2024-2025学年湖南省常德市汉寿一中高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省常德市汉寿一中高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题：“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知某质点从直角坐标系中的点出发，沿以为圆心，为半径的圆周作逆时针方向的匀速圆周运动到达点，若在轴上的射影为，，则( )
A. B. C. D.
3.函数在的图象大致为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
5.已知数列为等比数列，公比为，前项和为，则“”是“数列是单调递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.的三个内角，，，的对边分别为，，，且，则( )
A. B. C. D.
7.若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的值域是，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数是定义域为的单调函数，且满足对任意的，都有，则( )
A.
B. 若关于的方程有个不相等的实数根，，则
C. 若函数的值域为，则实数的取值范围为
D. 若函数满足对任意的实数，，且，都有成立，则实数的取值范围为
10.已知函数的图象如图所示，点，在曲线上，若，则( )
A.
B.
C. 的图象关于点对称
D. 在上单调递减
11.已知定义在上的函数的图象连续不间断，当，，且当时，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在上单调递增，在上单调递减
C. 若，，则
D. 若，是在内的两个零点，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若，则实数______．
13.我们知道对内任意的，，都有，且在上单调递增设函数满足对定义域内任意的，，都有在上单调递减，写出满足以上两个条件的一个函数 ______．
14.已知函数，若对任意，且，都有，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别是，，已知，．
Ⅰ求角；
Ⅱ若是中上的一点，且满足，求与的面积之比的取值范围．
16.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，求的值；
若，点在边上，，求的面积．
17.本小题分
已知函数．
证明：在上是减函数；
当时，求的最大值和最小值．
18.本小题分
已知函数，为其导函数．
设，求函数的单调区间；
若，设，为函数图象上不同的两点，且满足，设线段中点的横坐标为，证明：．
19.本小题分
已知数列满足：，，．
求数列的通项公式；
记数列的前项和为，求实数的值，使得数列是等差数列；
对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或答案不唯一
14.
15.解：Ⅰ，
，
，
又，
，
，
又，
；
Ⅱ，
，
，
即平分，
，
所以，
又，
，
，
，
，
．
16.解：由，得，
又因为，
所以，，，
即；
若，则，
则，
则；
由，
所以，
由知，所以，所以在直角三角形中，，
如图：
因为，所以，
平方得，
则，
所以直角三角形的面积．
17.解：．
．
当时，
恒成立
在上是减函数；
函数的图象是开口方向朝下，
以直线为对称轴的抛物线
当时，
的最大值和最小值分别为，
18.解：，，
时，定义域为，
在上，故在上单调递减；
在上，故在上单调递增．
时，定义域为，在
上，故在上单调递增；
在上，故在上单调递减．
证明：法一：，
故在定义域上单调递增．
只需证：，即证
注意到，不妨设．
令，
则，
，从而在上单减，
故，即得式．
法而二：故在定义域上单调递增．
注意到且．
设，则单调递增且图象关于中心对称．
构造函数，
，
当时，，单增；当时，，单减，
故，且等号仅在处取到．所以与图象关系如下：
取，，
则显然有，，从而，
另外由三次函数的中心对称性可知，
则有 ．
19.解：因为，所以
因为，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
于是，
所以，即，
所以数列成等差数列，其首项为，公差为．
于是，
所以．
因为，
所以，
所以
，
所以．
因为，
所以，所以．
当时，因为，
所以，所以数列是等差数列．
因为，
所以．
因为，
所以数列是递增数列，所以数列是“绝对差异数列”．
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