
解得，，
所以椭圆的方程为：；
由题意可得圆在椭圆内部时，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，
设圆的方程为，且，
当圆的切线的直线的斜率不存在时，则，
设，的坐标分别为，，
联立，
可得，
可得，
设，，
因为，
可得，即，
即，
解得，解得，
所以圆的方程为；
当圆的切线的斜率存在时，设切线的方程为，设，的坐标分别为，，
联立，整理可得：，
，
即，
可得，，
所以，
因为，
可得，即，
所以，可得，
所以，
又因为直线与圆相切，
直线的方程为，
所以，
可得，
所以圆的方程为；
所以弦长
，
当时，，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
所以
综上所述：圆的方程为；
弦长范围为：
第1页，共1页