2024-2025学年广东省广州市天河中学高三（上）模拟数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年广东省广州市天河中学高三（上）模拟数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数对应的点在第象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
3.已知的展开式中所有项的二项式系数之和为，则的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.若角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
5.已知：，：不等式的解集为，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.双曲线的渐近线与圆相切，则( )
A. B. C. D.
7.下列说法中，正确的命题是( )
A. 已知随机变量服从正态分布，，则
B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，若，则
D. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
8.已知函数，若方程有个不同的实根，则实数取值范围值是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据，，，是公差不为的等差数列，若去掉数据，则( )
A. 中位数不变 B. 平均数变小 C. 方差变大 D. 方差变小
10.在正方体中，点、分别是和的中点，则( )
A. B. 与所成角为
C. 平面 D. 与平面所成角为
11.设，，且，则下列关系式可能成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在矩形中，，，是的中点，那么______．
13.若直线既和曲线相切，又和曲线相切，则称为曲线和的公切线已知曲线：和曲线：，请写出曲线和的一条公切线方程：______．
14.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一、第三象限分别交于点，，若，则的离心率的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知为锐角，且．
求角的大小；
若，，求的面积．
16.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
当时，不等式恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面．
证明：；
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知在曲线：，直线：交曲线于，两点点在第一象限
求曲线的方程；
若过且与垂直的直线与曲线交于，两点；点在第一象限
(ⅰ)求四边形面积的最小值．
(ⅱ)设，的中点分别为，，求证：直线过定点．
19.本小题分
在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中，，，，而在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中，现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为回答下列问题：
求出维“立方体”的顶点数；
在维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离．
求的分布列与期望；
求的方差．
参考答案
1.
2.
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7.
8.
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10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.解：由已知可得，，
解得，
因为为锐角，所以，
所以，
所以；
由题，，，
又由正弦定理，可得，
因为，
所以或，
当时，，
所以，
当时，，
所以，
所以的面积为或．
16.解：当时，，，
则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
所以在处取到极大值，无极小值；
因为，恒成立，
所以恒成立，
令，则，
令，则恒成立，
即在区间上单调递减，
所以，即，
所以时，，
所以在区间上单调递减，
故，所以，
所以实数的取值范围为．
17.解：连接，因为四边形为菱形，所以，
因为，所以，
又因为面面，
面面，面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，所以，
又因为，，平面，
所以平面，又平面，所以．
点到平面的距离即三棱锥的底面上的高，
由平面，所以三棱锥的底面上的高为，
设点到平面的距离为，则，
即，
因为，，所以的面积，
所以，
由，，可得，
又，，所以，
又，由余弦定理得，
所以，所以的面积，
所以，即．
18.解：将两边同时平方，
此时，
整理得，
所以曲线的方程为；
设，，，，
由知曲线的准线为，
设，
由抛物线性质可知，，，，
因为，，
又直线过且与直线交于点，
所以，，
此时，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，
所以，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以，
此时，
则四边形面积的最小值为；
(ⅱ)证明：由(ⅰ)知，
所以，
因为点在直线上，
解得，
即，
同理得，
则，
所以直线方程为，
即．
故直线过定点．
19.解：对于维坐标，，，
所以共有种不同的点，即共有个顶点；
对于的随机变量，
在坐标与中有个坐标值不同，剩下个坐标相同，此时对应情况数有种，
所以，
则的分布列为：
所以，
倒序相加得，，
所以；
，
设，
两边求导得，，
两边乘以后得，，
两边求导得，，
令得，，
所以．
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