2024-2025学年江苏省南通市高三（上）调研数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市高三（上）调研数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，，则一定有( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.函数在区间的大致图象为( )
A. B. C. D.
4.设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则( )
A. 若，，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
5.在正三棱台中，，，与平面所成角为，则该三棱台的体积为( )
A. B. C. D.
6.设，，，则( )
A. B. C. D.
7.若函数，在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中最小值为的是( )
A. B.
C. D.
10.定义在上的偶函数，满足，则( )
A. B.
C. D.
11.在正方体中，，分别为，的中点，则( )
A. 平面 B.
C. 直线与平面所成角为 D. 平面经过棱的三等分点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，为实数，则“”是“”的______条件．在“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要”中选一个填写
13.已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积为______．
14.已知，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点．
证明：平面；
若，，，求点到平面的距离．
16.本小题分
已知函数．
判断并证明的奇偶性；
若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，四边形为菱形，平面．
证明：平面平面；
若，二面角的大小为，求与所成角的余弦值．
18.本小题分
设函数．
若，，求证：有零点；
若，，是否存在正整数，，使得不等式的解集为，若存在，求，；若不存在，说明理由；
若，非空集合，求的取值范围．
19.本小题分
已知有限集，，若，则称为“完全集”．
判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于；
若为“完全集”，且，求．
参考答案
1.
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5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.充分不必要
13.
14.
15.证明：因为为直三棱柱，所以，
又，分别为，的中点，所以，
所以，又平面，平面，
所以平面；
解：因为为直三棱柱，且，
则以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，且，
则，，，，
则，，
由，可得，
即，且，解得，
设，则，
即，，
设平面的一个法向量为，
则，解得，取，则，
所以平面的一个法向量为，
又，即，
所以点到平面的距离．
16.解：为奇函数，证明如下：
由解析式易知，函数定义域为，
而，故为奇函数．
由在上为减函数，
而在定义域上为增函数，所以在上为减函数，
故，要使任意，，
只需在上恒成立，
即在上恒成立，由开口向上，
则，
综上，的范围为
17.解：证明：平面，且平面，
，
在菱形中，，且，，平面，
平面，又平面，
平面平面．
平面且平面，平面，
，，
即二面角的平面角是，
，
取与交点为，设，
则，
，，
以为坐标原点，，所在直线分别为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，
所以，所成角的余弦值为．
18.证明：若，，则，
因为，，所以．
又在上的图象是连续不断的，所以有零点．
解：若，，则，
因为不等式的解集为，
所以其中一个充分条件为，
由得，，是方程的两个不等实根，
即，是方程的两个不等实根，
所以，，得，所以．
又因为，，，
所以，解得，此时符合．
所以，．
解：设，则，所以．
所以，
．
设，
因为非空集合，
所以无实根或的解是的解．
若无实根，则，，解得．
若的解是的解，
令，得或，
当时，，，，，符合题意；
当时，，，符合题意．
综上，，
所以的取值范围是．
19.解：因为，，
所以，
故集合是“完全集”；
证明：由题设，令，则，是的两个不同的正实数根，
所以或舍，
即，又，，
若，都不大于，则，矛盾，
所以，至少有一个大于；
不妨令，
则，
所以，
当，即，故，显然无解，不满足；
当，即，只能有，，，
故存在一个“完美集”；
当，，即，
又，且，
此时，显然有矛盾，
所以时不存在“完美集”，
综上，．
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